(共21张PPT)
1.1.1 命题
1.命题的概念与分类
名师点拨1.并不是任何语句都是命题,一个语句是命题需要满足两个条件:一是陈述句,二是能够判断真假.
2.一般来说,疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题.
3.对于含有变量的语句,要注意根据变量的取值范围,看能否判断真假,若能,就是命题;若不能,就不是命题.
4.数学中的定义、公理、公式、定理都是命题,但命题不一定都是定理,因为命题有真假之分,而定理一定是真命题.
【做一做1】 (1)下列语句不是命题的是( )
A.3是15的约数 B.x2+2x+1≥0
C.4不小于2 D.5能被15整除吗?
(2)下列命题中,是真命题的是( )
A.{x∈R|x2+1=0}不是空集
B.若x2=1,则x=1
C.空集是任何集合的真子集
D.x2-5x=0的根是自然数
解析:(1)D是疑问句,不是陈述句,不符合命题的定义,不是命题,其余A,B,C均是能够判断真假的陈述句,是命题.
(2)A中方程在实数范围内无解,故A是假命题;B中若x2=1,则x=±1,故B是假命题;因空集是任何非空集合的真子集,故C是假命题;所以选D.
答案:(1)D (2)D
2.命题的结构形式
命题的一般形式:“若p,则q”,通常,命题中的p叫作命题的条件,q叫作命题的结论.
特别提醒数学上有一些命题虽然表面上不是“若p,则q”的形式,但可以将它的表述做适当改变,写成“若p,则q”的形式,从而得到该命题的条件和结论.
【做一做2】 (1)命题“等腰三角形的两个底角相等”的条件为 ,结论为 .?
(2)将命题“对角线相等的四边形是矩形”写成“若p,则q”的形式为 .?
解析:(1)命题“等腰三角形的两个底角相等”的条件为“等腰三角形”,结论为“两个底角相等”.
(2)该命题条件是四边形的对角线相等,结论是该四边形是矩形,故写成“若p,则q”的形式为:若一个四边形的对角线相等,则它是矩形.
答案:(1)等腰三角形 两个底角相等
(2)若一个四边形的对角线相等,则它是矩形
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)陈述句都是命题. ( )
(2)含有变量的语句也可能是命题. ( )
(3)如果一个语句判断为假,那么它就不是命题. ( )
(4)有些命题在形式上可以不是“若p,则q”的形式. ( )
答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
命题概念与分类
【例1】 判断下列语句是不是命题,并说明理由.
(1) 是有理数;
(2)2020年夏季奥运会的举办城市是日本的东京;
(3)3x≤5;
(4)梯形是不是平面图形呢?
(5)x2-2x+7>0;
(6)请勿喧哗!
(7)8≥10.
思路点拨:是不是陈述句→能否判定真假→结论
探究一
探究二
探究三
思维辨析
自主解答:(1)“ 是有理数”是陈述句,并且能判断它是假的,所以它是命题.
(2)“2020年夏季奥运会的举办城市是日本的东京” 是陈述句,并且能判断它是真的,所以它是命题.
(3)因为无法判断“ 3x≤5”的真假,所以它不是命题.
(4)“梯形是不是平面图形呢?”是疑问句,所以它不是命题.
(5)因为“x2-2x+7>0”中Δ=4-28<0,所以“x2-2x+7>0”是真的,所以它是命题.
(6)“请勿喧哗!”是祈使句,所以它不是命题.
(7)“8≥10”是假的,所以它是命题.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟判断一个语句是不是命题,一般把握住两点:
(1)看其是不是陈述句;
(2)看其能否判断真假.
两者同时成立才是命题.
注意不要误认为假命题不是命题.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1下列语句是命题的有 .(填序号)?
①垂直于同一平面的两个平面相互平行吗?
②作直线a平行于直线b.
③4是集合{1,2,3}中的元素.
④在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若a=b,则A=B.
⑤这是一棵大树啊!
⑥x-4>1.
⑦ 是无理数.
解析:①是疑问句,不是命题;②是祈使句,不是命题;③④是命题;⑤是感叹句,不是命题;⑥中x的取值能否使不等式成立无法确定,不是命题;⑦是命题.
答案:③④⑦
探究一
探究二
探究三
思维辨析
命题的真假判断
【例2】 判断下列命题的真假:
思路点拨:根据命题真假的定义,结合数学中的定义、定理、公理、公式等知识进行判断.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
自主解答:(1)是真命题;
(2)是假命题.如x=-1时,log2x2=0,而2log2x=2log2(-1)无意义;
(3)是真命题.若m>1,则Δ=4-4m<0;
(4)是假命题.直线x+y=0的倾斜角是 ;
(5)是真命题;
(6)是假命题.如当A={1,2,3},B={2,3,4}时,1∈A,但1?(A∩B).
反思感悟命题真假的判断策略
(1)要判断一个命题是真命题,一般要有严格的证明或有事实依据,比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证.
(2)要判断一个命题是假命题,只要举一个反例即可.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2判断下列语句是不是命题,并判断它们的真假:
(1)若a,b,c,d∈R,a=c且b=d,则a+b=c+d;
(2)对立事件一定是互斥事件;
(3)函数y=cos x的最小正周期是π吗?
(4)在等比数列{an}中,若公比q>1,则数列{an}是递增数列;
(5)若x∈R,则x2-x+1>0.
解:(1)是命题,且是真命题;(2)是命题,且是真命题;(3)是疑问句,不是命题;(4)是命题,且是假命题.如数列-1,-2,-4,-8,…为递减数列;(5)是命题,且是真命题.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
命题的结构形式
【例3】把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.
(1)周长相等的两个三角形面积相等;
(2)偶数能被2整除;
(3)奇函数的图象关于原点对称.
思路点拨:要分清命题的条件和结论,可将命题改写成“若p,则q”的形式,改写时尽量使句子通顺一些.
自主解答:(1)若两个三角形周长相等,则这两个三角形面积相等,假命题;
(2)若一个数是偶数,则它能被2整除,真命题;
(3)若一个函数是奇函数,则它的图象关于原点对称,真命题.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟将命题改写为“若p,则q”形式的方法及原则
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3将下列命题改为“若p,则q”的形式,并判断真假.
(1)当a>b时,ac>bc;
(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行;
(3)同弧所对的圆周角不相等.
