人教A版必修2《4.1.1 圆的标准方程》教学设计
一、教学目标
1、探索并掌握圆的标准方程，能根据不同条件求出圆的标准方程，由圆的方程熟练写出它的圆心坐标和半径；
2、提高用解析法研究几何问题的能力，加深对数形结合思想和待定系数法的理解；增强数学建模的能力；
3、通过学生的主动参与，师生合作交流，激发求知欲，体验成功的乐趣，增强学习的信心；
4、通过数学情境的教学以及数学文化的渗透，培养学生探索科学奥秘的精神和爱国主义情怀。
二、教学重点和难点
重点：圆的标准方程的推导以及根据不同的条件求圆的标准方程。
难点：根据不同的条件求圆的标准方程。
三、教学方法
学生在第三章中已经学习了直线的方程，初步具有了用代数的方法解决几何问题的能力，因此，本节课主要采取“合作探究”式的教学方法。以生活中的交通问题引入新知，从圆的标准方程的推导到例题的解决，采用合作讨论式，引导学生主动探索，自主建构新知，自行解决问题；通过层层深入的题目设置，使学生的思路开阔，提高解决问题的能力。
四、教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
创
设
情
境
1、由生活中的交通问题引入，播放盾构机的科普视频，
2、展示并解决实际问题
假设一个双车道隧道的截面是半径为5m的半圆，车辆必须按车道行驶，一辆宽为2.6m，高为3.8m的贷车能不能驶入这个隧道？
学生观看视频，思考实例的解决方法，师生共同解决问题并引入课题。
板书课题
通过形象直观的生活视频引入课题，让学生体会圆的方程在生活中的应用。通过视频向学生展示科技为我国的交通事业带来的巨大变化，激发学生的学习兴趣，培养学生的爱国主义情怀.
探
求
新
知
1、设置问题层层递进，
问题1：什么是圆？
给出圆的定义，并追溯圆的历史，介绍解析法在数学中的意义。
问题2：如何确定一个圆？
问题3：怎样推导圆的方程？
平面直角坐标系中，求圆心是 半径是的圆的方程.
设圆满上任意一点,则
用坐标表示得
化简得
问题4：圆上的点满足方程，反之，坐标满足方程的点是否都在圆上？
2．得出圆的标准方程的定义；
3．分析圆的标准方程的特点；
4．给出以坐标原点为圆心的圆的标准方程：
教师提问，学生回答；
教师课件展示圆的发展史，学生阅读并思考。
学生自主推导圆的方程，教师对推导过程进行补充与总结。
教师提问
学生自己观察圆的标准方程的特点，并由一般到特殊，得出以原点为圆心的圆的标准方程。
通过圆的概念以及圆的发展史的介绍让学生了解中国博大精深的数学文化和历史。
设置多个问题层层递进，并把推导过程交给学生探索，让学生经历知识的形成过程，可加深对新授知识的理解，并逐步提高用代数方法解决几何问题的能力。
培养学生的逻辑推理能力以及思维的严谨性，渗透曲线方程的概念。
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
应
用
举
例
例1、写出圆心为，半径等于5的圆的方程，并判断点,是否在这个圆上？
总结点与圆的位置关系：
（1）点在圆上
（2）点在圆外
（3）点在圆内
学生口答，教师课件展示，并从几何与代数的角度进行方法总结
点与圆的位置关系是学生在初中研究过的内容，所以学生容易掌握，教师只需适当点拨。提炼方法，使学生在探索中领会，在总结中提高。
巩
固
练
习
1.写出下列圆的标准方程:
(1)圆心在原点，半径为2；
(2)圆心在(0，1），半径为3；
(3)圆心在(3，4），且过坐标原点.
2.根据下列圆的方程求圆心及半径：
(1)；
(2)；
(3).
3.点与圆的位置关系是（ ）
A.点在圆内 B.点在圆上
C.点在圆外 D.点在圆上或圆
采用口答接龙的方式，学生独立思考，并口答。
教师根据情况及时纠正。
应用知识解决问题，在活跃的气氛中完成知识的巩固。
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
典
型
例
题
例2.的三个顶点的坐标分别是，求它的外接圆的方程.
学生分组合作交流，教师巡视、观察。
学生展示，教师总结。
师生共同探索其它的解题方法
用微视频展示第二种解法。
培养学生的合作意识，体验获取知识的快乐。
鼓励学生用不同的方法解决问题,培养学生的发散思维能力.同时，又建立起新旧知识之间内在的联系。
利用不同的多媒体手段让学生体验不同的学习形式，让课堂丰富多彩。
合
作
探
究
1.已知圆经过点和,且圆心在直线上，求圆的标准方程.
2.已知点，用多种方法求以为直径的圆的标准方程.
学生自主探究，并分两种方法进行展示，一个学生在黑板上展示，一个学生用微课通笔在掌中黑板上展示。
教师巡视、观察、指导。并做总结点评。
在前面成功体验的基础上再次探究，再次体验用数形结合、转化、曲线与方程等数学思想来解决数学问题的方法。加强用代数方法解决几何问题的能力，感受解析几何的魅力。
拓
展
延
伸
已知两点，动点满足，求动点的轨迹方程.
