全国卷高考数学圆锥曲线常考题型总结——配有大题和练习
文档属性
| 名称 | 全国卷高考数学圆锥曲线常考题型总结——配有大题和练习 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 656.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-14 12:30:56 | ||
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文档简介
圆锥曲线大综合
第一部分 圆锥曲线常考题型和热点问题
一．常考题型
题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
题型二：弦的垂直平分线问题
题型三：动弦过定点问题
题型四：过已知曲线上定点的弦的问题
题型五：共线向量问题
题型六：面积问题
题型七：弦或弦长为定值的问题
题型八：角度问题
题型九：四点共线问题
题型十：范围为题（本质是函数问题）
题型十一：存在性问题（存在点，存在直线，存在实数，三角形（等边、等腰、直角），四边形（矩形，菱形、正方形），圆）
二．热点问题
1.定义与轨迹方程问题
2.交点与中点弦问题
3.弦长及面积问题
4.对称问题
5.范围问题
6.存在性问题
7.最值问题
8.定值，定点，定直线问题
第二部分 知识储备
与一元二次方程相关的知识（三个“二次”问题）
判别式：
韦达定理：若一元二次方程有两个不等的实数根，则，
求根公式：若一元二次方程有两个不等的实数根，则
二．与直线相关的知识
直线方程的五种形式：点斜式，斜截式，截距式，两点式，一般式
与直线相关的重要内容：①倾斜角与斜率：，；
②点到直线的距离公式：（一般式）或 （斜截式）
弦长公式：直线上两点间的距离：
两直线的位置关系：
②
中点坐标公式：已知两点，若点线段AB的中点，则
三．圆锥曲线的重要知识
考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理要求有所不同。
文科：掌握椭圆，了解双曲线；理科：掌握椭圆及抛物线，了解双曲线
圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何性质。
圆锥曲线的标准方程：①椭圆的标准方程
②双曲线的标准方程
③抛物线的标准方程
圆锥曲线的基本性质：特别是离心率，参数三者的关系，的几何意义等
圆锥曲线的其他知识：①通径：椭圆，双曲线，抛物线
②焦点三角形的面积：在椭圆上时
在双曲线上时
四．常结合其他知识进行综合考查
圆的相关知识：两种方程，特别是直线与圆，两圆的位置关系
导数的相关知识：求导公式及运算法则，特别是与切线方程相关的知识
向量的相关知识：向量的数量积的定义及坐标运算，两向量的平行与垂直的判断条件等
三角函数的相关知识：各类公式及图像与性质
不等式的相关知识：不等式的基本性质，不等式的证明方法，均值定理等
五．不同类型的大题
（1）圆锥曲线与圆
例1.（本小题共14分）
已知双曲线的离心率为，右准线方程为
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值…
【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程
的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
（Ⅰ）由题意，得，解得，
∴，∴所求双曲线的方程为.
（Ⅱ）点在圆上，
圆在点处的切线方程为，
化简得.
由及得，
∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，
∴，且，
设A、B两点的坐标分别为，
则，
∵，且
，
.
∴ 的大小为.
【解法2】（Ⅰ）同解法1.
（Ⅱ）点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得.由及得
①
②
∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，
∴，设A、B两点的坐标分别为，
则，
∴，∴ 的大小为.
（∵且，∴，从而当时，方程①和方程②的判别式均大于零）.
练习1：已知点是椭圆的左顶点，直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点.且当时，△的面积为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线，与直线分别交于，两点，试判断以为直径的圆是否经过点？并请说明理由.
（2）圆锥曲线与图形形状问题
例2.1已知A，B，C是椭圆W：＋y2＝1上的三个点，O是坐标原点．
(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；
(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．
解：(1)椭圆W：＋y2＝1的右顶点B的坐标为(2,0)．
因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分．
所以可设A(1，m)，代入椭圆方程得＋m2＝1，即m＝.
所以菱形OABC的面积是|OB|·|AC|＝×2×2|m|＝.
(2)假设四边形OABC为菱形．
因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)．
由消y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
设A(x1，y1)，C(x2，y2)，
则，.
所以AC的中点为M.
因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为.
因为k·≠－1，所以AC与OB不垂直．
所以OABC不是菱形，与假设矛盾．
所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．
练习1：已知椭圆过点(，)，且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)设是椭圆上的动点，是轴上的定点，求的最小值及取最小值时点的坐标.
（3）圆锥曲线与直线问题
例3.1已知椭圆，
求椭圆的离心率.
设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关系，并证明你的结论.
解析：⑴椭圆的标准方程为：，
，则，离心率;
⑵直线与圆相切.证明如下：
法一：
设点的坐标分别为，其中.
因为，所以，即，解得.
