人教版高中数学必修5同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：02【提高】正弦定理
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学必修5同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：02【提高】正弦定理 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 534.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-30 11:08:20 | ||
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文档简介
正弦定理
【学习目标】
1.通过对直角三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思维方法发现数学规律；
2.会利用正弦定理解决两类解三角形的问题；
（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而求出其它边角）.
【要点梳理】
要点一、学过的三角形知识
1.中
（1）一般约定：中角A、B、C所对的边分别为、、；
（2）；
（3）大边对大角，大角对大边，即；
等边对等角，等角对等边，即；
（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即，.
2.中，，
（1），
（2）
（3），，；
，，
要点二、正弦定理及其证明
正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：
直角三角形中的正弦定理的推导
证明：， ， ，
即：，，，
∴．
斜三角形中的正弦定理的推导
证明：
法一：向量法
（1）当为锐角三角形时
过作单位向量垂直于，则+=
两边同乘以单位向量，得(+)=，
即
∴，
∵，，，，，
∴， ∴，
同理：若过作垂直于得：
∴，
（2）当为钝角三角形时
设，过作单位向量垂直于向量，
同样可证得：．
法二：构造直角三角形
（1）当为锐角三角形时
如图，作边上的高线交于，则:
在中, ，即，
在中, ,即,
∴，即.
同理可证
∴
（2）当为钝角三角形时
如图，作边上的高线交于，则:
在中, ，即，
在中, ,即,
∴，即.
同理可证
∴
法三：圆转化法
（1）当为锐角三角形时
如图，圆O是的外接圆，直径为，则，
∴，
∴（为的外接圆半径）
同理：，
故：
（2）当为钝角三角形时
如图，.
法四：面积法
任意斜中，如图作，则
同理：，
故，
两边同除以
即得：
要点诠释：
（1）正弦定理适合于任何三角形；
（2）可以证明（为的外接圆半径）；
（3）每个等式可视为一个方程：知三求一。
（4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
要点三、解三角形的概念
一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素.任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角.
在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.
有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角.
要点四、正弦定理在解三角形中的应用
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；
要点诠释：
已知a，b和A，用正弦定理求B时的各种情况；
(1)若A为锐角时：
如图：
/
(2)若A为直角或钝角时：
判断三角形形状
判断三角形形状的思路通常有以下两种：（1）化边为角；（2）化角为边.对条件实施转化时，考虑角的关系，主要有：(1)两角是否相等？(2)三个角是否相等？（3）有无直角、钝角？考查边的关系，主要有：（1）两边是否相等？（2）三边是否相等
要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路。但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解。比如下面例2两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不合理的解.
【典型例题】
类型一：正弦定理的简单应用：
例1．已知在中，，，，求和B.
【解析】，
∴，
∴ ，
又，
∴．
【总结升华】
1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；
2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.■
举一反三：
【变式1】中，，BC＝3，则的周长为（ ）
A． B．C． D．
【答案】由正弦定理得：，
得b＋c＝[sinB＋sin(－B)]＝．故三角形的周长为：3＋b＋c＝，故选D．
【总结升华】由于本题是选择题也可取△ABC为直角三角形时，即B＝，周长应为3＋3，故排除A、B、C．而选D．
【变式2】在中，已知，，，求、.
【答案】，
根据正弦定理，∴.
【变式3】（2018 岳阳校级模拟改编）在中，A:B:C=1:2:3,则a:b:c等于（ ）
【答案】在中，若，又
所以.
由正弦定理可知： 。
. 例2．在，求：和，．
【解析】由正弦定理得：，
∴，
（方法一）∵， ∴或，
当时，，（舍去）；
当时，，∴．
（方法二）∵，， ∴，
∴即为锐角， ∴，
∴．
【总结升华】
1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。
2. 在利用正弦定理求角时，因为，所以要依据题意准确确定角的范围，再求出角.
3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.
举一反三：
【变式1】在中，， ，，求和．
【答案】∵， ∴，
∵， ∴或
∴当时，，；
∴当时，，；
所以，或．
【变式2】在中，，, , 求.
