高中数学函数知识点及典型例题

函数与导数
函数的概念及其表示
1．函数与映射的概念
函数
映射
两集合
A、B
设A，B是两个非空的数集
设A，B是两个非空的集合
对应关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)(x∈A)
对应f：A→B是一个映射
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：
定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：
如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
3．函数定义域的求法
（1）是整式时，定义域是R．
（2）是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．
（3）是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．
（4）对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．
（5）中，．
（6）零（负）指数幂的底数不能为零．
（7）若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．
（8）对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出．
（9）对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．
（10）由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．
典型例题
(1)(2013·高考山东卷)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．(－3，0]
B．(－3，1]
C．(－∞，－3)∪(－3，0]
D．(－∞，－3)∪(－3，1]
(2)函数y＝＋(x－1)0的定义域是__________．
(3)(2015·广东佛山模拟)已知f(x2－1)的定义域为[0，3]，则函数y＝f(x)的定义域为__________．
解析：(1)由题意知解得－3(2)由，得所以－3(3)∵0≤x≤3，∴0≤x2≤9，
∴－1≤x2－1≤8，
∴函数y＝f(x)的定义域是[－1，8]．
答案：(1)A　(2){x|－34.基本初等函数的值域:
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R．
(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：
当a＞0时，值域为；
当a＜0时，值域为．
(3)y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}．
(4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是{y|y＞0}．
(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是R．
(6)y＝sin x，y＝cos x的值域是[－1，1]．
(7)y＝tan x的值域是R．
5.求函数值域常用的方法：
（1）观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域
（2）配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域
（3）判别式法：若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程，则在时，由于为实数，故必须有，从而确定函数的值域
（4）不等式法：利用基本不等式确定函数的值域
（5）换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的值域问题转化为三角函数的值域问题．
（6）反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域
（7）数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域
（8）函数的单调性法．
典型例题
求下列函数的值域．
(1)y＝x2＋2x(x∈[0，3])；
(2)y＝；
(3)y＝x＋(x＜0)；
(4)f(x)＝x－.
[解]　(1)(配方法)
y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，
∵y＝(x＋1)2－1在[0，3]上为增函数，
∴0≤y≤15，
即函数y＝x2＋2x(x∈[0，3])的值域为[0，15]．
(2)y＝＝－1，∵1＋x2≥1，
∴0＜≤2.
∴－1＜－1≤1.即y∈(－1，1]．
∴函数的值域为(－1，1]．
(3)∵x＜0，∴x＋＝－≤－4，
当且仅当x＝－2时等号成立，
∴y∈(－∞，－4]．
∴函数的值域为(－∞，－4]．
(4)法一：(换元法)
令＝t，
则t≥0且x＝，
于是y＝－t＝－(t＋1)2＋1，
由于t≥0，所以y≤，故函数的值域是.
法二：(单调性法)
f(x)的定义域为，容易判断f(x)为增函数，
所以f(x)≤f＝，
即函数的值域是.
二、函数的基本性质
1．函数的单调性与最值
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f (x )在区间D上是减函数
图象
描述
/
自左向右图象是上升的
/
自左向右图象是下降的
(2)单调区间的定义
若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．
（3）规律方法
①在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．
②对于复合函数，令，若为增，为增，则为增；若为减，为减，则为增；若为增，为减，则为减；若为减，为增，则为减．即同增异减
（4）函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
①对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M
②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
结论
M为最大值
M为最小值
典型例题
已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；
(2)证明：f(x)为单调递减函数；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2，9]上的最小值．
解：(1)令x1＝x2>0，
代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，
故f(1)＝0.
(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，
且x1>x2，则>1，
由于当x>1时，f(x)<0，
所以f<0，
即f(x1)－f(x2)<0，
因此f(x1)所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．
(3)因为f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数，
所以f(x)在[2，9]上的最小值为f(9)．
由f＝f(x1)－f(x2)得，
f＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，
所以f(9)＝－2.
即f(x)在[2，9]上的最小值为－2.
2.函数的奇偶性
（1）定义及判定方法
函数的
性 质
定义
图象特点
判定方法
函数的
奇偶性
如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)=－f(x),那么函数f(x)叫做奇函数．
关于原点对称
（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）
（2）利用图象（图象关于原点对称）
如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数．
关于y轴对称
（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）
（2）利用图象（图象关于y轴对称）
（2）若函数为奇函数，且在处有定义，则．
（3）奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．
（4）在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．
3.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
典型例题
(2014·高考安徽卷)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝则 f＋f＝________．
[解析]　
∵f(x)是以4为周期的奇函数，∴f＝f＝f，f＝f＝f.
∵当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，∴f＝×＝.∵当1∴f＝sin＝－.又∵f(x)是奇函数，
∴f＝－f＝－，f＝－f＝.
