人教版高中数学必修5同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：01【基础】正弦定理

正弦定理
【学习目标】
1.通过对直角三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思维方法发现数学规律；
2.会利用正弦定理解决两类解三角形的问题；
（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而求出其它边角）.
【要点梳理】
要点一、学过的三角形知识
1.中
（1）一般约定：中角A、B、C所对的边分别为、、；
（2）；
（3）大边对大角，大角对大边，即；
等边对等角，等角对等边，即；
（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即，.
2.中，，
（1），
（2）
（3），，；
，，
要点二、正弦定理及其证明
正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：
直角三角形中的正弦定理的推导
证明：， ， ，
即：，，，
∴．
斜三角形中的正弦定理的推导
证明：
法一：向量法
（1）当为锐角三角形时
过作单位向量垂直于，则+=
两边同乘以单位向量，得(+)=，
即
∴，
∵，，，，，
∴， ∴，
同理：若过作垂直于得：
∴，
（2）当为钝角三角形时
设，过作单位向量垂直于向量，
同样可证得：．
法二：圆转化法
（1）当为锐角三角形时
如图，圆O是的外接圆，直径为，则，
∴，
∴（为的外接圆半径）
同理：，
故：
（2）当为钝角三角形时
如图，.
法三：面积法
任意斜中，如图作，则
同理：，
故，
两边同除以
即得：
要点诠释：
（1）正弦定理适合于任何三角形；
（2）可以证明（为的外接圆半径）；
（3）每个等式可视为一个方程：知三求一。
（4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
要点三、解三角形的概念
一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素.任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角.
在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.
有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角.
要点四、正弦定理在解三角形中的应用
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；
要点诠释：
已知a，b和A，用正弦定理求B时的各种情况；
(1)若A为锐角时：
如图：
/
(2)若A为直角或钝角时：
判断三角形形状
判断三角形形状的思路通常有以下两种：（1）化边为角；（2）化角为边.对条件实施转化时，考虑角的关系，主要有：(1)两角是否相等？(2)三个角是否相等？（3）有无直角、钝角？考查边的关系，主要有：（1）两边是否相等？（2）三边是否相等
要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路。但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解。比如下面例2两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不合理的解.
【典型例题】
类型一：正弦定理的简单应用：
例1．已知在中，，，，求和B.
【答案】
【解析】，
∴，
∴ ，
又，
∴．
【总结升华】
1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；
2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.
举一反三：
【变式1】（2018 广东高考）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，
则b=________.
【答案】，又，故，所以
由正弦定理得，，所以b=1。
【变式2】在中，已知，求
【答案】根据正弦定理，得.
【变式3】（2018 宝鸡一模）在， ，则A等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】由正弦定理可得：
， ， 故选B。
例2．在，求和，．
【解析】由正弦定理得：，
∴，
（方法一）∵， ∴或，
当时，，（舍去）；
当时，，∴．
（方法二）∵，， ∴，
∴即为锐角， ∴，
【总结升华】
1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。
2. 在利用正弦定理求角时，因为，所以要依据题意准确确定角的范围，再求出角.
3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.
举一反三：
【变式1】在中，， ，，求和．
【答案】∵， ∴，
∵， ∴或
∴当时，，；
∴当时，，；
所以，或．
【变式2】在中, ,, 求和；
【答案】 ∵， ∴
∵， ∴或
①当时，，；
②当时，（舍去）。
【变式3】在中，，, , 求.
【答案】由正弦定理，得.
∵, ∴，即
∴
类型二：正弦定理的综合运用
例3.（2018 湖南高考文）设/的内角/的对边分别为/。
（I）证明：/；
(II)若/，且/为钝角，求/。
【答案】（I）略；(II) /
【思路点拨】
（I）由题根据正弦定理结合所给已知条件可得/，所以/ ；(II)根据两角和公式化简所给条件可得/，可得/，结合所给角B的范围可得角B,进而可得角A,由三角形内角和可得角C.
【解析】
（I）由/及正弦定理，得/，所以/。
（II）因为/
/
//
有（Ｉ）知/，因此/，又Ｂ为钝角，所以/，
故/，由/知/，从而/，
综上所述，
【总结升华】本题主要考查正弦定理、三角恒等变换等基础知识，考查综合运用知识解决问题的能力。
举一反三：
【变式1】在△ABC中，已知a＝5，B＝105°，C＝15°，则此三角形的最大边的长为________．
【答案】　在△ABC中，大角对大边，故b为最大边长，A＝180°－(B＋C)＝180°－(105°＋15°)＝60°.
据正弦定理b＝＝＝.
