人教版高中数学必修5同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：07【基础】解三角形应用举例
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学必修5同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：07【基础】解三角形应用举例 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 478.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-30 11:09:56 | ||
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文档简介
解三角形应用举例
【学习目标】
1.能够利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题；
2.提高运用所学知识解决实际问题的能力，并初步掌握数学建模的思想方法；
3.掌握运用正弦定理、余弦定理解决几何计算问题的方法.
【要点梳理】
要点一、解三角形应用题的步骤
解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确.其解题的一般步骤是：
(1)准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系；
(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；
(3) 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；
(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题.
要点诠释：
要点二、解三角形应用题的基本思路
实际问题 画图 数学问题 解三角形 数学问题的解 检验 实际问题的解
要点三、实际问题中的一些名词、术语
仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：
坡角和坡度
坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i表示。坡比是坡角的正切值。
方位角与方向角：
方位角：一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角。方位角的取值范围为0°～360°。
如图，点的方位角是。
方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度。
如图为南偏西方向（指以正南方向为始边，向正西方向旋转）；
如图为北偏东方向（指从正北开始向正东方向旋转）.
东南方向：指经过目标的射线是正东与正南的夹角平分线.依此可类推西南方向、西北方向等；
要点四、解三角形应用中的常见题型
正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：
1.测量距离问题：这类问题的情景一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”，在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度.
2.测量高度问题：这类问题的情景属于“测量底（顶）部不能到达的物体的高度”.测量过程中，要注意选取适量不同的测量点，使测量有较高的精确度.
3.测量角度问题：这类问题的情景属于“根据需要，对某些物体定位”.测量数据越精确，定位精度越高
【典型例题】
类型一：距离问题
例1. 如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．
(1)设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少(结果精确到0.01米)？
(2)施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α＝38.12°，β＝18.45°，求CD的长(结果精确到0.01米)．
【答案】(1) 28.28米.(2) 26.93米.
【思路点拨】
(1)这是一道关于求两点之间的距离问题。题目条件告诉了边AC、CB的长以及以A、C为顶点的两个角，根据正切函数的定义及性质得到一个关于x的不等式，解之得到CD的长度。（2）根据三角形的内角和定理和正弦定理，解得CD的长。
【解析】(1)设CD的长为x米，则tanα＝，tanβ＝，
∵，
∴tanα≥tan2β，
∴，
即，
解得0，
即CD的长至多为28.28米．
(2)设DB＝a，DA＝b，CD＝m，
则∠ADB＝180°－α－β＝123.43°，
由正弦定理得，
即，
∴，
答：CD的长为26.93米．
【总结升华】
1. 此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目准确地提炼出来.
2. 解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：
（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。
（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。
3. 在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。
举一反三：
【变式】为了开凿隧道，要测量隧道上间的距离，为此在山的一侧选取适当点，如图，测得，又测得两点到隧道口的距离，在一条直线上)，计算隧道的长.
【答案】在△中，，由余弦定理得
∴
∴.
答：隧道长约为409.2 m.
类型二：高度问题
例2.某人在塔的正东沿着南偏西的方向前进40米后，望见 塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为，求塔高.
【思路点拨】画出空间图形后，先寻找可解的三角形，进而解目标所在三角形。
【解析】如图所示，过B做于点E,由题意知在E点测得塔的最大仰角，在
.由正弦定理，得
∴
在中，
∴
在中，∴（米）
故所求塔高为米
【总结升华】 注意仰角的概念。
举一反三：
【变式1】(2018 湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=_________m.
【答案】.
【解析】
在△ABC中，∠CAB=30°，∠ACB=75°－30°=45°，
根据正弦定理知，，
即，
所以，故应填.
【变式2】（2017 中山市模拟）如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC=15°，沿山坡前进50 m到达B处，又测得∠DBC=45°，根据以上数据可得cosθ=________。
【答案】∵∠DAC=15°，∠DBC=45°，∴∠ADB=30°，
在△ABD中，由正弦定理得，即，
∴。
在△BCD中，由正弦定理得，即，
∴。
∴。
故答案为：。
【变式3】在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。
【答案】
方法一：用正弦定理求解
由已知可得在ACD中，AC=BC=30， AD=DC=10，ADC =，
因为sin4=2sin2cos2，∴,得
∴在RtADE中，AE=ADsin60=15
答：所求角，建筑物高度为15m。
方法二：设方程来求解
设DE= x，AE=h
在RtACE中,(10+ x) + h=30
在RtADE中,x+h=(10)
两式相减，得x=5,h=15
∴在RtACE中,tan2==
∴
答：所求角，建筑物高度为15m。
方法三：用倍角公式求解
设建筑物高为AE=8，
由题意，得BAC=，CAD=2，
AC=BC=30m ,AD=CD=10m
在RtACE中，sin2= -------- ①
在RtADE中，sin4=--------- ②
②① 得cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15
答：所求角，建筑物高度为15m。
类型三：角度问题
例3.甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60o方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？
【思路点拨】
（1）要弄清方位角的概念，
（2）画出示意图很关键，同时还要设好未知数，标注出来。
【解析】设经过x小时后，甲船和乙船分别到达C,D两点
此时,甲、乙两船相距最近
【总结升华】在解决测量问题的有关题目时，要搞清方位角、俯角、与仰角等的含义，合理构造三角形求解，即把实际问题数学化.