解:(1)若a>b,则ac>bc.假命题;
(2)若两个平面垂直于同一条直线,则这两个平面互相平行.真命题;
(3)若两个角为同弧所对的圆周角,则它们不相等.假命题.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
因知识欠缺导致对命题的真假判断失误
【典例】 判断下列命题的真假.
(1)若a>b,则 ;
(2)x=1是方程(x-1)(x-2)=0的一个根.
易错分析:(1)误认为a,b同号,“两数比较大小时,大数的倒数反而小”,而忽视当a>0,b<0时,a>b但 的情况.
(2)因为方程(x-1)(x-2)=0的根为x=1或x=2,解题时误认为x=1不全面,而没有分析清逻辑关系.
自主解答:(1)假命题.(2)真命题.
纠错心得:平时学习时一定要对每一个基础知识点理解透彻.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
跟踪训练判断下列命题的真假并说明理由.
(1)合数一定是偶数;
(2)若ab>0,且a+b>0,则a>0且b>0;
(3)若m> ,则方程mx2-x+1=0无实根.
解:(1)假命题.例如9是合数,但不是偶数.
(2)真命题.因为ab>0,则a,b同号.
又a+b>0故a,b不能同负,
故a,b只能同正,即a>0且b>0.
(3)真命题.因为当m> 时,Δ=1-4m<0,
∴方程无实根.
1.下列语句中是命题的是( )
A.5比10大
B.他是高年级的学生
C.x+y>xy
D.太阳和月亮
解析:“5比10大”是陈述句,且判断为假,故是命题,其余均不是命题.
答案:A
2.命题“6的倍数既能被2整除,也能被3整除”的结论是 ( )
A.这个数能被2整除
B.这个数能被3整除
C.这个数既能被2整除,也能被3整除
D.这个数是6的倍数
解析:命题可改写为:若一个数是6的倍数,则这个数既能被2整除,也能被3整除.
答案:C
3.命题“m>1时,不等式mx2-2(m+1)x+(m-3)>0的解集为R”的条件是 ,结论是 ? .?
解析:“若p,则q”形式的命题,其中p是条件,q是结论,因此该命题中“m>1”是条件,“不等式mx2-2(m+1)x+(m-3)>0的解集为R”是结论.
答案:m>1 不等式mx2-2(m+1)x+(m-3)>0的解集为R
4.若命题“函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)是增函数”是真命题,则a的取值范围是 .?
解析:因为f(x)=ax(a>0,且a≠1)是增函数,所以a>1.
答案:a>1
5.将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断其真假.
(1)末位数字是0或5的整数,能被5整除;
(2)方程x2-x+1=0有两个实数根.
解:(1)若一个整数的末位数字是0或5,则这个数能被5整除.真命题.
(2)若一个方程是x2-x+1=0,则它有两个实数根.假命题.
(共26张PPT)
1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系
1.四种命题
(1)原命题与逆命题
(2)原命题与否命题
(3)原命题与逆否命题
名师点拨1.四种命题中原命题具有相对性,任何一个都可以作为原命题,原命题确定后,其逆命题、否命题和逆否命题就确定了,所以“互逆”“互否”“互为逆否”具有对称性.
2.“互为逆否命题”与“逆否命题”是不同的,互为逆否命题指的是两个命题之间的关系,具有双向性,而逆否命题指的是一个命题,具有单向性.
2.四种命题间的关系
名师点拨四种命题之间共有互逆、互否、互为逆否三种关系.
(1)互逆关系:原命题与逆命题,否命题与逆否命题;
(2)互否关系:原命题与否命题,逆命题与逆否命题;
(3)互为逆否关系(等价关系):原命题与逆否命题,逆命题与否命题.
【做一做2】 给出以下命题:
①若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形;
②若一个四边形的对角互补,则它内接于圆;
③正方形的四条边相等;
④圆内接四边形的对角互补;
⑤对角不互补的四边形不内接于圆;
⑥若一个四边形的四条边相等,则它是正方形.
其中互为逆命题的有 ;互为否命题的有 ;互为逆否命题的有 .?
解析:命题③可改写为“若一个四边形是正方形,则它的四条边相等”;命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形,则它的对角互补”;命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补,则它不内接于圆”.因此互为逆命题的有③和⑥,②和④;互为否命题的有①和⑥,②和⑤;互为逆否命题的有①和③,④和⑤.
答案:③和⑥,②和④ ①和⑥,②和⑤ ①和③,④和⑤
3.四种命题间的真假关系
(1)四种命题的真假性,有以下四种情况:
(2)四种命题的真假性之间的关系如下:
①两个命题互为逆否命题,它们的真假性相同;
②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.
名师点拨由于原命题与其逆否命题的真假性相同,所以原命题与其逆否命题是等价命题,因此当直接证明原命题困难时,可以转化证明其逆否命题.
【做一做3】 (1)命题“若x2≠1,则x≠1”的否命题是 (填“真”或“假”)命题.?
(2)若命题p的逆否命题是真命题,则命题p是 命题.(填“真”或“假”)?
(3)命题“若a>b,则a2>b2”的逆否命题为 ,其真假情况为 (填“真命题”或“假命题”).?
答案:(1)假 (2)真 (3)若a2≤b2,则a≤b 假命题
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)有的命题没有逆命题. ( )
(2)在四种命题中,只有原命题与否命题具有互否关系. ( )
(3)互逆命题的真假性一定相反. ( )
(4)在原命题及其逆命题、否命题和逆否命题中,假命题的个数一定是偶数. ( )
(5)原命题的否命题的逆命题就是原命题的逆否命题. ( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
探究一
探究二
思想方法
写出原命题的其他三种命题
【例1】写出下列各个命题的逆命题、否命题和逆否命题.
(2)若a+b是偶数,则a,b都是偶数;
(3)等底等高的两个三角形是全等三角形;
(4)当1
(5)若ab=0,则a=0或b=0.
思路点拨:注意分清命题的条件和结论,然后按照四种命题的定义写出相应的命题,其中(2)要注意对“都是”的否定,(5)要注意对“或”的否定.
探究一
探究二
思想方法
(2)逆命题:若a,b都是偶数,
则a+b是偶数.
否命题:若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数.
逆否命题:若a,b不都是偶数,
则a+b不是偶数.
探究一
探究二
思想方法
(3)逆命题:若两个三角形全等,则这两个三角形等底等高.
否命题:若两个三角形不等底或不等高,则这两个三角形不全等.
逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等底或不等高.
(4)逆命题:若x2-3x+2<0,则1否命题:若x≤1或x≥2,
则x2-3x+2≥0.
