第三章 单元小结（一）
（一）教学目标
1．知识与技能
整合函数与方程的基本知识和基本方法，进一步提升函数与方程思想.
2．过程与方法
通过学生自我回顾、反思、整理、归纳所学知识，从而构建本节的知识体系
3．情感、态度与价值观
在学习过程中，学会整合知识，提升自我学习的品质，养成合作、交流、创新的良好学习品质.
（二）教学重点与难点
重点：整合单元知识；难点：提升综合运用单元知识的能力.
（三）教学方法
动手练习与合作交流相结合，在整合知识中构建单元知识体系，在综合练习中提升综合运用单元知识的能力.
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
回顾反思构建体系 1．函数与方程单元知识网络2．知识梳理①二次函数的零点与一元二次方程根的关系对于二次函数f (x) = ax2 + bx + c (a≠0)，当f (x) = 0时，就是一元二次方程ax2 + bx + c = 0，因此，二次函数f (x) = ax2 + bx + c (a≠0)的零点就是一元二次方程ax2 + bx + c = 0的根；也即二次函数f (x) = ax2 + bx + c的图象——抛物线与x轴相交时，交点的横坐标就是一元二次方程ax2 + bx + c = 0的根.②函数的零点的理解（1）函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零.(2)根据函数零点定义可知，函数f (x)的零点就是f (x) = 0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x) = 0是否有实根，有几个实根.③函数零点的判定判断一个函数是否有零点，首先看函数f (x)在区间[a，b]上的图象是否连续，并且是否存在f (a)·f (b)＜0，若满足，那么函数y = f (x)在区间（a，b）内必有零点.④用二分法求方程的近似解要注意以下问题：（1）要看清题目要求的精确度，它决定着二分法步骤的结束.（2）初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间结果是相同的，但二分的次数却相差较大.（3）在二分法的第四步，由|a – b|＜，便可判断零点近似值为a或b.⑤用二分法求曲线的近似交点应注意以下几点：（1）曲线的交点坐标是方程组的解，最终转化为求方程的根；（2）求曲线y = f (x)和y = g(x)的交点的横坐标，实际上就是求函数y = f (x) – g (x)的零点，即求方程f (x) – g (x) = 0的实数解. 1．师生合作，绘制单元知识网络图2．学生回顾口述知识要点，老师总结、归纳，师生共同进行知识疏理. 整理知识，培养归纳能力；师生共同回顾、再现知识与方法.
经典例题剖析 例1 利用计算器，求方程2x + 2x – 5 = 0的近似解. (精确到0.1) 例2 确定函数f (x) =+ x – 4 的零点个数. 例3（1）试说明方程2x3 – 6x2 +3 = 0有3个实数解，并求出全部解的和（精确到0.01）（2）探究方程2x3 – 6x2 +5 = 0，方程2x3 – 6x2 +8 = 0全部解的和，你由此可以得到什么结论？ 1．学生自主完成例1、例2、例3，求解学生代表板书解答过程，老师点评，总结.例1【解析】设f (x) = 2x + 2x – 5，由于函数在R上是增函数，所以函数f (x)在R上至多一个零点.∵f (1) = –1＜0，f (2) = 3＞0，∴f (1) f (2)＜0，∴函数f (x) = 2x + 2x – 5在(1, 2)内有一个零点，则二分法逐次计算，列表如下：取区间 中点值 中点函数值 (1, 2) 1.5 0.83(正数) (1, 1, 5) 1.25–0.12(负数) (1.25, 1.5) 1.375 0.34(正数) (1.25, 1.375) 1.3125 0.11(正数) (1.25, 1.3125) ∵|1.3125 – 1.25| = 0.0625＜0.1，∴函数f (x)的零点近似值为1.3125.∴方程2x + 2x – 5 = 0的近似解是1.3125.例2【解析】设，则f (x)的零点个数即y1与y2的交点个数，作出两函数图象如图.由图知，y1与y2在区间(0, 1)内有一个交点，当x = 4时，y1 = –2，y2 = 0，当x = 8时，y1 = –3，y2 = – 4，∴在(4, 8)内两曲线又有一个交点，又和y2 = x – 4均为单调函数.∴两曲线只有两个交点，即函数有两个零点.