当时，，代入椭圆的方程，得,
故直线的方程为.圆心到直线的距离.
此时直线与圆相切.
当时，直线的方程为，
即.
圆心到直线的距离.
又，，故
.
此时直线与圆相切.
法二：
由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，，
①当时，，易知，此时直线的方程为或，
原点到直线的距离为，此时直线与圆相切；
②当时，直线的方程为，
联立得点的坐标或；
联立得点的坐标，
由点的坐标的对称性知，无妨取点进行计算，
于是直线的方程为：，
即，
原点到直线的距离,
此时直线与圆相切。
综上知，直线一定与圆相切.
法三：
①当时，，易知，此时，
，原点到直线的距离，、
此时直线与圆相切；
②当时，直线的方程为，
设，则，，
联立得点的坐标或；
于是，,
，
所以,直线与圆相切；
综上知，直线一定与圆相切
练习1：已知椭圆过点，且长轴长是焦距的倍. 过椭圆左焦点F的直线交椭圆于A，B两点，O为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线AB垂直于x轴，判断点O与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）若点O在以线段AB为直径的圆内，求直线AB的斜率的取值范围.
（4）圆锥曲线定值与证明问题
例4.1已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，过原点与平行的直线与椭圆交于点．证明：．
解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，
由题意知解得，．
所以椭圆的标准方程为．……………………………5分
（Ⅱ）设直线的方程为：，则．
由 得（*）．
设，，则，是方程（*）的两个根，
所以．
所以．
．
．
．
设直线的方程为：．
由 得．
设，则，．
所以，．
所以．
例4.2:已知椭圆C： （a>b>0）的离心率为 ，A（a,0）,B(0,b)，O（0，0），△OAB的面积为1.
（I）求椭圆C的方程；
(I I)设P的椭圆C上一点，直线PA与Y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N。
求证：为定值。
练习1：已知椭圆的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知动直线与椭圆相交于、两点. ①若线段中点的横坐标为,求斜率的值;②若点,求证:为定值.
练习2：已知抛物线C : y2 ＝2 px（p＞ 0），其焦点为F，O为坐标原点，直线 AB（不垂直于x轴）
过点F 且抛物线C交于 A，B两点，直线OA与OB的斜率之积为－p ．
（1）求抛物线C 的方程；
（2）若M 为线段AB 的中点，射线OM 交抛物线C 于点 D ，求证：＞2
练习3：动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为.
(Ⅰ) 求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ） 已知定点，，动点在直线上，作直线与轨迹的另一个交点为,作直线与轨迹的另一个交点为，证明：三点共线.
（5）圆锥曲线最值问题
例5： 已知椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点，.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点是椭圆上的一个动点，且点在轴的右侧. 直线，与直线分别相交于 两点. 若以为直径的圆与轴交于两点，求点横坐标的取值范围及的最大值.
解：（Ⅰ）由题意可得，， …………………1分
， …………………2分
得， …………………3分
解， …………………4分
椭圆的标准方程为. …………………5分
（Ⅱ）设，，，
所以，直线的方程为， …………………6分
同理：直线的方程为，
直线与直线的交点为， …………………7分
直线与直线的交点为，
线段的中点， …………………8分
所以圆的方程为， …………………9分
令，则， …………………10分
因为，所以 ， …………………11分
所以，
因为这个圆与轴相交,该方程有两个不同的实数解，
所以 ，解得. …………………12分
设交点坐标，则（）
所以该圆被轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分
练习1：已知椭圆C：的一个焦点为F(2，0)，离心率为 。过焦点F 的直线l 与椭圆C交于 A，B两点，线段 AB中点为D，O为坐标原点，过O，D的直线交椭圆于M，N 两点。
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求四边形AMBN 面积的最大值。
练习2：已知椭圆：的长轴长为，为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率；
（Ⅱ）设点，动点在轴上，动点在椭圆上，且在y轴的右侧，若，求四边形面积的最小值.
（6）圆锥曲线存在性问题
例6.已知椭圆： 的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点．
（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用表示）；
（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
解析:
（I）由题意得解得，
故椭圆的方程为
设
因为，所以
直线的方程为，
所以，即
因为点与点关于轴对称，所以.
设，则.
“存在点使得”等价于“存在点使得”，即满足.
因为，，
所以或，
故在轴上存在点，使得，
点的坐标为或.