【答案】由正弦定理，得.
∵, ∴，即
∴
类型二：正弦定理的综合运用
例3. （2018 湖南高考）设/的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，/，且B为钝角。
(1)证明：/
（2）求/的取/值范围。
【答案】（1）详见解析；（2）（/，/].
【思路点拨】
（1）利用正弦定理，将条件中的式子等价变形为sinB=sin（/+A），从而得证；（2）利用（1）中的结论，以及三角恒等变形，将/转化为只与/有关的表达式，再利用三角函数的性质即可求解.
【解析】
（1）由a=btanA及正弦定理，得,所以sinB=cosA，即sinB=sin（/+A）.
又B为钝角，因此/+A/（/，A），故B=/+A，即B-A=/；
（2）由（I）知，C=/-（A+B）=/-(2A+/)=/-2A>0，所以A/，于是sinA+sinC=sinA+sin（/-2A）= sinA+cos2A=-2/A+sinA+/1 =-2（sinA-/）/+/，因为0由此可知sinA+sinC的取值范围是（/，/].
【总结升华】本题主要考查正弦定理、三角恒等变换及三角函数的性质等基础知识，考查综合运用知识解决问题的能力。
举一反三：
【变式1】（2018 新课标Ⅱ文）△ABC中D是BC上的点,AD平分/BAC,BD=2DC.
（I）求/ ；
（II）若/,求/.
【答案】（Ⅰ）由正弦定理得/ 因为AD平分∠BAC，BD=2DC，所以/
（Ⅱ）因为∠C=180°－(∠BAC+∠B)，∠BAC=60°，
所以/ 由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，所以，∠B=30°.
【变式2】（2018 浙江文）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b+c=2acos B．
（Ⅰ）证明：A=2B；
（Ⅱ）若cos B=/，求cos C的值．
【答案】 （1）由正弦定理得/，
故/，
于是，/，
又/，故/，所以/或/，
因此，/（舍去）或/，
所以，/.
（2）由/，得/，/，
故/，/，
/.
【变式3】 在△ABC中，c= ，∠C=30°,求a+b的最大值。
【答案】因为
所以
∠A+∠B=180°－∠C=150°，
从而
所以a+b的最大值为
类型三：利用正弦定理判断三角形的形状
例4.在中，若试判断的形状。
【解析】由已知条件及正弦定理可得，
为三角形的内角，，，
或，
所以为等腰三角形或直角三角形。
【总结升华】已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式。
【变式】在△ABC中，试判断三角形的形状
【答案】利用正弦定理将边转化为角.?
∵?又
∴∴ ∴?
∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π?∴ 即?
故此三角形是等腰三角形.?
【巩固练习】
一、选择题
1．（2018 焦作一模）在中，已知，则b等于（ ）
A． B. C. D.
2．在△ABC中，a＝，b＝，A＝30°，则c等于( )
A．2 B.
C．2或 D．以上都不对
3．以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是( )
A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝b
C．在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B；若A>B，则sin A>sin B都成立
D．在△ABC中，＝
4．若＝＝，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．直角三角形，且有一个角是30°
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形，且有一个角是30°
5. （2018 中山市校级模拟）已知中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若 ,则是（ ）
A.等边三角形 B.锐角三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形
二、填空题
6．（2018 重庆高考）在/ABC中，B=/，AB=/，A的角平分线AD=/,则AC=_______.
7.（2018 新课标Ⅰ卷）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 。
8. 在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若△ABC只有一解，则x的取值集合为________．
三、解答题
9. 在△ABC中，A＝60°，b＝1，，求的值。
10.在△ABC中，已知，，B=45(.求A、C及c.
11．在中，若，，，求.
12. 在中，求B及C.
13. （2018 长沙二模）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且，．
(1)求角C的大小；
（2）求 的最大值。
14．如图,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=,∠ABC=.
（1）证明 ;
（2）若AC=DC,求的值.
15. （2018 浙江高考文）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知/.
（1）求/的值；
（2）若/，求△ABC的面积.