举一反三：
【变式1】（2017 益阳模拟）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处。在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
【答案】如图，已知可得，∠BAC=30°，∠ABC=105°，
AB=2，从而∠ACB=45°。
在△ABC中，由正弦定理，
得。
故选A。
【变式2】如图示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( ? )
A. ? B. C.? D.
【答案】B
【变式3】如图所示，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A为()km的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A为2 km的C处的缉私船奉命以km/h的速度追截走私船.此时走私船正以10km/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，则缉私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的时间.
【解析】设缉私船追上走私船需，则，.
由余弦定理，得
，
由正弦定理，得，
∴，而，
∴
∴，.
∴，即，∴
答：缉私船向东偏北方向，只需便能追上走私船.
【巩固练习】
选择题
1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图,测得AC的长度为4米,,则其跨度AB的长为( )
A.12米 B.8米
C.米 D. 米
2.某人向正东方向走了x 千米后，他向右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值为( )
A. ?? B.或 C. D.3
3.（2017 河南模拟）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=40 m，并在点C测得塔顶A的仰角为30°。则塔高AB为（ ）m。
A．20 B． C． D．40
4.若在测量中，某渠道斜坡的坡度，设为坡角，那么为( )
A. B. C. D.
5．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )
A． m B． m
C． m D. m
6．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为75°、30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于( )
A．240(－1)m B.180(－1)m C． 120(－1)m D． 30(＋1)m
填空题
7.（2017 宜宾模拟）如图所示，在海岛A上有一座海拔千米的山峰上，山顶上设有一座观察站P，一般轮船沿一固定方向匀速航行，上午10∶00时，测得此船在岛北偏东20°且俯角为30°的B处，到10∶10时，又测得该船在岛北偏西40°且俯角为60°的C处，则该船的航行速度为________千米／时。
8. 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于 m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73)
9. 如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°．已知山高BC＝100m，则山高MN＝ m．
解答题
10．如图所示，已知A、B两点的距离为100海里，B在A的北偏东30°处，甲船自A以50海里/小时的速度向B航行，同时乙船自B以30海里/小时的速度沿方位角150°方向航行．问航行几小时，两船之间的距离最短？
11．我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知DC=6000米，∠ACD=45°，∠ADC=75°，目标出现于地面点B处时，测得∠BCD=30°，∠BDC=15°(如图所示)．求炮兵阵地到目标的距离(结果保留根号)．
12．一辑私艇发现在北偏东45°方向，距离12海里的海里上有一走私船正以10海里/小时的速度沿南偏东75°方向逃窜，若辑私艇的速度为14海里，辑私艇沿北偏东 的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，求追及所需的时间和角的正弦值．
13.（2017 武汉校级模拟）为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测。如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，∠BAC=60°在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒。在A地测得该仪器至最高点H的仰角为30°。
（1）求A，C两地的距离；
（2）求这种仪器的垂直弹射高度HC（已知声音的传播速度为340米／秒）
14.如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东的方向航行后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?
15.如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里的C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？(角度精确到1°，sin 41°＝)
【答案与解析】
1. 【答案】D
【解析】
2. 【答案】B
【解析】如图所示，设，由余弦定理可得，解之得，故选B
3. 【答案】 B
【解析】∵∠BCD=75°，∠BDC=60°，∴∠CBD=45°，
在△BCD中，由正弦定理得：，即，
解得，又，∴。
故选B。
4.【答案】B
【解析】由坡度为3：4知，由同角的三角函数关系可求.故选B
5．【答案】 A
【解析】 在△ABC中，AC＝50，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°
∴∠ABC＝30°，由正弦定理：
∴AB＝＝m．故选A.