例3【解析】（1）设函数 f (x) =2x3 – 6x2 +3，∵f (–1) = –5＜0，f (0) = 3＞0，f (1) = –1＜0，f (2) = –5＜0，f (3) = 3＞0，函数y = f (x)的图象是连续的曲线，∴方程2x3 – 6x2 +3 = 0有3个实数解． 首先以区间[–1，0]为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：端点或中点的横坐标 a0 = –1，b0 = 0 x0 = (–1+0) / 2 = – 0.5 x1 = (–1– 0.5) /2 = – 0.75 x2 = (– 0.75 – 0.5) / 2= – 0.625 x3 = (– 0.75 – 0.625) / 2= – 0.687 5 x4 = (– 0.687 5 – 0.625) / 2= – 0.656 25 x5 = (– 0.656 25 – 0.625) / 2= – 0.640 625 x6= (– 0.656 25 – 0.640 625) / 2= – 0.648 437 5 x7= – 0.644 531 25 计算端点或中点的函数值 定区间 f (–1) = –5，f (0) =3 [–1，0] f (x0) = f (– 0.5) = 1.25＞0 [–1，–0.5] f (x1) = f (– 0.75)＜0 [– 0.75，–0.5] f (x2) = f (– 0.625)＞0 [– 0.75，–0.625] f (x3) = f (– 0.687 5)＜0 [– 0.687 5，–0.625] f (x4) = f (– 0.656 25)＜0 [– 0.656 25，–0.625] f (x5) = f (– 0.640 625)＞0 [– 0.656 25，–0.640 625] f (x6) = f (– 0.648 437 25)＜0 [– 0.648 437 5，–0.640 625] f (x7)＜0 [– 0.644 531 25，–0.640 625] 由上表计算可知，区间[– 0.64453125，– 0.640625]的左、右两端点精确到0.01所取的近似值都是 – 0.64，所以– 0.64可以作为方程2x3 – 6x2 +3 = 0在区间[–1，0]上的一个近似解．同理可求得方程2x3 – 6x2 +3 = 0在区间[0，1]和[2，3]内且精确到0.01的近似解分别为0.83，2.81．所以方程2x3 – 6x2 +3 = 0全部解的和为– 0.64 + 0.83 + 2.81 = 3． （2）利用同样方法可求得方程2x3 – 6x2 +5 = 0和方程2x3 – 6x2 +8 = 0全部解的和也为3．由于3只与未知数的系数比相等，即 – (– 6÷2) = 3，所以猜想： 一般地，对于一元三次方程ax3+ bx3 + cx +d = 0有三个根xl，x2，x3，则和为x1 +x2 +x3 =． 动手尝试练习提升综合应用知识的能力.
备选例题
例1 求函数y = x3 – 2x2 – x + 2的零点，并画出它的图象.
【解析】因为x3 – 2x – x + 2 = x2 (x – 2) – (x – 2) = (x – 2) (x2 – 1) = (x – 2) (x – 1) (x + 1)，
所以已知函数的零点为–1，1，2.
3个零点把x轴分成4个区间：
，[–1，1]，[1，2]，.
在这4个区间内，取x的一些值(包括零点)，列出这个函数的对应值表：
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 …
y … – 4.38 0 1.88 2 1.13 0 –0.63 0 2.63 …
在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示.
例2 求函数f (x) = x3 + x2 – 2x – 2的一个为正实数的零点（误差不超过0.1）.
【解析】由于f (1) = –2＜0，f (2) = 6＞0，可以取区间[1，2]作为计算的初始区间.
用二分法逐次计算，列表如下：
端点（中点）坐标 计算中点的函数值 取区间 |an – bn|
[1，2] 1
x0 = (1 + 2)/2 = 1.5 f(x0)=0.625＞0 [1，1.5] 0.5
x1 = (1 + 1.5)/2 = 1.25 f(x1)= –0.984＜0 [1.25，1.5] 0.25
x2=(1.25+1.5)/2 =1.375 f(x2)= –0.260＜0 [1.375，1.5] 0.125
x3=(1.375+1.5)/2=1.438
由上表的计算可知，区间[1.375，1.5 ]的长度小于0.2，所以这个区间的中点x3 = 1.438可作为所求函数误差不超过0.1的一个正实数零点的近似值.