逆否命题:若x2-3x+2≥0,则x≤1或x≥2.
(5)逆命题:若a=0或b=0,则ab=0.
否命题:若ab≠0,则a≠0,且b≠0.
逆否命题:若a≠0,且b≠0,则ab≠0.
探究一
探究二
思想方法
反思感悟1.给出一个命题,写出该命题的其他三种形式时,首先要弄清楚该命题的条件和结论,若给出的命题不是“若p,则q”的形式,则应先改写为“若p,则q”的形式,找出命题的条件和结论.
2.写一个命题的否命题时,要对命题的条件和结论都进行否定,避免出现不否定条件,只否定结论的错误.
3.要特别注意一些常见形式的否定的写法,例如:“都是”的否定为“不都是”,“a,b中至少一个为零”的否定为“a,b都不为零”.
探究一
探究二
思想方法
变式训练1(1)若命题r的否命题为“若 p,则q”,那么原命题r为 .?
答案:若p,则 q
(2)写出命题“若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下,则集合{x|ax2+bx+c<0,a≠0}≠?”的逆命题、否命题和逆否命题.
解:逆命题:若集合{x|ax2+bx+c<0,a≠0}≠?,
则抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下.
否命题:若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上,
则集合{x|ax2+bx+c<0,a≠0}=?.
逆否命题:若集合{x|ax2+bx+c<0,a≠0)}=?,
则抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上.
探究一
探究二
思想方法
四种命题的真假判断
【例2】判断下列各个命题的真假:
(1)“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题;
(2)“对顶角相等”的逆命题;
(3)“直角三角形的两个锐角互为余角”的逆否命题;
(4)若a≥0或b≥0,则a+b≥0.
思路点拨:可以直接根据要求写出每个命题,然后判断真假,也可以不写出命题,而利用四种命题之间的等价性关系进行判断.
探究一
探究二
思想方法
自主解答:(1)法一:“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题是“若x+y≠0,则x,y不互为相反数”,是真命题.
法二:“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题是“若x,y互为相反数,则x+y=0”,显然是真命题,而逆命题和否命题等价,因此“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题是真命题.
(2)法一:“对顶角相等”的逆命题是“若两个角相等,则它们是对顶角”,是假命题.
法二:“对顶角相等”的否命题是“若两个角不是对顶角,则它们不相等”,显然是假命题,而逆命题和否命题等价,故“对顶角相等”的逆命题是假命题.
探究一
探究二
思想方法
(3)法一:“直角三角形的两个锐角互为余角”的逆否命题是“若一个三角形的两个锐角不互为余角,则这个三角形不是直角三角形”,是真命题.
法二:由于命题“直角三角形的两个锐角互为余角”是真命题,而原命题与逆否命题等价,所以“直角三角形的两个锐角互为余角”的逆否命题是真命题.
(4)法一:取a=4,b=-6,满足a≥0或b≥0,但这时a+b≥0不成立,故原命题是假命题.
法二:命题“若a≥0或b≥0,则a+b≥0”的逆否命题是“若a+b<0,则a<0,且b<0”,显然是假命题,而原命题与逆否命题等价,所以原命题是假命题.
探究一
探究二
思想方法
反思感悟判断一个命题的真假通常有以下两种方法:
(1)分清该命题的条件与结论,直接对该命题的真假进行判断;
(2)不直接写出命题,而是根据命题之间的关系进行判断,即原命题与其逆否命题等价、逆命题与否命题等价,特别是当命题本身不容易判断真假时,通常都是通过判断其逆否命题的真假来判断.
探究一
探究二
思想方法
变式训练2(1)命题“个位数字为5的整数能被5整除”是 (填“真”或“假”)命题,它的逆命题是 (填“真”或“假”)命题.?
(2)下列说法正确的是 .?
① “若实数x,y满足x2+y2=0,则x,y全为零”的否命题是假命题;
②“正多边形都相似”的逆命题是真命题;
③“若 是有理数,则x是无理数”的逆否命题是真命题.
探究一
探究二
思想方法
解析:(1)显然原命题为真命题;而当一个整数能被5整除时,其末尾数字不一定为5,也可以为0,故逆命题是假命题.
(2)由于“若实数x,y满足x2+y2=0,则x,y全为零”的逆命题为“若x,y全为零,则x2+y2=0”,是真命题,所以“若实数x,y满足x2+y2=0,则x,y全为零”的否命题也是真命题,故①错误;相似的多边形不一定是正多边形,因此“正多边形都相似”的逆命题是假命题,故②错误;由于“若
是有理数,则x是无理数”是真命题,则其逆否命题也是真命题,故③正确.
答案:(1)真 假 (2)③
探究一
探究二
思想方法
等价性命题与“正难则反” 思想的应用
【典例】 若实数m,n满足m+n>3,求证:m2+n2≠4.
【审题视角】 将要证明的问题看做一个命题,只需证明这个命题为真命题即可,而当证明这个命题本身的真假比较困难时,可以利用命题的等价性证明其逆否命题为真命题.
自主解答:构造命题:若m+n>3,则m2+n2≠4.
该命题的逆否命题是:若m2+n2=4,则m+n≤3,以下证明该逆否命题为真命题.
探究一
探究二
思想方法
方法点睛“正难则反”思想的处理原则
(1)当原命题的真假不易判断,而逆否命题较容易判断真假时,可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.
(2)在证明某一个命题的真假性有困难时,可以证明它的逆否命题为真(假)命题,来间接地证明原命题为真(假)命题.
探究一
探究二
思想方法
跟踪训练求证:当a2+b2=c2时,a,b,c不可能都是奇数.
证明:构造命题:若a2+b2=c2,则a,b,c不可能都是奇数.
该命题的逆否命题是:若a,b,c都是奇数,则a2+b2≠c2.下面证明该逆否命题是真命题.
由于a,b,c都是奇数,则a2,b2,c2都是奇数,于是a2+b2必为偶数,而c2为奇数,所以a2+b2≠c2,故逆否命题为真命题,从而原命题也是真命题.
1.命题“若a+b=6,则ab≤9”的否命题是( )
A.若a+b=6,则ab>9 B.若ab≥9,则a+b≠6
C.若a+b≠6,则ab>9 D.若a+b≠6,则ab≤9
答案:C
2.已知命题s的逆命题是:“若????p,则q”,则命题s的否命题是( )
A.若q,则p B.若????q,则p C.若????q,则????p D.若p,则????q
解析:由已知得原命题s是“若q,则????p”,则s的否命题是“若????q,则p”.
