人教版高中数学必修5同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：04【提高】余弦定理

余弦定理
【学习目标】
1.掌握余弦定理的内容及证明余弦定理的向量方法；
2.熟记余弦定理及其变形形式，会用余弦定理解决两类基本解三角形问题；
3.通过三角函数，余弦定理，向量的数量积等知识间的联系，理解事件之间的联系与辨证统一的关系.
【要点梳理】
要点一、学过的三角形知识
1.中
（1）一般约定：中角A、B、C所对的边分别为、、；
（2）；
（3）大边对大角，大角对大边，即；
等边对等角，等角对等边，即；
（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即，.
2.中，，
（1），
（2）
（3），，；
，，
要点诠释：初中讨论的三角形的边角关系是解三角形的基本依据
要点二、余弦定理及其证明
三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即：

余弦定理的推导
已知：中，，及角，求角的对应边.
证明：
方法一：向量法
（1）锐角中（如图），
∵，
∴
即： (*)
同理可得：,
要点诠释：
（1）推导（*）中，与的夹角应通过平移后得到，即向量的起点应重合，因此与的夹角应为，而不是.
（2）钝角三角形情况与锐角三角形相同。
（3）对于直角三角形中时，, ，也满足余弦定理。
方法二：几何法
（1）当为锐角三角形时
如图，作边上的高
根据勾股定理有：，，
∵中，，
∴

