2.3.2向量数量积的运算律教学设计
注：黑色字体为第一次备课内容，红色字体为课后二次备课补充。
一、教学分析
上节学习了向量的数量积的定义及基本性质，并做了简单的运算。学生对运算的意义的理解，通过集合运算、向量的加法、减法、数乘向量，已突破了算术运算的框框。学生在形式上己接受了数量积的定义，但还是向学生说明，之所以定义这种运算，是因为它具有一套优良的运算律。认真证明分配律，揭示分配律的几何意义，为用分配律运算解几何题打下坚实的基础。
二、教学目标
1．通过经历探究过程，掌握向量数量积的运算律及其几何意义，特别是分配律的几何意义：两个向量和的投影等于各向量投影的和．
2．通过向量运算律的探究，会用运算律证明简单的几何问题．
3．通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力，培养学生的交流意识、合作精神，培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力。
三、重点难点
教学重点：向量数量积的运算律及应用。
教学难点：向量数量积分配律的验证。
四、教学过程
师：我们上节课学习了数量积的定义和性质，相信大家对于向量的运算已经从向量加减扩充到了向量乘法，也就是数量积。上节课的内容掌握的怎么样？考考大家。向量a与b的数量积定义是什么？
生：。
（学生读错，再次纠正，强调数量积为点乘，不能读成乘。）
师：几何意义？
生：既可以表示b向量在a向量方向的正射影的数量乘a向量的模长，也可以表示a向量在b向量正射影的长数量乘b向量的模长。（不让生上台写，节约导入时间）
（实际课堂上，学生还描述了应该如何做出正射影：从b点向a作垂线，OC就是b的正射影的数量，反之，从A点向b作垂线，与OB的延长线相交与D，OD就是向量a的正射影的数量。）
师：数量积的性质有哪些？
生：
（学生对于第五条的读法不太准确，强调左右两边的含义）
师：看来同学们对数量积的定义、性质掌握的很扎实。上节课我们还做了简单的运算，其实只要研究运算，就要研究运算律。运算律是我们的老朋友了，你们知道哪些运算律？
生：交换律、结合律、分配律。（板书）
师：都在什么范围内学过？
生：实数范围内，向量加法、数乘向量
师：那么数量积中有没有运算律？
生：应该有。
师：确实有，所以我们这节课的目标就是掌握平面向量数量积的运算律及应用。
师：实数乘法中的交换律内容是什么？
生：
师：如果将其中所有的实数都换成向量，等式还成立么？
生：成立，将左右两边的数量积定义写出来，左右相等。
师：实数分配律的内容是什么？
生：
师：换成向量后还成立么？
生：和向量在c方向上的投影的数量等于a和b两个向量在c方向上的投影的数量之和。
（学生很容易想到利用图形来理解，但是课堂上学生容易搞错正射影相同与等式相同的区别，课上需要加以区别。）
师：数量积的结合律成立吗？
生：不成立，左边是m个c向量，右边师n个a向量，如果a、c都是0向量等式成立，否则不成立。
师：所以数量积不满足结合律。实数还有消去律，数量积满足么？
师：上面我们都是利用定义来证明，消去律可不可以用定义证明呢？
利用定义结合图形，b在a上的投影的数量与c在a上的投影的数量相同即可。画图分析有无数种。
师：所以数量积没有结合律和消去律。
师：现在我们来总结一下数量积到底有哪些运算律？
生：有交换律、分配律、数乘结合律，没有结合律和消去律，还有三个结论。
师：在我们学习实数的运算律的时候，还用运算律推导了几个重要的公式，给我们带来了很大的方便，比如说完全平方式和平方差公式，如果数量积的运算律也能推出常用公式会不会也给我们带来很大方便？这两个公式到底成不成立呢？（生说一说，老师用课件打出来）
师：我们来验证这两个结论对不对？
师：怎么验证？像多项式一样展开试试。
（两向量的和点乘两向量的和，学生很容易错读成乘法，需要强调一下。）
接下来学生自己验证。
师：以上内容是我们这节课的所有重点内容，内容比较多，所以送给大家一个小技巧，减轻大家的记忆负担，三能两不三结论。谁懂我？
生：三个运算律成立，两个不成立，三个结论成立。
师：俗话说“光说不练假把式”，做几个题。
第一个求数量积。
（学生基本上都能做出来，不过很多学生依然忘记写点乘。）
师：这个题目用到了哪些运算律？
生：分配律、交换律、数乘结合律
师：数乘结合律方才验证结论的时候没用到，这是第一次用，要注意。
第二个求模长
（大部分学生能够想到先求平方，有一位学生先求的向量a与向量b 的数量积，这一步又利于接下来直接代入，值得所有学生能够学习。本题还容易出错的地方是等式左边是模长，右边是忘记开方，或者反过来，需要强调易错点。）
第三类夹角和垂直问题
学生基本上都是见垂直求内积，一步步推出夹角余弦，课上时引导学生也可以从问题入手，求什么想什么，逐步倒推到条件。
师：数量积的妙用还在于第四类题型证明题。比如菱形的对角线垂直。