练习1：设F 1 ，F 2分别为椭圆的左、右焦点，点P（1，） 在椭圆E 上，且点P 和F1 关于点C（0，） 对称。
（1）求椭圆E 的方程；
（2）过右焦点F2 的直线l与椭圆相交于 A，B两点，过点P且平行于 AB 的直线与椭圆交于
另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l 的方
程；若不存在，说明理由。
练习2：设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点与抛物线：x2＝4 y的焦点重合，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，离心率e＝，过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在直线l，使得＝－1，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由
第一部分 圆锥曲线常考题型和热点问题
一．常考题型
题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
题型二：弦的垂直平分线问题
题型三：动弦过定点问题
题型四：过已知曲线上定点的弦的问题
题型五：共线向量问题
题型六：面积问题
题型七：弦或弦长为定值的问题
题型八：角度问题
题型九：四点共线问题
题型十：范围为题（本质是函数问题）
题型十一：存在性问题（存在点，存在直线，存在实数，三角形（等边、等腰、直角），四边形（矩形，菱形、正方形），圆）
二．热点问题
1.定义与轨迹方程问题
2.交点与中点弦问题
3.弦长及面积问题
4.对称问题
5.范围问题
6.存在性问题
7.最值问题
8.定值，定点，定直线问题
第二部分 知识储备
与一元二次方程相关的知识（三个“二次”问题）
判别式：
韦达定理：若一元二次方程有两个不等的实数根，则，
求根公式：若一元二次方程有两个不等的实数根，则
二．与直线相关的知识
直线方程的五种形式：点斜式，斜截式，截距式，两点式，一般式
与直线相关的重要内容：①倾斜角与斜率：，；
②点到直线的距离公式：（一般式）或 （斜截式）
弦长公式：直线上两点间的距离：
两直线的位置关系：
②
中点坐标公式：已知两点，若点线段AB的中点，则
三．圆锥曲线的重要知识
考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理要求有所不同。
文科：掌握椭圆，了解双曲线；理科：掌握椭圆及抛物线，了解双曲线
圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何性质。
圆锥曲线的标准方程：①椭圆的标准方程
②双曲线的标准方程
③抛物线的标准方程
圆锥曲线的基本性质：特别是离心率，参数三者的关系，的几何意义等
圆锥曲线的其他知识：①通径：椭圆，双曲线，抛物线
②焦点三角形的面积：在椭圆上时
在双曲线上时
四．常结合其他知识进行综合考查
圆的相关知识：两种方程，特别是直线与圆，两圆的位置关系
导数的相关知识：求导公式及运算法则，特别是与切线方程相关的知识
向量的相关知识：向量的数量积的定义及坐标运算，两向量的平行与垂直的判断条件等
三角函数的相关知识：各类公式及图像与性质
不等式的相关知识：不等式的基本性质，不等式的证明方法，均值定理等
五．不同类型的大题
（1）圆锥曲线与圆
例1.（本小题共14分）
已知双曲线的离心率为，右准线方程为
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值…
【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程
的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．
（Ⅰ）由题意，得，解得，
∴，∴所求双曲线的方程为.
（Ⅱ）点在圆上，
圆在点处的切线方程为，
化简得.
由及得，
∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，
∴，且，
设A、B两点的坐标分别为，
则，
∵，且
，
.
∴ 的大小为.
【解法2】（Ⅰ）同解法1.
（Ⅱ）点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得.由及得
①
②
∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，
∴，设A、B两点的坐标分别为，
则，
∴，∴ 的大小为.
（∵且，∴，从而当时，方程①和方程②的判别式均大于零）.
练习1：已知点是椭圆的左顶点，直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点.且当时，△的面积为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线，与直线分别交于，两点，试判断以为直径的圆是否经过点？并请说明理由.
（2）圆锥曲线与图形形状问题
例2.1已知A，B，C是椭圆W：＋y2＝1上的三个点，O是坐标原点．
(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；
(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．
解：(1)椭圆W：＋y2＝1的右顶点B的坐标为(2,0)．
因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分．
所以可设A(1，m)，代入椭圆方程得＋m2＝1，即m＝.
所以菱形OABC的面积是|OB|·|AC|＝×2×2|m|＝.
(2)假设四边形OABC为菱形．
因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)．
由消y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
设A(x1，y1)，C(x2，y2)，
则，.
所以AC的中点为M.
因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为.
因为k·≠－1，所以AC与OB不垂直．
所以OABC不是菱形，与假设矛盾．
所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．
练习1：已知椭圆过点(，)，且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)设是椭圆上的动点，是轴上的定点，求的最小值及取最小值时点的坐标.
（3）圆锥曲线与直线问题
例3.1已知椭圆，
求椭圆的离心率.
设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关系，并证明你的结论.
解析：⑴椭圆的标准方程为：，
，则，离心率;
⑵直线与圆相切.证明如下：
法一：
设点的坐标分别为，其中.
因为，所以，即，解得.
当时，，代入椭圆的方程，得,
故直线的方程为.圆心到直线的距离.
此时直线与圆相切.
当时，直线的方程为，
即.