答案:B
3.在命题“若a=5,则a2=25”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,是假命题的是( )
A.原命题、否命题 B.原命题、逆命题
C.原命题、逆否命题 D.逆命题、否命题
解析:因为原命题为真命题,逆命题为假命题,所以其逆否命题为真命题,否命题为假命题.
答案:D
4.下列命题中,真命题的个数是( )
①“若x,y都是奇数,则x+y是偶数”的否命题;②“全等三角形是相似三角形”的逆命题;③“圆内接四边形的对角互补”的逆否命题.
A.3 B.2 C.1 D.0
解析:①②是假命题,③是真命题.
答案:C
5.求证:若x+y≤8,则x,y中至少有一个不大于4.
证明:构造命题:若x+y≤8,则x,y中至少有一个不大于4.
其逆否命题是:若x,y都大于4,则x+y>8.
当x>4,y>4时,由不等式的性质可得x+y>8.
即逆否命题为真,故原命题为真命题,即原结论成立.
(共27张PPT)
1.2 充分条件与必要条件
1.充分条件与必要条件
名师点拨1.充分条件是某一个结论成立应具备的条件,当命题具备此条件时,就可以得出此结论;或要使此结论成立,只要具备此条件就足够了,当命题不具备此条件时,结论也有可能成立.
2.必要条件是在充分条件的基础上得出的,真命题的条件是结论成立的充分条件,但不一定是结论成立的必要条件;假命题的条件不是结论成立的充分条件,但有可能是结论成立的必要条件.
3.以下几种说法是等价的:①p?q;②p是q的充分条件;③q是p的必要条件;④q的充分条件是p;⑤p的必要条件是q.
【做一做1】 用“充分条件”和“必要条件”填空:
(1)“a>0,b>0”是“a+b>0”的 .?
(2)“tan θ=1”是“ ”的 .?
(3)若p是q的充分条件,q是r的充分条件,则p是r的 .?
答案:(1)充分条件 (2)必要条件 (3)充分条件
2.充要条件
名师点拨1.p是q的充要条件意味着“p成立,则q一定成立;p不成立,则q一定不成立”.
2.要判断p是不是q的充要条件,需要进行两次判断:一是看p能否推出q,二是看q能否推出p.若p能推出q,q也能推出p,就可以说p是q的充要条件,否则,就不能说p是q的充要条件.
3.对充分条件和必要条件的进一步划分:
【做一做2】 下列各项中,p是q的充要条件的是( )
解析:A项中,p是q的充分不必要条件;C项中,p是q的充分不必要条件;D项中,p是q的必要不充分条件,只有B项符合.
答案:B
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)如果p是q的充分条件,那么命题“若p,则q”不一定为真. ( )
(2)如果p是q的充分条件,那么q就是p的必要条件. ( )
(3)如果p是q的必要条件,那么p是唯一的. ( )
(4)如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件. ( )
(5)如果p是q的充要条件,那么命题p和q是两个相互等价的命题. ( )
答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
探究一
探究二
思维辨析
充分条件、必要条件、充要条件的判断
【例1】指出下列各题中,p是q的什么条件.(从充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件中选出一种作答)
思路点拨:分析判断p?q,q?p是否成立,再结合充分条件、必要条件、充要条件的定义得出结论.
探究一
探究二
思维辨析
探究一
探究二
思维辨析
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟充分条件、必要条件的两种基本判断方法:
(1)定义法
①确定条件和结论;
②尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则为充分条件,否则就不是充分条件;
③尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则为必要条件,否则就不是必要条件.
(2)命题判断法
①如果命题“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;
②如果命题“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练1用“充分不必要”、“ 必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”填空:
(1)“x2=4”是“x=-2”的 条件;?
(2)“函数f(x)=cos(2x+θ)是偶函数”是“θ=kπ(k∈Z)”的 条件;
(3)“a>b”是“ ”的 条件;?
(4)“lg(x-y)>0”是“x-y>0”的 条件.?
探究一
探究二
思维辨析
答案:(1)必要不充分 (2)充要 (3)既不充分也不必要
(4)充分不必要
探究一
探究二
思维辨析
充要条件的证明
【例2】 设a,b,c分别为△ABC的三边,求证:方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是A=90°.
思路点拨:第一步,分清条件与结论:“p是q的充要条件”中p是条件,q是结论;“p的充要条件是q”中,p是结论,q是条件.本题中条件是“A=90°”,结论是“方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根”;第二步,根据要求确定解题步骤,分别证明“充分性”与“必要性”,先证充分性:“条件?结论”;再证必要性:“结论?条件”.
探究一
探究二
思维辨析
自主解答:(1)证明充分性:
因为A=90°,所以a2=b2+c2,方程x2+2ax+b2=0可化为x2+2ax+a2-c2=0,
即(x+a+c)(x+a-c)=0,所以两根分别为x1=-a-c,x2=-a+c.
同理x2+2cx-b2=0可化为x2+2ax-a2+c2=0,
即(x+a+c)(x+c-a)=0,所以两根分别为x3=-a-c,x4=a-c.
故两个方程有公共根-a-c.
(2)证明必要性:
设两个方程有公共根α,则α2+2aα+b2=0,α2+2cα-b2=0,显然α≠0.
两式相加得α2+2α(a+c)=0.
所以α=-(a+c).
代入x2+2ax+b2=0可得a2=b2+c2,所以A=90°.
综上所述:方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是A=90°.
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟充要条件的证明策略
(1)要证明p为q的充要条件(q的充要条件为p),需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题“若p,则q”为真且“若q,则p”为真,但证明过程中需注意不要混淆条件和结论.
(2)也可以用集合的思想来证明,即证明p与q的解集是相同的,但证明前必须辨别清楚充分性和必要性.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练2在△ABC中,求证A,B,C成等差数列的充要条件是B=60°.
证明:(1)充分性:
在△ABC中,A+B+C=180°.
∵B=60°,∴A+C=120°,∴A+C=2B.
∴A,B,C成等差数列.
(2)必要性:
∵A,B,C成等差数列,∴A+C=2B.
又A+B+C=180°,∴3B=180°,∴B=60°.
故A,B,C成等差数列的充要条件是B=60°.
