全国卷高考数学几种常见圆锥曲线题型小结

几种常见圆锥曲线题型小结
圆锥曲线的常见题型包括：1.圆锥曲线的弦长求法、2.与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、3.与圆锥曲线有关的证明问题4.圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，5.直线与圆锥曲线位置关系等。下面分别作简单介绍。．
一、重、难、疑点分析
1．重点：圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题，利用坐标法研究直线与圆锥曲线的有关的问题.
2．难点：双圆锥曲线的相交问题 (应当提醒注意的是:除了要用一元二次方程的判别式，还要结合图形分析．) ，运用解析几何的思想方法解决几何问题.
3．疑点：与圆锥曲线有关的证明问题．(解决办法：因为这类问题涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法，所以比较灵活，只能通过一些例题予以示范．)
二．教学目标
1. 理解直线与圆锥曲线的位置关系，能利用对方程组的解的讨论来研究直线与圆锥曲线的位置关系，进而研究直线与圆锥曲线的有关问题；
2.在探究过程中,帮助学生体会运用数形结合思想，方程的思想、转化思想以及运动变化的观点，分析和解决问题，提高学生的数学思维能力；
3.让学生体会解析几何的思想方法——用代数方法解决几何问题，并强调理解代数关系的几何意义，有助于学生认识数学内容之间的内在联系，逐步形成正确的数学观．
三．简单复习
1.研究直线与圆锥曲线的位置关系可通过代数方法即解方程组的办法来分析，因为方程组解的个数与直线与圆锥曲线的公共点的个数是一样的．
２.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
设直线l: y=kx+b，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为A (x1,y1)，B (x2,y2)，
则|AB|==
．
四、题型展示
1．圆锥曲线的弦长求法
设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A()、B()两点，则弦长|AB|为：
(2)若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|．
例1 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，旦|AB|=8，求倾斜角．
分析一：由弦长公式易解．解答为：
∵　 抛物线方程为x2=-4y，　 ∴焦点为(0，-1)．
设直线l的方程为y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1．
将此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0．∴x1+x2=-4，x1+x2=-4k．
由|AB|=8得: ∴
又有得:或.
分析二:利用焦半径关系.∵
∴|AB|=-(+y2)+p=-[(kx1-1)+(kx2-1)]+p=-k(+x2)+2+p．由上述解法易求得结果，可由同学们自己试试完成．
2．与圆锥曲线有关的最值(极值)的问题
在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围．
例2已知+4(y-1)2=4，求：(1)+y2的最大值与最小值;(2)x+y的最大值与最小值．
解一：将+4(y-1)2=4代入得：+y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2+8y
由点(x，y)满足+4(y-1)2=4知：4(y-1)2≤4 即|y-1|≤1．∴0≤y≤2．
当y=0时，(+y2)min=0．
解二：分析：显然采用(1)中方法行不通．如果令u=x+y，则将此代入+4(y-1)2=4中得关于y的一元二次方程，借助于判别式可求得最值．
令x+y=u， 则有x=u-y,代入+4(y-1)2=4得：5-(2u+8)y+=0．
又∵0≤y≤2，(由(1)可知) ∴[-(2u+8)]2-4×5×≥0．
∴
当时,; 当时,
∴;
3．与圆锥曲线有关的证明问题
它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法．
例3.在抛物线x2＝4y上有两点A(x1，y1)和B(x2，y2)且满足|AB|=y1+y2+2，求证：
(1)A、B和这抛物线的焦点三点共线；(2)为定值.
证明：(1)∵抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程为y=-1．
∴ A、B到准线的距离分别d1＝y1+1，d2=y2+1(如图2－46所示)．
由抛物线的定义：|AF|=d1=y1+1，|BF|=d2=y2+1．
∴|AF|+|BF|=y1+y2+2=|AB| 即A、B、F三点共线．
(2)如图2－46，设∠AFK=θ．
∵|AF|=|AA1|=|AK|+2=|AF|sinθ+2 ∴
又|BF|=|BB1|=2-|BF|sinθ ∴
小结:与圆锥曲线有关的证明问题解决的关键是要灵活运用圆锥曲线的定义和几何性质.
4．圆锥曲线与圆锥曲线的相交问题
直线与圆锥曲线相交问题，一般可用两个方程联立后，用△≥0来处理．但用△≥0来判断双圆锥曲线相交问题是不可靠的．解决这类问题：方法1，由“△≥0”与直观图形相结合；方法2，由“△≥0”与根与系数关系相结合；方法3，转换参数法(以后再讲)．
例4 已知曲线及有公共点,求实数a的取值范围．
可得：=2(1-a)y+-4=0．
∵ △=4(1-a)2-4(a2-4)≥0， ∴.
如图2－47，可知：
椭圆中心,半轴长,抛物线顶点为,所以当圆锥曲线在下方相切或相交时,.