【答案与解析】
1. 答案: C
解析：，即,
由正弦定理
得： 故选：C。
2. 答案： C
解析： 由于sin B＝＝，故B＝60°或120°.
当B＝60°时，C＝90°时，c＝30°.c＝＝2；
当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝.
3. 答案： B
解析： 由正弦定理知A、C、D正确，
而sin 2A＝sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，
∴a＝b或a2＋b2＝c2，故B错误．
4. 答案： C
解析： 在△ABC中，由正弦定理：
a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
代入＝＝得：
＝＝，
∴＝＝1.
∴tan B＝tan C＝1，∴B＝C＝45°.
∴△ABC是等腰直角三角形．
5. 答案： C
解析：，
由正弦定理可得：，而，当且仅当 时取等号。
，即 ，又 ，故可得：
。
又 可得，
故三角形为等腰三角形，故选：C
6.答案：/
解析：
由正弦定理得/，即/，解得/，
/，从而/，所以/，
/.
7. 答案：（，）
解析：如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD ，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范围为（，）.
/
8. 答案： {x|0 解析： sin A＝＝＝x，
当x＝2时，sin A＝1，△ABC有一解；
又当a≤b时，即x≤2时，A为锐角，△ABC只有一解．
9. 答案：
解析：由已知可得。由正弦定理，得
。.
10.解析：
解法1：由正弦定理得：
∴∠A=60(或120(
当∠A=60(时，∠C=75( ，；
当∠A=120(时，∠C=15(，.
解法2：设c=x，由余弦定理
将已知条件代入，整理：
解之：
当时，
从而∠A=60( ，∠C=75(；
当时，同理可求得：∠A=120( ，∠C=15(.
11.解析：∵，
∴，
∵，∴或
∴当时，；
当时，，；
所以或．
12. 解析：由正弦定理得
∵且
∴B有两解，得或
∴或
13. 解析：（1） ，即，则
因为，又，进而,
所以,故 故
（2）又正弦定理及（1）得
=
故当 取到最大值2.
14.解析：(1)．如图，，
即．
（2）．在中，由正弦定理得
由(1)得，
即．
15. 解析：
（1）由，得，
所以.
（2）由可得，.
a=3，，由正弦定理知：.
又，
所以.
【学习目标】
1.通过对直角三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思维方法发现数学规律；
2.会利用正弦定理解决两类解三角形的问题；
（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而求出其它边角）.
【要点梳理】
要点一、学过的三角形知识
1.中
（1）一般约定：中角A、B、C所对的边分别为、、；
（2）；
（3）大边对大角，大角对大边，即；
等边对等角，等角对等边，即；
（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即，.
2.中，，
（1），
（2）
（3），，；
，，
要点二、正弦定理及其证明
正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：
直角三角形中的正弦定理的推导
证明：， ， ，
即：，，，
∴．
斜三角形中的正弦定理的推导
证明：
法一：向量法
（1）当为锐角三角形时
过作单位向量垂直于，则+=
两边同乘以单位向量，得(+)=，
即
∴，
∵，，，，，
∴， ∴，
同理：若过作垂直于得：
∴，
（2）当为钝角三角形时
设，过作单位向量垂直于向量，
同样可证得：．
法二：构造直角三角形
（1）当为锐角三角形时
如图，作边上的高线交于，则:
在中, ，即，
在中, ,即,
∴，即.
同理可证
∴
（2）当为钝角三角形时
如图，作边上的高线交于，则:
在中, ，即，
在中, ,即,
∴，即.
同理可证
∴
法三：圆转化法
（1）当为锐角三角形时
如图，圆O是的外接圆，直径为，则，
∴，
∴（为的外接圆半径）
同理：，
故：
（2）当为钝角三角形时
如图，.
法四：面积法
任意斜中，如图作，则
同理：，
故，
两边同除以
即得：
要点诠释：
（1）正弦定理适合于任何三角形；
（2）可以证明（为的外接圆半径）；
（3）每个等式可视为一个方程：知三求一。
（4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；
②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。
要点三、解三角形的概念
一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素.任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角.
在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.
有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角.