探究一
探究二
思维辨析
考虑不周致误
【典例】 “直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍”是“直线l的斜率等于-2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
易错分析:本题常见的错解有两个,一个是由于对充分条件、必要条件的定义理解不透,导致判断结论错误;另一个是由于对问题中的相关数学知识“截距”、“斜率”等概念理解不深,考虑不全面导致判断结果出错,这是主要错误所在.
探究一
探究二
思维辨析
自主解答:若直线l的斜率等于-2,则直线l在y轴上的截距一定是它在x轴上的截距的2倍;但当直线l在y轴上的截距是它在x轴上的截距的2倍时,其斜率不一定等于-2.因为直线l可以经过原点,其斜率可以为任意值.所以“直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍”是“直线l的斜率等于-2”的必要不充分条件.故选B.
答案:B
纠错心得:本题以直线的斜率和截距等概念为载体考查了充分条件与必要条件的推理判断.解题关键是正确理解直线在坐标轴上的截距的概念,同时又要对零截距的直线有所认识,当直线经过原点时,它在两坐标轴上的截距均为零,这时可以认为直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,所以在进行充分条件与必要条件的推理判断时,一定考虑周全,避免出错.
探究一
探究二
思维辨析
1
2
3
4
5
1.对于函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),下列结论正确的是 ( )
①Δ=b2-4ac≥0是函数f(x)有零点的充要条件;
②Δ=b2-4ac=0是函数f(x)有零点的充分条件;
③Δ=b2-4ac>0是函数f(x)有零点的必要条件;
④Δ=b2-4ac<0是函数f(x)没有零点的充要条件.
A.①③④ B.①②③ C.①②③④ D.①②④
1
2
3
4
5
解析:
答案:D
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5.求证:一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.
(共28张PPT)
1.3 简单的逻辑联结词
1.用逻辑联结词构成新命题
名师点拨1.对于逻辑联结词“且”“或”“非”,可以分别结合集合中的“交集”“并集”“补集”来进行理解.
2.简单命题与复合命题:不含逻辑联结词“且”“或”“非”的命题是简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命题是复合命题,因此就有“p∨q”“ p∧q”“ p”形式的复合命题,其中p,q是简单命题,由简单命题构成复合命题的关键是对逻辑联结词“且”“或” “非”的理解.
特别提醒一个命题的否定与命题的否命题不同,以下从三个角度分析二者的区别:
(1)概念:命题的否定是直接对命题的结论进行否定;而否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定.
(2)构成:原命题“若a,则b”的否定是“若a,则 b”;而其否命题为“若 a,则 b”.
(3)真假:命题p与其否定 p的真假性相反;而命题p与其否命题的真假性没有直接联系.
【做一做1】 指出下列各个命题分别运用了哪个逻辑联结词:
(1)函数f(x)=sin x+3不是周期函数;
(2)a2+b2≥2ab;
(3)有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形.
答案:(1)非 (2)或 (3)且
2.含逻辑联结词的命题的真假判断
名师点拨注意以上真值表的逆用:当p∧q为真时,p和q都必须是真命题;当p∨q为真时,p和q中至少有一个是真命题;当p∨q为假时,p和q都必须是假命题;当p∧q为假时,p和q中至少有一个是假命题.
【做一做2】 下列命题中,是真命题的是( )
A.1≥6
B.函数 是最小正周期为π的奇函数
C.方程x3-3x=0没有无理根
D.4既是8的约数又是16的倍数
解析: =-sin 2x,所以它是最小正周期为π的奇函数.
答案:B
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)逻辑联结词只能出现在命题的结论中. ( )
(2)命题的否定就是该命题的否命题. ( )
(3)命题p∨( p)一定是真命题. ( )
(4)若p∨q是假命题,那么p一定是假命题. ( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
探究一
探究二
探究三
规范解答
用逻辑联结词构造新命题
【例1】 分别写出由下列命题构成的“p∨q”“ p∧q”“ p”形式的复合命题:
(1)p:π是无理数,q:e不是无理数;
(2)p:周长相等的两个三角形全等,q:面积相等的两个三角形全等;
(3)p:方程x2+4x+3=0有两个相等的实数根,q:方程x2+4x+3=0有两个负实数根.
思路点拨:先确定两个简单命题p,q,再根据逻辑联结词的含义写出新命题.
探究一
探究二
探究三
规范解答
自主解答:(1)p∨q:π是无理数或e不是无理数;
p∧q:π是无理数且e不是无理数;
p:π不是无理数.
(2)p∨q:要么周长相等的两个三角形全等,要么面积相等的两个三角形全等;
p∧q:周长相等的两个三角形全等,面积相等的两个三角形也全等;
p:周长相等的两个三角形不全等.
(3)p∨q:方程x2+4x+3=0有两个相等的实数根或有两个负实数根;
p∧q:方程x2+4x+3=0有两个相等的负实数根;
p:方程x2+4x+3=0没有两个相等的实数根.
探究一
探究二
探究三
规范解答
反思感悟1.用逻辑联结词构造新命题的两个步骤:
(1)确定两个简单命题p,q;
(2)分别用逻辑联结词“且”“或”“非”将p和q联结起来,即得新命题.
2.用逻辑联结词“且”“或”“非”联结两个命题,关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词,选择合适的联结词,有时为了语法的要求及语句的通顺也可进行适当的省略和变形.
3.辨别复合命题的构成形式时,应根据组成复合命题的语句中所出现的逻辑联结词,或语句的意义确定复合命题的形式,准确理解语义应注意抓住一些关键词.如“是…也是…”,“兼”,“不但…而且…”,“既…又…”,“要么…,要么…”等.
探究一
探究二
探究三
规范解答
变式训练1指出下列命题的构成形式,以及构成它的简单命题:
(1)1是质数或合数;
(2)他是运动员兼教练;
(3)不等式|x-2|≤0没有实数解;
(4)这部作品不仅艺术上有缺点,政治上也有错误.
解:(1)这个命题是“p∨q”形式,其中p:1是质数,q:1是合数;
(2)这个命题是“p∧q”形式,其中p:他是运动员,q:他是教练员;
(3)这个命题是“ p”形式,其中p:不等式|x-2|≤0有实数解;
(4)这个命题是“p∧q”形式,其中p:这部作品艺术上有缺点,q:这部作品政治上有错误.