【变式2】（2018 浙江文）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b+c=2acos B．
（Ⅰ）证明：A=2B；
（Ⅱ）若cos B=/，求cos C的值．
【答案】 （1）由正弦定理得/，
故/，
于是，/，
又/，故/，所以/或/，
因此，/（舍去）或/，
所以，/.
（2）由/，得/，/，
故/，/，
/.
类型三：利用正弦定理判断三角形的形状
例4.在中，若试判断的形状.
【解析】由已知条件及正弦定理可得，
为三角形的内角，，，
或，
所以为等腰三角形或直角三角形。
【总结升华】
已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式。
举一反三：
【变式】在△ABC中，试判断三角形的形状.
【答案】利用正弦定理将边转化为角.?
∵?又
∴∴
∴?
∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π?∴ 即?
故此三角形是等腰三角形.?
【巩固练习】
一、选择题：
1．在△ABC中，已知a＝5，c＝10，A＝30°，则B＝(　　)
A．105°　　　　　　　　　　　 B．60°
C．15° D．105°或15°
2．在△ABC中，a＝，b＝，A＝30°，则c等于(　　)
A．2 B.
C．2或 D．以上都不对
3．以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是(　　)
A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝b
C．在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B；若A>B，则sin A>sin B都成立
D．在△ABC中，＝
4．(2018 大连一模)在 中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且满足，那么的形状一定是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形
5．判断下列说法，其中正确的是(　　)
A．a＝7，b＝14，A＝30°有两解
B．a＝30，b＝25，A＝150°只有一解
C．a＝6，b＝9，A＝45°有两解
D．b＝9，c＝10，B＝60°无解
二、填空题：
6.（2018 北京高考文）在中，，，，则 ．
7．(2018 福建高考文)若/中，/，/，/，则/_______．
8. (2018 湖北高考文)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝，a＝1，b＝，则B＝　　．
9. （2018 白银模拟）已知中， ，则B等于 。
A. B. C. D.
三、解答题
10、在中，已知,，解此三角形。
11.在△ABC中，已知，，B=45(.求A、C及c.
12．在中，若，，，求.
13. 在中，求B及C.
14．在△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，求边b的值．
/15．在△ABC中，若＝＝，试判断三角形的形状
【答案与解析】
1. 答案D
解析：　由正弦定理，得
sin C＝＝＝.
∵a∴B＝180°－(A＋C)，∴B＝105°或15°.故选D.
2. 答案：　C
解析：　由于sin B＝＝，故B＝60°或120°.
当B＝60°时，C＝90°时，c＝30°.c＝＝2；
当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝.
3. 答案：　B
解析：　由正弦定理知A、C、D正确，
而sin 2A＝sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，
∴a＝b或a2＋b2＝c2，故B错误．
4. 答案：　C
【解析】根据正弦定理可知,
或 ,即
即有为等腰三角形或直角三角形，故选：C。
5. 答案：　B
解析：　A中，由正弦定理得sin B＝＝＝1，所以B＝90°，故只有一解，A错误；B中，由正弦定理得sin B＝＝<1，又A为钝角，故只有一解，B正确；C中，由正弦定理得sin B＝＝>1，所以B不存在，故无解，C错误；D中，由正弦定理得sin C＝＝<1，因为b6. 答案：　
解析：由正弦定理，得，即，所以，所以.
　 7. 答案：/
解析：由题意得/．由正弦定理得/，则/，所以/．/
8. 答案：或
解析：∵在△ABC中，A＝，a＝1，b＝，
∴由正弦定理得：sinB＝，
∵a＜b，∴A＜B，
∴B＝或．
故答案为：或
9. 答案：
解析： 中，,由正弦定理可得 ，即，解得.再由，大边对大角可得， 。
10. 解析：由正弦定理，即，解得，
由,，及可得，
又由正弦定理，即，解得
11.解析：
解法1：由正弦定理得：
∴∠A=60(或120(
当∠A=60(时，∠C=75( ，；
当∠A=120(时，∠C=15(，.
解法2：设c=x，由余弦定理
将已知条件代入，整理：
解之：
当时，
从而∠A=60( ，∠C=75(；
当时，同理可求得：∠A=120( ，∠C=15(.
12.∵，
∴，
∵，∴或
∴当时，；
当时，，；
所以或．
13. 解析：由正弦定理得
∵且
∴B有两解，得或
∴或
14. 解析：　由正弦定理得b＝＝2.
15.解析：　由正弦定理知＝＝，
∴sin Acos A＝sin Bcos B，∴sin 2A＝sin 2B，
∴2A＝2B或2A＋2B＝π，∴A＝B或A＋B＝.
又∵>1，∴B>A，∴△ABC为直角三角形．