=
即：.
（2）当为钝角三角形且C为钝角时
如图，作边上的高
根据勾股定理有：，.
∵中，，
∴


即：仍然成立。
（3）在直角中，当时，, ，也满足余弦定理。
方法三：解析几何方法——利用两点间距离公式
这里我们只讨论锐角三角形的情形，对于直角三角形和钝角三角形的情形的讨论相同。
如图所示建立坐标系.
则点，，
由、两点间的距离可知，
即
整理得到.
余弦定理的变形公式：
要点三、利用余弦定理解三角形
1.利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：
①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角；
②已知三角形的三条边，求其三个角。
要点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一.
2.解斜三角形的基本问题：
已知条件
解法
解的情况
一边和两角
（例如a,B,C)
1．利用A+B+C=180(，求A
2．应用正弦定理求b,c
唯一解
两边和夹角（例如a,b,C）
1．应用余弦定理求边c
2．应用正弦定理求a,b中较短的边所对的角（该角一定是锐角）
3．利用A+B+C=180(，求第三个角.
唯一解
三边
（例如a,b,c)
法一:1、应用余弦定理先求任意两个角
2．用A+B+C=180(，求第三个角
法二:1、应用余弦定理求a,b,c中最长边所对的角
2、应用正弦定理求余下两个角中的任意一个（该角一定是锐角）
3、利用A+B+C=180(，求第三个角
唯一解
两边及其中一边的对角
（例如a,b,A)
此类问题首先要讨论解的情况
1．应用正弦定理，求另一边的对角（即角B）
2、利用A+B+C=180(，求第三个角
3、应用正弦或余弦定理求第三边
两解、一解或无解
要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路。但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解。比如下面例2两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不合理的解。
4、判断三角形形状
余弦定理、正弦定理与三角形中的三角变换结合在一起，运用三角函数的变换公式进行三角函数式的变形转化，在三角形中，解决有关含有边角关系的问题时，可以运用余弦定理完成边角互化，通过变形转化成三角形三边之间的关系，判断三角形的形状.
判断三角形形状有两条思考路线：其一是化边为角，再进行三角恒等变换，求出三个角之间的关系式；其二是化角为边，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的关系式，两种转化主要应用正弦定理和余弦定理.
【典型例题】
类型一：余弦定理的简单应用：
例1．（2017 凉山州模拟改编）在中，角所对的三边长分别为，若，求中最大的角．
【思路点拨】已知三角形三边或三边的比例，一般首先考虑用余弦定理。
【解析】设，，，，边c对应的角最大
根据余弦定理得：，
∵，
【总结升华】
1.中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；
2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.
举一反三：
【变式1】已知中, , , 求角.
【答案】根据余弦定理：，
∵， ∴
【变式2】（2017 兰州模拟）已知中，角A,B,C的对边分别是,若，则
=
【答案】
，则
【余弦定理 题一】
【变式3】在中，若，则角等于（ ）.
A. B. C. D. 或
【答案】∵， ∴
∵， ∴
类型二：余弦定理的综合应用
例2．（2018 天津高考文）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为，b－c=2，.
（Ⅰ）求a和sinC的值；
（Ⅱ）求的值.
【答案】（Ⅰ）8 （Ⅱ）
【思路点拨】本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式、两角和的余弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.
【解析】
（Ⅰ）在△ABC中，由，可得.由，得bc=24，又b－c=2，解得b=6，c=4.
由a2=b2+c2－2bc cosA，可得a=8.
由，得.
（Ⅱ）
【总结升华】熟练掌握正余弦定理，综合运用正弦定理和余弦定理实现边角之间的转化。
举一反三：
【变式1】(2018 安徽高考理) △ABC中，，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长。
【答案】设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c；
由余弦定理得
＝18+36-(-36)＝90，
所以．
又由正弦定理得，由题设知，
所以．
在△ABD中，由正弦定理得．
【变式2】在中，已知，，，求及.
【答案】
⑴由余弦定理得：
=
=
=
∴
⑵求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
（法一：余弦定理）
∵，
∴
（法二：正弦定理）
∵
又∵，
∴＜，即＜＜
∴
【变式3】在中，已知角所对的三边长分别为，若，，，求角和
【答案】根据余弦定理可得：
∵， ∴ ；
∴由正弦定理得：.
类型三：判断三角形的形状
例3．在△ABC中，已知sinA=2sinBcosC, 试判断该三角形的形状．
【思路点拨】
本题可以用正弦定理、余弦定理化简成单一的边的关系，然后判断.
【解析】由正弦定理及余弦定理，得
，
所以
整理得，
因为
所以，因此△ABC为等腰三角形
【总结升华】已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式.
举一反三：
【变式1】在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状是______．
【答案】等腰三角形
【解析】　由题设和正、余弦定理得2×＝，
化简得a2－b2＝0，即a＝b.
【余弦定理 题六】
【变式2】 三角形ABC中满足下列条件 ；试判断三角形的形状.
【答案】利用余弦定理得，化简得，所以三角形为等腰三角形.
【巩固练习】
一、选择题
1．(2018 广东)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，，，且b＜c，则b=（ ）
A． B．2 C． D．3
2．在△ABC中，下列关系式
①asin B＝bsin A　②a＝bcos C＋ccos B　③a2＋b2－c2＝2abcos C
④b＝csin A＋asin C
一定成立的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3．（2017春 武汉校级期中）在中，，则的取值范围是（ ）
D.
4．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝，且∠A＝75°，则b＝(　　)
A．2 B．4＋2
C．4－2 D.
5. △ABC的三内角所对边的长分别为设向量,,若,则角的大小为
A． B． C． D.
6. 锐角三角形ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，如果B＝2A，则的取值范围是(　　)
A．(－2,2) B．(0,2)
C．(，) D．(，2)
7．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，则cos C的值为(　　)
A. B．
C． D.
二、填空题
8. (2018 北京)在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则 ．
9. 在△ABC中，A，B，C是三个内角，C＝30°，则sin2A＋sin2B－2sin Asin Bcos C的值是________．
10. （2018秋 曲阜市期中）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为,若△ABC的面积为S=(a2＋b2－c2)，那么角C＝_______________.
11. 若钝角三角形三边长为、、，则的取值范围是 ．
三、解答题
12．在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asin A
＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C，求A的大小．
13. 在△ABC中，已知sin C＝，试判断三角形的形状．
14．（2017 新课标I理）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（I）求C；
（II）若的面积为，求的周长．
15. （2018 新课标Ⅱ理）中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．
(Ⅰ) 求；
(Ⅱ)若，，求和的长．
【答案与解析】
1. 答案：B
解析：由余弦定理得：a2=b2+c2－2bccosA，所以，即b2－6b+8=0，解得：b=2或b=4，因为b＜c，所以b=2。
故选：B．
2. 答案：　C
解析：　由正、余弦定理知①③一定成立，对于②由正弦定理知sin A＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)，显然成立．对于④由正弦定理sin B＝sin Csin A＋sin Asin C＝2sin Asin C，则不一定成立．
3. 答案：　B
解析：
利用正弦定理化简得： ，变形得：
，，
又为三角形的内角，A的取值范围是。
4. 答案：　A
解析：　△ABC中，易知∠B＝30°，由余弦定理知b2＝a2＋c2－2ac·cos 30°，
∴
=4
∴b＝2.
5. 答案：　B
解析：，利用余弦定理可得，即，故选择答案B。
6. 答案：　C
解析：∵，
又∵△ABC是锐角三角形，∴，
∴30°7. 答案：　C
解析：由正弦定理及sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4知，a∶b∶c＝3∶2∶4，令a＝3x，则b＝2x，c＝4x(x>0)，
根据余弦定理得，
＝＝－.
8. 答案：1
解析：由余弦定理可得．
由正弦定理和二倍角公式可得，
．
故答案为：1
9. 答案：
解析：　sin2A＋sin2B－2sin Asin Bcos C＝(a2＋b2－2abcos C)
＝＝sin2C＝.
10. 答案：
解析：　根据三角形面积公式得，
S＝absin C＝(a2＋b2－c2)
∴sin C＝.
又由余弦定理：cos C＝，
∴sin C＝cos C，∴C＝.
11. 答案：
解析：由可得
12.解析：　由已知，根据正弦定理得
2a2＝(2b＋c)·b＋(2c＋b)·c
即a2＝b2＋c2＋bc
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴cos A＝－
∵A∈(0，π)，∴A＝120°.
13. 解析：　∵sin C＝，
由正弦定理得c(cos A＋cos B)＝a＋b，
再由余弦定理得，
c·＋c·＝a＋b，
∴a3＋a2b－ac2－bc2＋b3＋ab2＝0，
∴(a＋b)(c2－a2－b2)＝0，∴c2＝a2＋b2，
故三角形为直角三角形.
14.解析：（I）由已知及正弦定理得，，
．
故．
可得，所以．
（II）由已知，
又 ，所以
由已知及余弦定理得，
故 从而
所以 的周长为
15. 解析：（Ⅰ）
因为S△ABD=2S△ADC，∠BAD=∠CAD，所以AB=2AC.
由正弦定理可得 .
(Ⅱ)因为，所以．在△ABD和△ADC中，由余弦定理得
，．
．由(Ⅰ)知AB=2AC，所以AC=1．