要点四、正弦定理在解三角形中的应用
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；
要点诠释：
已知a，b和A，用正弦定理求B时的各种情况；
(1)若A为锐角时：
如图：
/
(2)若A为直角或钝角时：
判断三角形形状
判断三角形形状的思路通常有以下两种：（1）化边为角；（2）化角为边.对条件实施转化时，考虑角的关系，主要有：(1)两角是否相等？(2)三个角是否相等？（3）有无直角、钝角？考查边的关系，主要有：（1）两边是否相等？（2）三边是否相等
要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路。但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解。比如下面例2两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不合理的解.
【典型例题】
类型一：正弦定理的简单应用：
例1．已知在中，，，，求和B.
【解析】，
∴，
∴ ，
又，
∴．
【总结升华】
1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；
2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.■
举一反三：
【变式1】中，，BC＝3，则的周长为（ ）
A． B．C． D．
【答案】由正弦定理得：，
得b＋c＝[sinB＋sin(－B)]＝．故三角形的周长为：3＋b＋c＝，故选D．
【总结升华】由于本题是选择题也可取△ABC为直角三角形时，即B＝，周长应为3＋3，故排除A、B、C．而选D．
【变式2】在中，已知，，，求、.
【答案】，
根据正弦定理，∴.
【变式3】（2018 岳阳校级模拟改编）在中，A:B:C=1:2:3,则a:b:c等于（ ）
【答案】在中，若，又
所以.
由正弦定理可知： 。
. 例2．在，求：和，．
【解析】由正弦定理得：，
∴，
（方法一）∵， ∴或，
当时，，（舍去）；
当时，，∴．
（方法二）∵，， ∴，
∴即为锐角， ∴，
∴．
【总结升华】
1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。
2. 在利用正弦定理求角时，因为，所以要依据题意准确确定角的范围，再求出角.
3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.
举一反三：
【变式1】在中，， ，，求和．
【答案】∵， ∴，
∵， ∴或
∴当时，，；
∴当时，，；
所以，或．
【变式2】在中，，, , 求.
【答案】由正弦定理，得.
∵, ∴，即
∴
类型二：正弦定理的综合运用
例3. （2018 湖南高考）设/的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，/，且B为钝角。
(1)证明：/
（2）求/的取/值范围。
【答案】（1）详见解析；（2）（/，/].
【思路点拨】
（1）利用正弦定理，将条件中的式子等价变形为sinB=sin（/+A），从而得证；（2）利用（1）中的结论，以及三角恒等变形，将/转化为只与/有关的表达式，再利用三角函数的性质即可求解.
【解析】
（1）由a=btanA及正弦定理，得,所以sinB=cosA，即sinB=sin（/+A）.
又B为钝角，因此/+A/（/，A），故B=/+A，即B-A=/；
（2）由（I）知，C=/-（A+B）=/-(2A+/)=/-2A>0，所以A/，于是sinA+sinC=sinA+sin（/-2A）= sinA+cos2A=-2/A+sinA+/1 =-2（sinA-/）/+/，因为0
【总结升华】本题主要考查正弦定理、三角恒等变换及三角函数的性质等基础知识，考查综合运用知识解决问题的能力。
举一反三：
【变式1】（2018 新课标Ⅱ文）△ABC中D是BC上的点,AD平分/BAC,BD=2DC.
（I）求/ ；
（II）若/,求/.
【答案】（Ⅰ）由正弦定理得/ 因为AD平分∠BAC，BD=2DC，所以/
（Ⅱ）因为∠C=180°－(∠BAC+∠B)，∠BAC=60°，
所以/ 由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，所以，∠B=30°.
【变式2】（2018 浙江文）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b+c=2acos B．
（Ⅰ）证明：A=2B；
（Ⅱ）若cos B=/，求cos C的值．
【答案】 （1）由正弦定理得/，
故/，
于是，/，
又/，故/，所以/或/，
因此，/（舍去）或/，
所以，/.
（2）由/，得/，/，
故/，/，
/.