综上所述,当时, 曲线与相交.
5．利用共线向量解决圆锥曲线中的参数范围问题
例5.已知椭圆的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，向量与是共线向量。（1）求椭圆的离心率e；（2）设Q是椭圆上任意一点， 、分别是左、右焦点，求∠ 的取值范围；
解：（1）∵，∴。
∵是共线向量，∴，∴b=c,故。
（2）设
当且仅当时，cosθ=0，∴θ。
由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题.
6. 利用向量的数量积解决圆锥曲线中的参数范围问题
例6.椭圆的焦点为FF，点P为其上的动点，当∠FP F为钝角时，点P横坐标的取值范围是___。
解：由椭圆的知焦点为F1（－,0）F2（,0）.
设椭圆上的点可设为P（3cos,2sin）.为钝角
∴
=9cos2－5＋4sin2=5 cos2－1<0
解得： ∴点P横坐标的取值范围是（）.
解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了.
7. 直线与圆锥曲线
（2）设点C是椭圆上一点，求它到直线AB的距离的最大值．
【分析】方法1：可用把直线AB平移至直线l的位置，直线l与椭圆相切，求直线l的方程，再求切线l到直线AB的最大距离。方法2：先设C(x,y),表示出C到直线AB的距离，考虑到用函数的思想方法来求最值，所以想到把x,y用三角函数表示出来，求点C到直线AB的距离的最大值．
【解】法1：设直线l:y=x+m与椭圆相切，联立直线l与椭圆的方程，得到：
，则
即有：
，即，解得m=，
算得：当m=3时，直线l与直线AB距离d有最大值，=,此时椭圆上的点C的坐标为.
法2：设点C到直线AB的距离为d，则d=,
因为点C在椭圆上，设,代入上式，得到：
d==
令=,=,则d=，当=-1，=-,=,即C时，d有最大值，=。
【点评】本题考查椭圆的性质与方程，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离，函数与不等式的知识，以及解决综合问题的能力。
例2. 已知椭圆,弦AB的中点是P(1，1),求弦AB所在直线的方程.
【分析】目标问题：“求直线的方程”“过一点，确定斜率（包括斜率是否存在，存在时是多少）”
几何条件：直线AB与椭圆交于A，B；弦AB的中点
代数关系：；.
由此建立关于斜率的方程求解.
【解】直线AB垂直x轴时，直线AB中点在x轴上，所以直线AB的斜率存在.设直线AB：y-1=k(x-1)，设A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程组：，
得：有：
，
，则，得到，把代入判别式验证成立（其实我们还能判断出点P必在椭圆内）.
则AB的方程为：，即
【解2】设A(x1,y1),B(x2,y2)，（）因为点A、B在椭圆上，
所以，，得到：，
，，
因为线段AB的中点是P（1，1），所以，得到：
，
所以=，
所以AB的方程为：，即.
【小结】
（1）本题是弦的中点问题，基本解法是联立直线与圆锥曲线的方程，用弦的端点坐标表示弦的中点坐标来解决问题。这类问题的解决仍然深刻体现了坐标法的应用.
（2）同样要检验判别式大于0。
（３）注意点差法的使用范围.
例3.设是一个大于0的常数，过点的直线与抛物线相交于A、B两点，以弦AB为直经作圆H（H为圆心），求证：抛物线顶点在圆H的圆周上.
【分析】对运动变化过程进行描述：用几何画板。目标问题：“点在圆上”“点到圆心的距离等于直径ＡＢ的一半”；“此点与直径端点连线形成的圆周角等于９０o.
几何条件：点在圆上
代数关系：法1： .
法2：
【解题指导】（1）深入探究对几何特征的理解，转化出不同的代数关系，分析多种证明策略.
（2）总结较复杂的解析几何问题的解题思路.（３）通过演示让学生体会几何直观对他们的思路打开有一定的帮助.
【解】法1：设，
显然直线AB不平行于轴，设直线AB：
由方程组 得：
则 ，得：.
因此：.
所以抛物线的顶点O在圆H的圆周上.
法2：设，设直线AB：，
由方程组 得：
所以，点，
．

，所以抛物线的顶点O在圆H的圆周上.
【变式】设是一常数，过抛物线的顶点O作两条互相垂直的弦OA和OB.试说明动直线AB是否过一个定点.
【解】设，
设直线AB：
由方程组 得：
则 ，得：
.
因为，所以，即，
因为AB不能过原点，所以b≠0，所以，
即直线AB：，所以直线AB过定点（2p,0）.
【小结】
（1）在解题过程中综合用到了弦长、弦的中点和向量垂直等知识，而问题的解决仍然是转化为弦的端点坐标来表示。
（2）设直线方程和计算时有一些特别方法。如：不知斜率是否存在时，直线方程怎么设，如何由纵坐标的数量关系计算出横坐标的数量关系。