探究一
探究二
探究三
规范解答
含逻辑联结词的命题的真假判断
【例2】分别指出由下列简单命题所构成的“p∧q”“p∨q”“ p”形式的命题的真假:
(1)p:2是奇数,q:2是合数;
(2)p:函数f(x)=3x-3-x是偶函数,q:函数f(x)=3x-3-x是单调递增函数;
(3)p:点(1,2)在直线2x+y-4=0上,q:点(1,2)不在圆x2+(y-3)2=2上;
(4)p:不等式x2-x+2<0没有实数解,q:函数y=x2-x+2的图象与x轴没有交点.
思路点拨:分析判断出每个简单命题的真假,然后结合真值表得到每个复合命题的真假.
探究一
探究二
探究三
规范解答
自主解答:(1)由于p是假命题,q是假命题,
所以p∧q是假命题,p∨q是假命题, p是真命题;
(2)由于p是假命题,q是真命题,
所以p∧q是假命题,p∨q是真命题, p是真命题;
(3)由于p是真命题,q是假命题,
所以p∧q是假命题,p∨q是真命题, p是假命题;
(4)由于p是真命题,q是真命题,
所以p∧q是真命题,p∨q是真命题, p是假命题.
反思感悟判断“p∧q”“p∨q”“ p”形式的命题真假的步骤:
第一步,确定复合命题的构成形式;
第二步,判断简单命题p,q的真假;
第三步,根据真值表作出判断.
其中特别要注意:一真“或”为真,一假“且”即假.
探究一
探究二
探究三
规范解答
变式训练2分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“ p”形式的命题的真假:
(1)p:梯形有一组对边平行;q:梯形有一组对边相等;
(2)p:1是方程x2-4x+3=0的根;q:3是方程x2-4x+3=0的根;
(3)p:不等式x2-2x+1>0的解集为R;q:不等式x2-2x+2≤1的解集为?.
解:(1)由于p是真命题,q是假命题,所以p∧q是假命题,p∨q是真命题, p是假命题;
(2)由于p和q均是真命题,所以p∧q是真命题,p∨q是真命题, p是假命题.
(3)由于p和q均是假命题,所以p∧q是假命题,p∨q是假命题, p是真命题.
探究一
探究二
探究三
规范解答
命题的否定及其应用
【例3】 (1)写出下列命题的否定形式:
①p:大于1的数是正数;
②q:抛物线y=(x+1)2的顶点坐标是(-1,0);
③r:10<9;
④s:若m2+n2+p2=0,则m,n,p全为0.
探究一
探究二
探究三
规范解答
探究一
探究二
探究三
规范解答
探究一
探究二
探究三
规范解答
探究一
探究二
探究三
规范解答
探究一
探究二
探究三
规范解答
探究一
探究二
探究三
规范解答
【答题模板】第1步:求出当命题p为真命题时,参数m的取值范围.
?
第2步:求出当命题q为真命题时,参数m的取值范围.
?
根据命题p∧q,p∨q的真假情况确定命题p,q的真假.
?
由命题p,q的真假通过解不等式组求得参数m的取值范围.
?
将两种情况下得到的m的取值范围合并,写出题目的解答结果.
探究一
探究二
探究三
规范解答
【失误警示】通过阅卷统计分析,发现造成失分的原因主要如下:
(1)不能正确地将命题p,q为真命题时,相应m的取值范围求出来;
(2)不能准确地由p∧q为假命题,p∨q为真命题推定命题p,q真假两种情形,只得到其中的一种;
(3)由命题p,q的真假性建立不等式组时出现错误,或解不等式组时出现错解;
(4)没有将两种情形下得到的m的取值范围进行合并化简.
探究一
探究二
探究三
规范解答
跟踪训练已知命题p:关于x的不等式x2+(a-1)x+1≤0的解集为空集;命题q:函数f(x)=ax2+ax+1没有零点,若命题p且q为假命题,p或q为真命题,求实数a的取值范围.
解:对于命题p:由于x2+(a-1)x+1≤0的解集为空集,
所以Δ=(a-1)2-4<0,解得-1对于命题q:f(x)=ax2+ax+1没有零点,等价于方程ax2+ax+1=0没有实数根,
①当a=0时,方程无实根符合题意.
②当a≠0时,Δ=a2-4a<0,解得0所以0≤a<4.故q真:0≤a<4,q假:a<0或a≥4.
由命题p且q为假命题,p或q为真命题可知,命题p与命题q有且只有一个为真.
若p真q假,则-1综上可知,实数a的取值范围是(-1,0)∪[3,4).
1.有下列命题:
①2012年10月1日是国庆节,又是国际音乐日;
②6的倍数一定是3的倍数;
③3不是质数;
④方程x2=1的解是x=±1.
其中使用逻辑联结词的命题有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:①中使用了逻辑联结词“且”;②中没有使用逻辑联结词;③中使用了逻辑联结词“非”;④中使用但省略了逻辑联结词“或”.
答案:C
5.设有两个命题:①关于x的不等式mx2+1>0的解集是R;②函数f(x)=logmx是减函数.如果这两个命题中有且只有一个真命题,那么实数m的取值范围是 .?
解析:①是真命题,则m≥0,②是真命题,则0答案:m=0或m≥1
(共27张PPT)
1.4 全称量词与存在量词
1.全称量词与全称命题
(1)短语“所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“?”表示.
(2)含有全称量词的命题,叫做全称命题.
(3)全称命题的表述形式:对M中任意一个x,有p(x)成立,可简记为:?x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.
(4)全称命题的真假判断:要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x,验证p(x)成立;但要判断一个全称命题是假命题,只需列举出一个x0∈M,使得p(x0)不成立即可.
名师点拨1.全称命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题,常见的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”.
2.有些命题省去了全称量词,但仍是全称命题,如“有理数是实数”,就是“所有的有理数都是实数”.
2.存在量词与特称命题
(1)短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“?”表示.
(2)含有存在量词的命题,叫做特称命题.
(3)特称命题的表述形式:存在M中的一个x0,使p(x0)成立,可简记为:?x0∈M,p(x0),读作“存在一个x0属于M,使p(x0)成立”.
(4)特称命题的真假判断:要判断一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个x0,使得命题p(x0)成立即可.
名师点拨1.特称命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题,常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”等.
2.全称命题与特称命题的区别
(1)全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质,无一例外,强调“整体、全部”.
(2)特称命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外,强调“个别、部分”.
特别提醒通过举例验证的方式说明全称命题为真是容易出现的错误,注意规避.
【做一做1】 (1)命题“有些长方形是正方形”中含有的量词是 ,该量词是 量词(填“全称”或“存在”),该命题是 命题(填“全称”或“特称”).?