函数f (x) = x3 + x2 – 2x – 2的图象如图所示.
实际上还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值.
函数与方程
二分法求方程的近似 解
方程的根与函数零点的关系
函数零点的存在性判定
第三章 单元小结（二）
（一）教学目标
1．知识与技能.
整合函数模型及其应用的基本知识与基本方法. 进一步提升研究函数和应用函数解决实际应用问题的技能.
2．过程与方法
通过学生自我回顾、反思、整理、归纳所学知识，从而构建本节的知识体系.
3．情感、态度与价值观
在学习过程中，学会整合知识，提升自我学习的品质，养成合作、交流、创新的良好学习品质.
（二）教学重点与难点
重点：整合单元知识；难点：提升综合运用单元知识能力
（三）教学方法
动手练习与合作交流相结合. 在整合知识中构建体系，在综合练习中提升能力.
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
回顾反思构建体系 1．函数模型及其应用章文知识网络.2．知识梳理（1）常见函数模型①直线模型即一次函数模型，现实生活中很多事例可以用直线模型表示，例如匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长量与拉力的关系等，其增长特点是直线上升（x的系数k＞1），通过图象可以直观地认识它.②指数函数模型能用指数函数表示的函数模型. 指数函数增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数a＞1），常形象地称为“指数爆炸”.③对数函数模型能用对数函数表达的函数模型叫对数函数模型. 对数增长的特点是随着自变量的增大（底数a＞1），函数值增大的速度越来越慢. 对数增大在现实生活中也有广泛的应用.④幂函数模型能用幂函数表达的函数模型，叫做幂函数模型. 幂函数模型中最常见的是二次函数y = x2 的模型，它的应用最为广泛.（2）函数模型的选择和建立①根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型. 同时，要注意利用函数图象的直观性，作出散点图，来确定适合题意的函数模型.②建立数学模型的三关a．事理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口；b．文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系；c．数理关：在构建数学模型中，对已有的数学知识进行检索，从而认定或构建相应数学问题. 1．题生合作，绘制网络图.2．学生回顾口述知识要点，老师总结，归纳进行知识疏理. 整理知识培养归纳能力.师生共同回顾，再现知识与方法.
经典例题 例1 某工厂生产某产品所需要的费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P = 1000 + 5x +，Q = a +，若生产出的产品能够全部卖掉，且在产量为150吨时利润最大，此时每吨价格为40元，求实数a，b的值. 例2 某地投资建印染厂，为了保护环境，需制定治污方案. 甲方案为永久性治污方案，需一次投入100万元；乙方案为分期治污方案，需每月投资5万元，若投资额以月利润1%的复利计算，试比较投产几个月后甲方案与乙方案的优势. (必须时可用以下数据：lg1.010 = 0.0043，lg1.253 = 0.0980，lg1.250 = 0.0969，lg1.235 = 0.0917)注：1 + q + q2 +…+qn =. 例3 为了估计上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y，现有连续10年的实测资料，如下表所示.年序 最大积雪深度x (cm) 灌溉面积y (公顷) 1 15.2 28.6 2 10.4 21.1 3 21.2 40.5 4 18.6 36.6 5 26.4 49.8 6 23.4 45.0 7 13.5 29.2 8 16.7 34.1 9 24.0 45.8 10 19.1 36.9 （1）描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；（2）建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；（3）根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25cm，可以灌溉土地多少公顷？ 例1解析：根据题意得利润函数解析式为： .依题意得，解得.【评析】已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是何种函数，并要注意定义域，最后结合其实际意义作出解答.例2解析：设经过x个月后，甲、乙两方案总的本息分别为y，z，则y = 100 (1 + 1%)x z = 5 [1 + (1+1%) + (1+1%)2 +…+(1+1%)x–1] =. 设100 (1+1%)x＜500(1.01x–1)，则1.01x＞, 两边取常用对数得，x＞ 故工厂投产23个月后，甲方案优于乙方案，投产1至22个月乙方案优于甲方案. 【评析】不同的函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律，函数模型可以处理生产生活中很多实际问题. 常见的函数模型有： （1）一次函数型模型：y = kx + b (k≠0)； （2）二次函数型模型：y = ax2+bx+c (a≠0)； （3）指数函数型模型：y = a·bx + c； （4）对数函数型模型：y = m·logax + n； （5）幂函数型模型：y = axn + b. 例3：【解析】（1）利用计算机几何画板软件，描点如图甲. （2）从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y = a + bx. 取其中的两组数据(10.4, 21.1)，(24.0, 45.8)，代入y = a + bx，得，用计算器可得a≈2.4，b≈1.8. 这样，我们得到一个函数模型；y = 2.4 + 1.8x. 作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映积雪深度与灌溉面积的关系. （3）由y = 2.4 + 1.8×25，求得y = 47.4，即当积雪深度为25cm时，可以灌溉土地47.4公顷. 【评析】拟合函数模型解决实际问题要根据数据特点作函数点图，然后选择函数模型，这反映了一个较为完整的建立函数模型解决问题的过程.