∴f＋f＝－＝.
[答案]　
三、基本初等函数
1.二次函数
(1）二次函数解析式的三种形式
①一般式：
②顶点式：
③两根式：
（2）求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时，宜用一般式．
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．
③若已知抛物线与轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求更方便．
典型例题
.已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
解：法一：(利用一般式)：
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二：(利用顶点式)：
设f(x)＝a(x－m)2＋n.
∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线的对称轴为x＝＝.
∴m＝.又根据题意函数有最大值8，∴n＝8，
∴y＝f(x)＝a＋8.
∵f(2)＝－1，
∴a＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三：(利用零点式)：
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值ymax＝8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍去)，
∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
（3）二次函数图象的性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
/
/
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域


单调性
在上单调递减；在上单调递增
在上单调递增；在上单调递减
对称性
函数的图象关于x＝－对称
典型例题
若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[－1，1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
[解]　(1)由f(0)＝1，得c＝1，∴f(x)＝ax2＋bx＋1.
又f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，
即2ax＋a＋b＝2x.
∴∴
因此，所求解析式为f(x)＝x2－x＋1.
(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在区间[－1，1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在区间[－1，1]上的最小值大于0即可．
∵g(x)＝x2－3x＋1－m在区间[－1，1]上单调递减，
∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0，得m<－1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
2.幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．
（2）幂函数的图象
（3）幂函数的性质
①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．
②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．
③单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．
④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数．
⑤图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方．
典型例题
(1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图象是(　　)
/
(2)当0[解析]　(1)设幂函数的解析式为y＝xα，
∵幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，
∴2＝4α，解得α＝.
∴y＝，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，
当0(2)如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0，1)上的图象，由此可知h(x)>g(x)>f(x)．
/
[答案]　(1)C　(2)h(x)>g(x)>f(x)
3.指数与指数函数
（1）根式的概念
①如果，且，那么叫做的次方根．当是奇数时，的次方根用符号表示；当是偶数时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示；0的次方根是0；负数没有次方根．
②式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．当为奇数时，为任意实数；当为偶数时，．
③根式的性质：；当为奇数时，；当为偶数时， ．
（2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：且．0的正分数指数幂等于0．
②正数的负分数指数幂的意义是：且．0的负分数指数幂没有意义．
注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
（3）分数指数幂的运算性质
①
②
③
（4）指数函数
函数名称
指数函数
定义
函数且叫做指数函数
图象
定义域
值域
过定点
图象过定点，即当时，．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况
变化对 图象的影响
在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低．
典型例题
(1)已知a＝，b＝2－，c＝，则下列关系式中正确的是(　　)
A．cC．a(2)(2015·绍兴模拟)设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝(　　)
A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4}
C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2}
[解析]　(1)把b化简为b＝，而函数y＝在R上为减函数，>>，
所以<<，即b(2)f(x)为偶函数，
当x<0时，f(x)＝f(－x)＝2－x－4.
∴f(x)＝
当f(x－2)>0时，
有或
解得x>4或x<0.
4.对数与对数函数
对数的定义
①若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数．
②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化：．
（2）几个重要的对数恒等式
，，．
（3）常用对数与自然对数
常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）．
（4）对数的运算性质 如果，那么
①加法： ②减法：
③数乘： ④
⑤ ⑥换底公式：
（5）对数函数
函数
名称
对数函数
定义
函数且叫做对数函数
图象
定义域
值域
过定点
图象过定点，即当时，．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
函数值的
变化情况
变化对 图象的影响
在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高．
典型例题
1.计算下列各式：
(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2；
(2)lg ＋lg 70－lg 3－；
(3)(log32＋log92)·(log43＋log83)．
[解]　(1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52
＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5
＝2(lg 2＋lg 5)＝2.
(2)原式＝lg －
＝lg 10－
＝1－|lg 3－1|＝lg 3.
(3)原式＝
＝
＝·＝.
2. (1)(2014·高考辽宁卷)已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则(　　)
A．a>b>c　　　　　　　 B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
(2)已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a＞0且a≠1.
①求f(x)的定义域；
②判断f(x)的奇偶性并予以证明；
③当a＞1时，求使f(x)＞0的x的取值范围．
[解析]　(1)0log＝1，
即01，所以c>a>b.
[答案]　C
(2)解：①f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，
则解得－1＜x＜1.
故所求定义域为{x|－1＜x＜1}．
②f(x)为奇函数．证明如下：
由①知f(x)的定义域为{x|－1＜x＜1}，且
f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)．
故f(x)为奇函数．
③由f(x)＞0，得loga(x＋1)－loga(1－x)＞0，
∴loga(x＋1)＞loga(1－x)，又a＞1，
∴，解得0＜x＜1.