【变式3】 在△ABC中，c= ，∠C=30°,求a+b的最大值。
【答案】因为
所以
∠A+∠B=180°－∠C=150°，
从而
所以a+b的最大值为
类型三：利用正弦定理判断三角形的形状
例4.在中，若试判断的形状。
【解析】由已知条件及正弦定理可得，
为三角形的内角，，，
或，
所以为等腰三角形或直角三角形。
【总结升华】已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式。
【变式】在△ABC中，试判断三角形的形状
【答案】利用正弦定理将边转化为角.?
∵?又
∴∴ ∴?
∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π?∴ 即?
故此三角形是等腰三角形.?
【巩固练习】
一、选择题
1．（2018 焦作一模）在中，已知，则b等于（ ）
A． B. C. D.
2．在△ABC中，a＝，b＝，A＝30°，则c等于( )
A．2 B.
C．2或 D．以上都不对
3．以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是( )
A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝b
C．在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B；若A>B，则sin A>sin B都成立
D．在△ABC中，＝
4．若＝＝，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．直角三角形，且有一个角是30°
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形，且有一个角是30°
5. （2018 中山市校级模拟）已知中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若 ,则是（ ）
A.等边三角形 B.锐角三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形
二、填空题
6．（2018 重庆高考）在/ABC中，B=/，AB=/，A的角平分线AD=/,则AC=_______.
7.（2018 新课标Ⅰ卷）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 。
8. 在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若△ABC只有一解，则x的取值集合为________．
三、解答题
9. 在△ABC中，A＝60°，b＝1，，求的值。
10.在△ABC中，已知，，B=45(.求A、C及c.
11．在中，若，，，求.
12. 在中，求B及C.
13. （2018 长沙二模）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且，．
(1)求角C的大小；
（2）求 的最大值。
14．如图,D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=,∠ABC=.
（1）证明 ;
（2）若AC=DC,求的值.
15. （2018 浙江高考文）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知/.
（1）求/的值；
（2）若/，求△ABC的面积.
【答案与解析】
1. 答案: C
解析：，即,
由正弦定理
得： 故选：C。
2. 答案： C
解析： 由于sin B＝＝，故B＝60°或120°.
当B＝60°时，C＝90°时，c＝30°.c＝＝2；
当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝.
3. 答案： B
解析： 由正弦定理知A、C、D正确，
而sin 2A＝sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，
∴a＝b或a2＋b2＝c2，故B错误．
4. 答案： C
解析： 在△ABC中，由正弦定理：
a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
代入＝＝得：
＝＝，
∴＝＝1.
∴tan B＝tan C＝1，∴B＝C＝45°.
∴△ABC是等腰直角三角形．
5. 答案： C
解析：，
由正弦定理可得：，而，当且仅当 时取等号。
，即 ，又 ，故可得：
。
又 可得，
故三角形为等腰三角形，故选：C
6.答案：/
解析：
由正弦定理得/，即/，解得/，
/，从而/，所以/，
/.
7. 答案：（，）
解析：如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD ，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范围为（，）.
/
8. 答案： {x|0
当x＝2时，sin A＝1，△ABC有一解；
又当a≤b时，即x≤2时，A为锐角，△ABC只有一解．
9. 答案：
解析：由已知可得。由正弦定理，得
。.
10.解析：
解法1：由正弦定理得：
∴∠A=60(或120(
当∠A=60(时，∠C=75( ，；
当∠A=120(时，∠C=15(，.
解法2：设c=x，由余弦定理
将已知条件代入，整理：
解之：
当时，
从而∠A=60( ，∠C=75(；
当时，同理可求得：∠A=120( ，∠C=15(.
11.解析：∵，
∴，
∵，∴或
∴当时，；
当时，，；
所以或．
12. 解析：由正弦定理得
∵且
∴B有两解，得或
∴或
13. 解析：（1） ，即，则
因为，又，进而,
所以,故 故
（2）又正弦定理及（1）得
=
故当 取到最大值2.
14.解析：(1)．如图，，
即．
（2）．在中，由正弦定理得
由(1)得，
即．
15. 解析：
（1）由，得，
所以.
（2）由可得，.
a=3，，由正弦定理知：.
又，
所以.