备选例题
例3 我国农业科学家研究玉米的生长阶段与植株高度的函数关系的例子，这里我们再进一步研究此例，引导大家学习建立数学模型的方法.
下表给出了某地区玉米在不同生长阶段的高度数据：
生长阶段 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
植株高度(cm) 0.67 0.85 1.28 1.75 2.27 2.75 3.69 4.71 6.36 7.73 9.91 12.75 16.55 20.1 27.35 32.55
生长阶段 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
植株高度(cm) 37.55 44.75 53.38 71.61 83.89 97.46 112.73 135.12 153.6 160.32 167.05 174.9 177.87 180.19 180.79
（1）作出函数图象，近似地写出一个函数关系式表达两个变量之间的关系；
（2）利用得出的关系式列表；
（3）与表中实际数据比较，说出关系式给出的一些信息.
【解】（1）作出函数图形，如图所示.函数的图形近似于“S”形.
以我们现有的知识很难找出一个函数关系式来近似地表达这个图象，但我们仔细观察第1个生长阶段至第25个生长阶段图象后会发现，它与我们比较熟悉的指数函数的图象相象.
下面我们来考虑给出第1至第25个生长阶段的一个指数函数关系式.
假设指数函数为 y = ae bx ，
并且通过点（2，0.85）和（23，112.73）. 把这两个点的坐标代入函数关系式，解方程组得
a = 0.534，b = 0.233.
因此，用指数函数近似得到的关系式为
y = f (x) = 0.534e 0.233x.
（2）由得到的关系式计算出各个生长阶段的近似值如下：
生长阶段x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
植株高度f (x) 0.67 0.85 1.07 1.36 1.71 2.16 2.73 3.44 4.34 5.48 6.92 8.74 11.03
生长阶段x 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
植株高度f (x) 13.93 17.58 22.2 28.02 35.37 44.66 56.37 71.16 89.84 113.41 143.17 180.73
（3）从表中我们可以清楚地看出. 第1到第6个生长阶段与实际得到的数据相差很小，后面除第23生长阶段外的其它生长阶段数据相差较大.
这个指数函数在玉米生长后几个阶段增长较快，与实际数据中稳定于某一数值附近不符.
要得到效果更好的关系式，我们需要更多的数学知识.
人们在实际生活中发现生物种群的增长也有类似玉米株高生长的“S”形曲线. 如SARS（非典型肺炎）病的传播，时间与病例数的关系，科学家们研究发现这类曲线近似于以下函数： y =.
这类函数称为Logistic模型.
对于玉米生长的这组数据，也可以建立Logistic模型，玉米的整个生长过程近似于函数
y =.
Logistic模型在现实生活中有很多应用. 例如，它可以预测生物生长状况，这对我们了解生物生长发育情况，控制和预防疾病都有很大的帮助.
函数模型及其应用
模型应用举例
指数函数对数函数幂函数增长速度比较
直线上升指数爆炸对数增长
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