(2)命题“负数没有对数”中省略的量词是 ,这是一个 命题(填“全称”或“特称”).?
答案:(1)有些 存在 特称 (2)所有的 全称
【做一做2】 下列命题中,既是真命题又是特称命题的是( )
A.存在一个θ,使tan θ=tan(90°-θ)
B.存在实数x0,使sin x0=
C.对一切θ,使sin θ=sin(180°-θ)
D.sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
解析:只有A,B两个选项中的命题是特称命题,而由于|sin x|≤1,
所以sin x0= 不成立,故B中命题为假命题.
又因为当θ=45°时,tan θ=tan(90°-θ),故A中命题为真命题.
答案:A
3.全称命题与特称命题的否定
名师点拨1.写出一个全称命题或特称命题的否定时,通常要将命题的两个地方进行改变,一是量词符号要改变,二是结论要进行否定.
2.全称命题(或特称命题)与其否定的真假性恰好相反.
【做一做3】 (1)“至多有三个”的否定为 .?
(2)已知命题p:?x∈R,sin x≤1,则????p是 .?
(3)命题“?x0∈Q, ”的否定是 ,这是 命题(填“真”或“假”).?
答案:(1)最少有四个
(2)?x0∈R,sin x>1
(3)?x∈Q,x2≠5 真
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”. ( )
(2)同一个特称命题的表达形式是唯一的. ( )
(3)全称命题的否定一定是特称命题,特称命题的否定一定是全称命题. ( )
(4)特称命题的否定是对“量词”和“p(x)”的同时否定. ( )
(5)全称命题与其否定的真假可以相同. ( )
答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)×
探究一
探究二
探究三
思维辨析
全称命题与特称命题的判断
【例1】 判断下列命题是全称命题还是特称命题:
(1)所有的常数数列都是等比数列;
(2)有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b|;
(3)对任意a,b∈R,若a>b,则 ;
(4)有一个函数,既是奇函数,又是偶函数;
(5)质数都是奇数.
思路点拨:首先看命题中是否含有全称量词或存在量词,或含有相关量词,则根据量词确定命题是全称命题或者是特称命题;若没有,要结合命题的具体意义进行判断.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
自主解答:(1)含有全称量词“所有的”,故是全称命题.
(2)含有存在量词“有些”,故是特称命题.
(3)含有全称量词“任意”,故是全称命题.
(4)含有存在量词“有一个”,是特称命题.
(5)省略了全称量词“所有的”,是全称命题.
反思感悟判断一个命题是全称命题还是特称命题的方法:
(1)分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称命题,含有存在量词的命题是特称命题.
(2)当命题中不含量词时,要注意根据命题的含义进行判断.
(3)全称命题有时会省略全称量词,但特称命题的量词一般不能省略.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1下列命题中,是全称命题的是 ,是特称命题的是 .(填序号)?
①正方形的四条边相等;②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数.
解析:①②③是全称命题,④是特称命题.
答案:①②③ ④
探究一
探究二
探究三
思维辨析
全称命题与特称命题的真假判断
【例2】 判断下列命题的真假:
(1)任意直线都存在斜率;
(2)存在实数θ,使得sin(π-θ)=-sin θ;
(3)存在等差数列,其前n项和Sn=n2+2n-1;
(4)?x∈R,sin x+cos x≥-1;
思路点拨:先判断每个命题是全称命题还是特称命题,再根据相应命题真假性判断的方法进行判断.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
自主解答:(1)这是全称命题,由直线斜率的定义知,倾斜角等于90°的直线不存在斜率,故该命题为假命题.
(2)这是特称命题,由于sin(π-θ)=sin θ=-sin θ,因此sin θ=0,这时θ=kπ(k∈Z),即当θ=kπ(k∈Z)时,满足sin(π-θ)=-sin θ,故该命题是真命题.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟全称命题与特称命题真假的判断技巧
(1)全称命题:要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可.
(2)特称命题:要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x=x0,使p(x0)成立即可;否则,这一特称命题就是假命题.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
全称命题与特称命题的否定
【例3】写出下列各个命题的否定:
(1)一切分数都是有理数;
(2)有些实数的绝对值是正数;
思路点拨:先判断每个命题是全称命题还是特称命题,再按照规则写出相应的否定.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
自主解答:(1)命题的否定:有些分数不是有理数;
(2)命题的否定:任意实数的绝对值都不是正数;
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟1.一般地,对含有一个量词的命题进行否定时,首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题,并找到量词及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词,同时否定结论,即得其否定.
2.对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再依据规则来写出命题的否定.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
对全称量词与存在量词的意义理解不清致误
【典例】 已知函数f(x)=x2-2x,函数g(x)=ax+2(a>0),?x1∈[-1,2],
?x0∈[-1,2],使f(x1)=g(x0),则a的取值范围是( )
易错分析:本题的常见错解是由题意推出函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集,原因是对全称量词与存在量词的意义理解不清.
自主解答:由于函数f(x)在定义域[-1,2]内是任意取值的,且必存在x0∈[-1,2]使得f(x1)=g(x0),因此问题等价于函数f(x)的值域是函数g(x)值域的子集,函数f(x)的值域是[-1,3],函数g(x)的值域是[2-a,2+2a],则有2-a≤-1且2+2a≥3,即a≥3.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得:应用全称命题与特称命题求参数的取值范围时应注意:
(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题,当全称命题为真时,命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质,所以可以代入,也可以根据函数或不等式等数学知识来求解.
(2)特称命题的相关题型常用满足某种条件的变量“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达.解答这类问题,一般要先对结论作出肯定的假设,然后从肯定的假设出发,结合已知条件进行推理证明,若推出合理的结论,则变量存在;若导致矛盾,则否定了假设变量不存在,结论不成立.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
跟踪训练若命题p:?x∈R,ax2+4x+a≥-2x2+1是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,2] B.[2,+∞)
C.(-2,+∞) D.(-2,2)
解析:ax2+4x+a≥-2x2+1是真命题,即不等式ax2+4x+a≥-2x2+1对?x∈R恒成立,即(a+2)x2+4x+(a-1)≥0恒成立.
当a+2=0时,不符合题意.
答案:B
1.下列命题不是特称命题的是( )
A.有些实数的平方可以等于零
B.存在x0<0,使
C.至少有一个三角函数的周期是2π
D.二次函数是偶函数
解析:“二次函数是偶函数”意思是“所有的二次函数都是偶函数”,故此命题是全称命题,不是特称命题.