圆心到直线的距离.
又，，故
.
此时直线与圆相切.
法二：
由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，，
①当时，，易知，此时直线的方程为或，
原点到直线的距离为，此时直线与圆相切；
②当时，直线的方程为，
联立得点的坐标或；
联立得点的坐标，
由点的坐标的对称性知，无妨取点进行计算，
于是直线的方程为：，
即，
原点到直线的距离,
此时直线与圆相切。
综上知，直线一定与圆相切.
法三：
①当时，，易知，此时，
，原点到直线的距离，、
此时直线与圆相切；
②当时，直线的方程为，
设，则，，
联立得点的坐标或；
于是，,
，
所以,直线与圆相切；
综上知，直线一定与圆相切
练习1：已知椭圆过点，且长轴长是焦距的倍. 过椭圆左焦点F的直线交椭圆于A，B两点，O为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线AB垂直于x轴，判断点O与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）若点O在以线段AB为直径的圆内，求直线AB的斜率的取值范围.
（4）圆锥曲线定值与证明问题
例4.1已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，过原点与平行的直线与椭圆交于点．证明：．
解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，
由题意知解得，．
所以椭圆的标准方程为．……………………………5分
（Ⅱ）设直线的方程为：，则．
由 得（*）．
设，，则，是方程（*）的两个根，
所以．
所以．
．
．
．
设直线的方程为：．
由 得．
设，则，．
所以，．
所以．
例4.2:已知椭圆C： （a>b>0）的离心率为 ，A（a,0）,B(0,b)，O（0，0），△OAB的面积为1.
（I）求椭圆C的方程；
(I I)设P的椭圆C上一点，直线PA与Y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N。
求证：为定值。
练习1：已知椭圆的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知动直线与椭圆相交于、两点. ①若线段中点的横坐标为,求斜率的值;②若点,求证:为定值.
练习2：已知抛物线C : y2 ＝2 px（p＞ 0），其焦点为F，O为坐标原点，直线 AB（不垂直于x轴）
过点F 且抛物线C交于 A，B两点，直线OA与OB的斜率之积为－p ．
（1）求抛物线C 的方程；
（2）若M 为线段AB 的中点，射线OM 交抛物线C 于点 D ，求证：＞2
练习3：动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为.
(Ⅰ) 求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ） 已知定点，，动点在直线上，作直线与轨迹的另一个交点为,作直线与轨迹的另一个交点为，证明：三点共线.
（5）圆锥曲线最值问题
例5： 已知椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点，.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点是椭圆上的一个动点，且点在轴的右侧. 直线，与直线分别相交于 两点. 若以为直径的圆与轴交于两点，求点横坐标的取值范围及的最大值.
解：（Ⅰ）由题意可得，， …………………1分
， …………………2分
得， …………………3分
解， …………………4分
椭圆的标准方程为. …………………5分
（Ⅱ）设，，，
所以，直线的方程为， …………………6分
同理：直线的方程为，
直线与直线的交点为， …………………7分
直线与直线的交点为，
线段的中点， …………………8分
所以圆的方程为， …………………9分
令，则， …………………10分
因为，所以 ， …………………11分
所以，
因为这个圆与轴相交,该方程有两个不同的实数解，
所以 ，解得. …………………12分
设交点坐标，则（）
所以该圆被轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分
练习1：已知椭圆C：的一个焦点为F(2，0)，离心率为 。过焦点F 的直线l 与椭圆C交于 A，B两点，线段 AB中点为D，O为坐标原点，过O，D的直线交椭圆于M，N 两点。
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求四边形AMBN 面积的最大值。
练习2：已知椭圆：的长轴长为，为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率；
（Ⅱ）设点，动点在轴上，动点在椭圆上，且在y轴的右侧，若，求四边形面积的最小值.
（6）圆锥曲线存在性问题
例6.已知椭圆： 的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点．
（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用表示）；
（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
解析:
（I）由题意得解得，
故椭圆的方程为
设
因为，所以
直线的方程为，
所以，即
因为点与点关于轴对称，所以.
设，则.
“存在点使得”等价于“存在点使得”，即满足.
因为，，
所以或，
故在轴上存在点，使得，
点的坐标为或.
练习1：设F 1 ，F 2分别为椭圆的左、右焦点，点P（1，） 在椭圆E 上，且点P 和F1 关于点C（0，） 对称。
（1）求椭圆E 的方程；
（2）过右焦点F2 的直线l与椭圆相交于 A，B两点，过点P且平行于 AB 的直线与椭圆交于
另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l 的方
程；若不存在，说明理由。
练习2：设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点与抛物线：x2＝4 y的焦点重合，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，离心率e＝，过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在直线l，使得＝－1，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由