学生自主完成轨迹方程的推导，教师展示正确答案，并引导学生配方得到点的轨迹是圆。
教师给学生介绍阿氏圆的定义。
进一步巩固求轨迹方程的方法。通过对阿氏圆的了解，让学生体会数学的神奇与奥秘，从而激发学生探索的欲望。
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
课
堂
小
结
一、知识总结
1、圆的标准方程；
2、点与圆的位置关系；
3、求圆的标准方程的方法：
（1）直接法；
（2）待定系数法；
（3）几何法。
二、数学思想方法总结
1、数形结合思想的运用
2、待定系数法
2、曲线与方程的思想
学生反思总结，师生共同完善。
强化本节课的新知，培养学生归纳总结知识的能力
数
学
小
诗
点与圆
我是一个小小的点，
曾为自己的渺小而难堪，
看着庞大而缤纷的世界，
我默默地闭上双眼。
经过数学的启发，
我有了新的发现，
两个点
可以确定一条直线，
三个点
能构成一个三角形，
无数个点
组成完美的圆。
我有自己的半径，
我也有自己的圆点，
从月球上看
地球也是宇宙渺小的雀斑
我欣喜，我狂欢
谁没有自己的位置？
也许，你还没有发现！
学生朗诵
教师与学生共同认真倾听
弘扬数学的人文精神,把数学的美与数学的力量传递给学生,把学生从教学的小课堂带到人生的大课堂.
布
置
课
后
评
测
练
习
1、求出下列方程表示的圆的圆心和半径：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
2.求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)圆心为（0，-3），过点（3，1）；
(2)圆过点（0，1）和（0，3）,半径等于1.
3.求过点A（6，0），B（1，5），且圆心在直线上的圆的标准方程.
4.求过点且圆心在x轴上的圆的标准方程.
帮助学生巩固本节课的知识,反馈教学效果,为下一节课的教学提供参考.
课件18张PPT。人教A版高中必修2第4章4.1.1 圆的标准方程创设情境 假设一个双车道隧道的截面是半径为5 的半圆，车辆
必须按车道行驶.一辆宽为2.6 ，高为3.8 的货车能
不能驶入这个隧道？ 问题1：什么是圆？MO平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.r 探求新知圆心：确定圆的位置
半径：确定圆的大小问题2：如何确定一个圆？探求新知xyOC建系设点列条件坐标化化简验证问题3：怎样求圆的方程？平面直角坐标系中，求圆心是 半径是 的圆的方程.设点 为圆上任一点，则 .探求新知 我们把这个方程称为以 为圆心，
半径为 的圆的标准方程。以原点为圆心，半径为 的圆的
标准方程为： 解:圆心是 ,半径长等于5的圆的标准方程是将点M与点N的坐标代入圆的标准方程得所以点M在圆上，点N不在圆上.应用举例 例1.写出圆心为 ，半径为5的圆的方程，并判断点 ， 是否在这个圆上. 已知圆的方程,点 的坐标为 1、写出下列圆的标准方程:（1）圆心在原点，半径为2；口答接龙巩固练习 （2）圆心在 ，半径为3；（3）圆心在 ，且过坐标原点；2.根据下列圆的方程求圆心及半径D3.请判断点 与圆 的位置关系是（ ）
A.点在圆内 B.点在圆上
C.点在圆外 D.点在圆上或圆外解：设所求圆的方程为：由A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上得所以,△ABC外接圆的方程为例2.△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5, 1)，
B(7, －3)，C( 2, －8)，求它的外接圆的方程.1234应用举例 解得求圆的标准方程的常用方法：
1.待定系数法：
(1)设方程;
(2)列方程组;
(3)解方程组;
(4)写出方程.总结升华
2.几何法3.直接法合作探究
1.已知圆心为 的圆经过点 和 ,
且圆心 在直线 上,
求圆 的标准方程.合作探究 一般地,以 为直径的两端点的圆的方程是
此结论被称为圆的直径式方程.2.已知点 ，
求以 为直径的圆的标准方程；拓展延伸即化简得解析:设点 的坐标为
由 得1.圆的标准方程（圆心C(a,b),半径r）2.点与圆的位置关系反思总结3.求圆的标准方程的方法：
(1)直接法;
(2)待定系数法;
(3)几何法. 点与圆
我是一个小小的点,
曾为自己的渺小而难堪;
看着庞大而缤纷的世界,
我默默地闭上双眼。
经过数学的启发，
我有了新的发现；
两个点
可以确定一条直线，
三个点
能构成一个三角形，
无数个点
组成完美的圆。
我有自己的半径；
我也有自己的圆点；
从月球上看
地球也是宇宙渺小的雀斑
我欣喜，我狂欢
谁没有自己的位置？
也许，你还没有发现！
评测练习
1、求出下列方程表示的圆的圆心和半径：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
2.求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)圆心为（0，-3），过点（3，1）；
(2)圆过点（0，1）和（0，3），半径等于1.
3.求过点A（6，0），B（1，5），且圆心在直线上的圆的标准方程.
4.求过点且圆心在x轴上的圆的标准方程.
