人教版数学八年级上册同步课时训练
第十一章 三角形
11.1 与三角形有关的线段
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
自主预习 基础达标
要点1 三角形的高
1. 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 叫做三角形的高.
2. 锐角三角形的三条高都在三角形内部，三条高的交点也在三角形 ；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，一条在三角形内部，三条高没有交点，但三条高的延长线交于三角形 一点；直角三角形有两条高恰好是三角形的两条直角边，另一条高在三角形内部，它们的交点是三角形的 .
要点2 三角形的中线
1. 在三角形中，连接一个 ，叫做这个三角形这边上的中线.
2. 三角形的三条中线相交于一点，三角形三条 的交点叫做三角形的重心.
要点3 三角形的角平分线
1. 在三角形中，一个内角的角平分线与它所对边相交，这个角的 ，叫做三角形的角平分线.
2. 三角形的三条角平分线相交于一点，交点在三角形的 .
课后集训 巩固提升
1. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 不能确定
2. 小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( )
A B
C D
3. 下列说法不正确的是( )
A. 三角形的中线在三角形的内部 B. 三角形的角平分线在三角形的内部
C. 三角形的高在三角形的内部 D. 三角形必有一高线在三角形的内部
4. 以下关于三角形中线的说法正确的是( )
A. 三角形三条中线的交点在三角形的内部、外部或一边上
B. 若BE是△ABC的一条中线，则BE＝AC
C. 若AD是△ABC的一条中线，则△ABD和△ADC的面积一定相等
D. 若CF是△ABC的一条中线，则AB＝AF
5. △ABC的角平分线AD是( )
A. 射线AD B. 射线DA C. 直线AD D. 线段AD
6. 如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，则线段DE的长为( )
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
第6题 第7题
7. 如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面判断正确的是( )
①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH是△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. 如图，AD⊥BC于点D，那么图中以AD为高的三角形有 个.
第8题 第9题
9. 如图，AD为△ABC的中线，AE⊥BC，若BC＝4cm，AB＝3cm，AE＝2cm，则点D到直线AB的距离为 .
10. 如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，点F，E是AD的三等分点，若△ABC的面积为12cm2，则图中阴影部分的面积为 .
11. 如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AD的中点，S△ABC＝24cm2，求S△ABE.
12. 如图所示，△ABC的高AD，BE，CF相交于点H，过F作FG⊥AC交AC于点G，请说出△ABH，△BCH，△ACH，△ACF中各边上的高.
13. 如图，在△ABC中(AB>BC)，AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长.
14. 有一块肥沃的三角形土地ABC，其中一边与灌渠相邻，如图，政府要将这块地按人口数分给甲、乙、丙三家，若甲家有3口人，乙家有3口人，丙家有6口人，且每家所分土地与灌渠相邻，请你帮助设计一个合理的分配方案.
15. 如图所示，网格小正方形的边长都为1，在△ABC中，试分别画出△ABC三条边的中线，然后探究三条中线的位置及其有关线段之间的关系，你发现了什么？
16. 在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，作BC边上的高AD，图中出现三个不同的直角三角形(3＝2×1＋1)，又在△ABD中作AB边上的高DD1，这时图中便出现五个不同的直角三角形(5＝2×2＋1)；按同样的方法作D1D2，D2D3，D3D4，…，Dk－1Dk，当作出Dk－1Dk时，图中有多少个不同的直角三角形？
参考答案
自主预习 基础达标
要点1 1. 顶点和垂足之间的线段 2. 内部 外 直角顶点
要点2 1. 顶点与它对边中点的线段 2. 中线
要点3 1. 顶点与交点之间的线段 2. 内部
课后集训 巩固提升
1. B 2. C 3. C 4. C 5. D 6. A 7. B
8. 6
9. cm
10. 6cm2
11. 解：由D，E分别是BC，AD的中点，且等底同高的三角形面积相等，得S△ABD＝S△ADC＝S△ABC＝×24＝12(cm2).同理，S△ABE＝S△DBE＝S△ABD＝×12＝6(cm2).
12. 解：在△ABH中，HF是AB边上的高，AE是BH边上的高，BD是AH边上的高；在△BCH中，HD是BC边上的高，CE是BH边上的高，BF是CH边上的高；在△ACH中，HE是AC边上的高，CD是AH边上的高，AF是CH边上的高；在△ACF中，FG是AC边上的高，CF是AF边上的高，AF是CF边上的高.
13. 解：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD.设BD＝CD＝x，AB＝y.∵AC＝2BC，∴AC＝4x.分为两种情况：①AC＋CD＝60，AB＋BD＝40，则4x＋x＝60，x＋y＝40，解得x＝12，y＝28，即AC＝4x＝48，AB＝28；②AC＋CD＝40，AB＋BD＝60，则4x＋x＝40，x＋y＝60，解得x＝8，y＝52，即AC＝4x＝32，AB＝52，BC＝2x＝16，此时不符合三角形三边关系.综上所述，AC＝48，AB＝28.
14. 解：因为人口数分别为3，3，6，且3＋3＝6，所以先找△ABC的边BC上的中线AD，AD将△ABC分成面积相等的两部分：△ABD和△ADC.若将△ADC分给丙家，则将△ABD分给甲、乙两家，由于甲、乙两家人口数相等，因此找△ABD的边BD上的中线AE，AE将△ABD分成面积相等的两部分：△ABE和△AED，可将△ABE分给甲家，△AED分给乙家.如图所示.
15. 解：如图所示，由图中的信息可知：①三角形ABC的三条中线相交于一点；②三条中线交点到对边中点的距离等于它到对应顶点距离的一半.
16. 解：作出AD时，有2×1＋1＝3(个)不同的直角三角形；作出DD1时，有2×2＋1＝5(个)不同的直角三角形；作出D1D2时，有2×3＋1＝7(个)不同的直角三角形；作出D2D3时，有2×4＋1＝9(个)