所以使f(x)＞0的x的取值范围是{x|0＜x＜1}．
四、函数图象
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
/
(2)对称变换
①y＝f(x)y＝－f(x)；
②y＝f(x)y＝f(－x)；
③y＝f(x)y＝－f(－x)；
④y＝ax(a＞0且a≠1)y＝logax．
(3)翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|．
②y＝f(x)y＝f(|x|)．
(4)伸缩变换
①y＝f(x)
→
y＝f(ax)．
②y＝f(x)
→
y＝af(x)．
典型例题
(1)在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的图象，可能正确的是(　　)
/
/
(2)(2015·甘肃部分示范学校调研)函数f(x)＝ln的图象是(　　)
/
[解析]　(1)当a>1时，A中的直线位置错误，排除A；D中的三个函数图象都正确；当0(2)自变量x满足x－＝>0，当x>0时可得x>1，当x<0时可得－1[答案]　(1)D　(2)B
五、函数与方程
1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
3、函数零点的求法：
求函数的零点：
 （代数法）求方程的实数根；
 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
4、二次函数的零点：
二次函数．
１）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．
２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．
典型例题
1．已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　)
A．(0，1)　　　　　　　 B．(1，2)
C．(2，4) D．(4，＋∞)
[解析]　由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(1)＝6－0＝6>0，f(2)＝3－1＝2>0，f(4)＝－log24＝－2＝－<0，由零点存在性定理，可知函数f(x)在区间(2，4)上必存在零点．
[答案]　C
2．(2014·高考湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为(　　)
A．{1，3} B．{－3，－1，1，3}
C．{2－，1，3} D．{－2－，1，3}
3．已知0＜a＜1，k≠0，函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k有两个零点，则实数k的取值范围是________．
[解析]　2.令x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)2＋3x＝x2＋3x.因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．所以当x＜0时，f(x)＝－x2－3x.所以当x≥0时，g(x)＝x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.当x＜0时，g(x)＝－x2－4x＋3.令g(x)＝0，即x2＋4x－3＝0，解得x＝－2＋＞0(舍去)或x＝－2－.所以函数g(x)有三个零点，故其集合为{－2－，1，3}．
3.函数g(x)＝f(x)－k有两个零点，即f(x)－k＝0有两个解，即y＝f(x)与y＝k的图象有两个交点．分k＞0和k＜0作出函数f(x)的图象．当0＜k＜1时，函数y＝f(x)与y＝k的图象有两个交点；当k＝1时，有一个交点；当k＞1或k＜0时，没有交点，故当0＜k＜1时满足题意．
/
[答案]　(1)D　(2)0六、导数
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
 ＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ .
(2)导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(3)函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝nxn－1(n∈Q*)
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0)．
4．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
5.导数与函数的单调性
在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.
f′(x)≥0?f(x)在(a，b)上为增函数．
f′(x)≤0?f(x)在(a，b)上为减函数．
6．函数的极值
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．
7．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
典型例题
1.已知函数f(x)＝ln x＋ax－a2x2(a≥0)．
(1)若x＝1是函数y＝f(x)的极值点，求a的值；
(2)若f(x)<0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．
[解]　(1)函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝.
因为x＝1是函数y＝f(x)的极值点，
所以f′(1)＝1＋a－2a2＝0，
解得a＝－或a＝1.又a≥0，所以a＝－(舍去)．
经检验当a＝1时，x＝1是函数y＝f(x)的极值点，
所以a＝1.
(2)当a＝0时，f(x)＝ln x，显然在定义域内不满足f(x)<0恒成立；当a>0时，令f′(x)＝＝0，得x1＝－(舍去)，x2＝，
所以f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x



f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
所以f(x)max＝f＝ln<0，∴a>1.
综上可得实数a的取值范围是(1，＋∞)．
2.已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x.
(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；
(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[，e]上有两个不等解，求a的取值范围．
[解]　(1)F(x)＝ax2－2ln x，其定义域为(0，＋∞)，
∴F′(x)＝2ax－
＝(x>0)．
①当a>0时，由ax2－1>0，得x> .
由ax2－1<0，得0故当a>0时，F(x)在区间上单调递增，
在区间上单调递减．
②当a≤0时，F′(x)<0(x>0)恒成立．
故当a≤0时，F(x)在(0，＋∞)上单调递减．
(2)原式等价于方程a＝＝φ(x)在区间[，e]上有两个不等解．
∵φ′(x)＝在(，)上为增函数，
在(，e)上为减函数，则φ(x)max＝φ()＝，
而φ(e)＝<φ(2)＝＝＝φ()．
∴φ(x)min＝φ(e)，
如图当f(x)＝g(x)在[，e]上有两个不等解时有φ(x)min＝.
故a的取值范围为≤a<.
/