师：总结一下本题有什么规律。将要求的问题转化成已知的几个向量来做，题目求对角线垂直，但是题目给了向量a、b，并且二者的长度相同，所以将两条对角线转化成关于a、b的来做。
师：类似的题目还有证明直径所对的圆周角为直角，证明勾股定理。感兴趣的同学课下自己证明。
师：数量积一直是高考的热点，同学们也比较膜拜高考题，所以我们来体验高考，17年的湖南卷比较典型的一道题目，很多地方用它来改编题目。
师：第二道
（给学生思考时间，有很多学生能够做出来）
师：我们总结一下这两道题目，高考题并不一定难，他需要从问题出发，从庞大的数量积的知识体系当中抽取对本题有用的知识将问题中的未知量转化成条件中的已知量来解决问题。
师：本节课学习这么多内容，下面来总结一下：
师：课前有学生问我，学运算律干什么呀，现在我可以回答你们了。没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷！而这无穷的力量都需要本节课所学的运算律的推动。
师：记一下这节课的作业，。
师：这节课上到这，下课。
课件16张PPT。人教B版高中数学 必修四2.3.2 向量数量积的运算律知识回顾1、掌握平面向量数量积的运算律及应用（重点）。
2、数量积分配律的验证（难点）。
3、体会数学思想方法。
学习目标 交换律: 实数乘法 分配律: 数量积ONM猜想猜想消去律： 实数乘法结合律： 数量积数乘结合律： 猜想猜想?向量的完全平方公式向量的平方差公式常用结论?题型1：数量积巩固练习题型2：模长巩固练习题型3：夹角与垂直?巩固练习求证菱形的两条对角线互相垂直. 题型4：证明题巩固练习类似证明：
（1）直径所对的圆周角为直角；
（2）勾股定理；（教材111页）
体验高考知 识:思想方法:
交换律、分配律、数乘结合律；
结合律、消去律不成立；
常用结论（完全平方差公式等）；数形结合；
类比 （ 同中求异、异中求同）；
问题导向思维；总结没有运算的向量只能起到路标作用，
有了运算的向量力量无穷！教材111页练习A、练习册63页
拓展作业：教材111页练习B作业：感谢您的聆听向量数量积的运算律评测练习
限时5分钟
1．已知a，b满足|a|＝4，|b|＝3，夹角为60°，则|a＋b|＝()（2分）
A．37 B．13
C． D．
2．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的正射影的数量为－1.
(1)求a与b的夹角θ；（2分）
(2)求(a－2b)·b；（2分）
(3)λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？（4分）
答案：1、 |a＋b|＝＝
＝＝.
2、解：(1)∵|a|＝2|b|＝2，
∴|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的正射影的数量为|a|cos θ＝－1，
∴a·b＝|a||b|cos θ＝－1.
∴cos θ＝－， ∴θ＝.
(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)∵λa＋b与a－3b互相垂直，
∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，
∴λ＝.
向量数量积的运算律评测练习时间为：2019.4.28
录课当天晚自习7：20-7：25。
一共四道题目，时间为5分钟，满分10分。
评测结果：全班共36人，满分11人。最低分2分。
评测分析：第一题考察学生对于向量的完全平方公式的运用，这个常用公式是求向量的模问题的必备法宝，该题全班无人做错，说明学生对于完全平方公式的掌握情况不错，当然不排除学生并不理解向量的完全平方公式，而仅仅套用了实数的完全平方公式的思路。
第二题分为三个小题，分别考察学生对于用数量积的运算律求夹角、求数量积、求垂直三类题型的方法，该题部分学生没有得分。
出错原因：
1、对于题目条件“|a|＝2|b|＝2”，误认为|a|＝2，|b|＝2，导致|b|的数值出错。
分析：这个错误原因是审题不清，没有看清楚题目。
2、对于“向量a在向量b方向上的正射影的数量为－1”这一条件，7名学生仍然不理解这个条件可以写成|a|cosθ＝－1，而误写成|b|cosθ=-1。
分析：这个错误说明学生不理解数量积的几何意义，混淆“向量a在向量b方向上的正射影的数量”与“向量b在向量a方向上的正射影的数量”。
3、解题过程中，很多学生容易把3λa·b、b·a写成3λab、ba，漏掉点乘，也有一些学生漏掉向量小写字母上方的箭头。
分析：这些小细节，平时需要学生仔细答题，规范答题过程，规范向量写法，不能为了求速度胡乱写。
分析学生的评测练习卷发现，基本上不出现前两个错误，能够准确的计算出a·b＝|a||b|cos θ＝－1，整个题目都可以做出来，说明学生对于数量积的运算律的应用比较熟练。