答案:D
3.若命题p:?x∈R,x2-2x+m≠0是真命题,则实数m的取值范围是( )
A.m≥1 B.m>1 C.m<1 D.m≤1
解析:依题意,方程x2-2x+m=0没有实数根,因此4-4m<0,解得m>1.
答案:B
4.命题“有些数列既是等差数列又是等比数列”的否定是 .?
答案:任何数列都不能既是等差数列又是等比数列
5.指出下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假:
(1)若a>0,且a≠1,则对任意实数x,ax>0;
(2)?T0∈R,使|sin(x+T0)|=|sin x|;
(3)?x0∈R, .
解:命题(1)为全称命题,根据指数函数的性质可知,该命题为真命题.
命题(2)是特称命题,因为存在T0=π,使|sin(x+T0)|=|sin x|,故该命题为真命题.
命题(3)是特称命题,因为对任意的x∈R,都有x2+1>0,故该命题为假命题.
(共21张PPT)
习题课——充分条件与必要条件的综合问题
1.充分条件、必要条件的两种不同叙述方式的对比
2.用集合之间的关系判断充分条件与必要条件的方法
若p,q中所涉及的问题与变量有关,p,q中相应变量的取值集合分别记为A,B,那么有以下结论:
【做一做1】 设m∈R,则“m<4”的一个充分不必要条件是( )
A.m>4 B.m<2 C.m<6 D.m≤4
解析:由m<2可推得m<4,反之不成立,故m<4的一个充分不必要条件是m<2.
答案:B
【做一做2】 已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则a⊥b的充要条件是( )
A.x= B.x=-1 C.x=5 D.x=0
解析:因为a=(x-1,2),b=(2,1),a⊥b,
所以a·b=(x-1,2)·(2,1)=2(x-1)+2=2x=0,即x=0.
当x=0时,a=(-1,2),b=(2,1),a·b=-2+2=0,
∴a⊥b,故a⊥b的充要条件是x=0.
答案:D
【做一做3】 若“x2+ax+2=0”是“x=1”的必要条件,则a= .
解析:由已知得x=1是方程x2+ax+2=0的根,所以12+a+2=0,所以a=-3.
答案:-3
【做一做4】 “x2<1”的充要条件是 .?
解析:解:不等式x2<1可得-1答案:-1探究一
探究二
思维辨析
充分条件、必要条件和充要条件的探求
【例1】 (1)一元二次方程ax2+bx+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )
A.a<0 B.a>0
C.a<-1 D.a<1
(2)一次函数 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )
A.m>1,n<-1 B.mn<0
C.m>0,n<0 D.m<0,n<0
(3)函数f(x)=x2+2x+4a没有零点的充要条件是 .?
思路点拨:(1)先寻找使结论成立的充要条件,然后将该充要条件缩小范围,即得相应的充分不必要条件;(2)先寻找使结论成立的充要条件,然后将该充要条件扩大范围,即得相应的必要不充分条件;(3)根据函数零点与方程根的关系直接探求充要条件.
探究一
探究二
思维辨析
探究一
探究二
思维辨析
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟1.探求一个结论成立的充分不必要条件或必要不充分条件时,往往可以先找到其成立的充要条件,然后通过对充要条件的范围放大或缩小,得到相应的充分不必要条件或必要不充分条件.
2.如果p是q的充分不必要条件,那么p并不是唯一的,可以有多个;同样,如果p是q的必要不充分条件,那么p也不是唯一的,可以有多个;但如果p是q的充要条件,那么p是唯一的.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练1(1)下列不等式:①x<1;②0-1.其中,可以作为x2<1的一个充分不必要条件的所有序号为 ;可以作为x2<1的一个必要不充分条件的所有序号为 .?
(2)直线x+y+m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切的充要条件是 .?
解析:(1)由x2<1解得-1-1},所以x<1和x>-1均可作为x2<1的一个必要不充分条件.
(2)直线x+y+m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切?圆心(1,1)到直线x+y+m=0的距离等于 或0.
答案:(1)②③ ①⑤ (2)m=-4或0
探究一
探究二
思维辨析
根据充分条件、必要条件求参数的取值范围
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟根据充分条件与必要条件求解参数取值范围的步骤如下:
(1)记集合M={x|p(x)},N={x|q(x)};
(2)根据以下表格确定集合M与N的包含关系:
(3)根据集合M与N的包含关系建立关于参数的不等式(组);
(4)解不等式(组)求出参数的取值范围.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练2(1)已知p:-4A.(-1,6)
B.[-1,6]
C.(-∞,-1)∪(6,+∞)
D.(-∞,-1]∪[6,+∞)
(2)若(x+2)(x-a)<0是0A.(-2,5] B.[-2,5]
C.[5,+∞) D.(5,+∞)
探究一
探究二
思维辨析
解析:(1)设q,p表示的范围分别为集合A,B,则A=(2,3),B=(a-4,a+4).
因为q是p的充分条件,则有A?B,即 所以-1≤a≤6.故选B.
(2)(x+2)(x-a)<0是0-2时,解(x+2)(x-a)<0得-2答案:(1)B (2)C
探究一
探究二
思维辨析
对问题的设问形式理解不清致误
【典例】 使不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分不必要条件是( )
A.x≥0 B.x>2或x<0
C.x∈{-1,3,5} D.x≥3或x≤
易错分析:本题常见的错解是对问题的设问方式理解不清,将条件和结论弄反,即将题意理解为:“2x2-5x-3≥0”是所选选项的充分不必要条件,从而出现错误结果.
探究一
探究二
思维辨析
探究一
探究二
思维辨析
1.直线y=kx+1的倾斜角为钝角的一个必要不充分条件是( )
A.k<0 B.k<-1 C.k<1 D.k>-2
解析:直线y=kx+1的倾斜角为钝角的充要条件是斜率k<0,因此其必要不充分条件应该是k<1.
答案:C
2.“a+b>2c”的一个充分不必要条件是( )
A.a>c或b>c B.a>c或bC.a>c且bc且b>c
解析:由a>c且b>c可推出a+b>2c,但当a+b>2c时,推不出a>c且b>c,故选D.
答案:D
4.若“x2-x<0”是“x>a”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 .?
解析:由x2-x<0可得0a”的充分不必要条件,所以a≤0.
答案:(-∞,0]