6. 【答案】C
【解析】如图，
由图可知，∠DAB＝15°，
∵
在Rt△ADB中，又AD＝60，
∴DB＝AD?tan15°＝60×(2－)＝120－60．
在Rt△ADB中，∠DAC＝60°，AD＝60，
∴DC＝AD?tan60°＝60．
∴BC＝DC－DB＝60－(120－60)＝120()(m)．
∴河流的宽度BC等于120()m．
故选：C．
7.【答案】
【解析】在Rt△PAB中，∠APB=30°，，∴AB=1。
在Rt△PAC中，∠APC=60°，∴AC=3。
在Rt△ACB中，∠CAB=20°+40°=60°，
∴。
则船的航行速度。
故答案为。
8.【答案】；
【解析】
过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，
则Rt△ACD中，∠C＝30°，AD＝46m
∴．
又∵Rt△ABD中，∠ABD＝67°，可得
∴BC＝CD－BD＝79.58－19.5＝60.08≈60m
故答案为：60m
9. 【答案】150．
【解析】△ABC中，∵∠BAC＝45°，∠ABC＝90°，BC＝100，
∴AC＝＝100．
△AMC中，∵∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，
∴∠AMC＝45°，由正弦定理可得，
即 ，解得AM＝100．
Rt△AMN中，MN＝AM?sin∠MAN＝100×sin60°＝150(m)，
故答案为：150．
10.【解析】设航行x小时后甲船到达C点，乙船到达D点，在△BCD中，BC=(100-50x)海里，BD=30x海里()， ∠CBD=60°，由余弦定理得：
∴当(小时)时，CD2最小，从而得CD最小
∴航行小时，两船之间距离最近．
11．【解析】在△ACD中，∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=60°
CD=6000，∠ACD=45°
根据正弦定理有，
同理，在△BCD 中，∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=135°
CD=6000，∠BCD=30°
根据正弦定理有，
又在△ABD中，∠ADB=∠ADC+∠BDC=90°，
根据勾股定理有
所以炮兵阵地到目标的距离为 米．
12. 【解析】如图所示，A、C分别表示辑私艇，走私船的位置，设经x小时后在B处追上．
则AB=14x，BC=10x，∠ACB=120°
由得x=2.
故AB=28，BC=20
即所需时间2小时，为.
13. 【解析】（1）由题意，设AC=x，则
∵在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒
∴，
在△ABC内，由余弦定理：BC2=BA2+CA2－2BA·CA·cos∠BAC，
即(x―40)2=x2+10000―100x，解得x=420。
答：A，C两地的距离为420米。
（2）在△ACH中，AC=420，∠CAH=30°，
∴米。
答：该仪器的垂直弹射高度CH为米。
14、【解析】在中， ，
根据余弦定理，
根据正弦定理, ，
有，
∵ ∴
所以 ，
答:此船应该沿北偏东的方向航行,需要航行
15.【解析】 连结BC，由余弦定理得
BC2＝202＋102－2×20×10cos 120°＝700.
于是，BC＝
∵，∴sin∠ACB＝，
∵∠ACB<90°，∴∠ACB≈41°，
∴乙船应朝北偏东约41°＋30°＝71°的方向沿直线前往B处救援．
【学习目标】
1.能够利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题；
2.提高运用所学知识解决实际问题的能力，并初步掌握数学建模的思想方法；
3.掌握运用正弦定理、余弦定理解决几何计算问题的方法.
【要点梳理】
要点一、解三角形应用题的步骤
解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确.其解题的一般步骤是：
(1)准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系；
(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；
(3) 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；
(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题.
要点诠释：
要点二、解三角形应用题的基本思路
实际问题 画图 数学问题 解三角形 数学问题的解 检验 实际问题的解
要点三、实际问题中的一些名词、术语
仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：
坡角和坡度
坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i表示。坡比是坡角的正切值。
方位角与方向角：
方位角：一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角。方位角的取值范围为0°～360°。
如图，点的方位角是。
方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度。
如图为南偏西方向（指以正南方向为始边，向正西方向旋转）；
如图为北偏东方向（指从正北开始向正东方向旋转）.
东南方向：指经过目标的射线是正东与正南的夹角平分线.依此可类推西南方向、西北方向等；
要点四、解三角形应用中的常见题型
正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：
1.测量距离问题：这类问题的情景一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”，在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度.
2.测量高度问题：这类问题的情景属于“测量底（顶）部不能到达的物体的高度”.测量过程中，要注意选取适量不同的测量点，使测量有较高的精确度.
3.测量角度问题：这类问题的情景属于“根据需要，对某些物体定位”.测量数据越精确，定位精度越高
【典型例题】
类型一：距离问题
例1. 如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．
(1)设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少(结果精确到0.01米)？
(2)施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α＝38.12°，β＝18.45°，求CD的长(结果精确到0.01米)．
【答案】(1) 28.28米.(2) 26.93米.
【思路点拨】
(1)这是一道关于求两点之间的距离问题。题目条件告诉了边AC、CB的长以及以A、C为顶点的两个角，根据正切函数的定义及性质得到一个关于x的不等式，解之得到CD的长度。（2）根据三角形的内角和定理和正弦定理，解得CD的长。
【解析】(1)设CD的长为x米，则tanα＝，tanβ＝，
∵，
∴tanα≥tan2β，
∴，
即，
解得0，
即CD的长至多为28.28米．
(2)设DB＝a，DA＝b，CD＝m，
则∠ADB＝180°－α－β＝123.43°，
由正弦定理得，
即，
∴，
答：CD的长为26.93米．
【总结升华】
1. 此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目准确地提炼出来.
2. 解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：
（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。
（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。
3. 在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。
举一反三：
【变式】为了开凿隧道，要测量隧道上间的距离，为此在山的一侧选取适当点，如图，测得，又测得两点到隧道口的距离，在一条直线上)，计算隧道的长.
【答案】在△中，，由余弦定理得
∴
∴.
答：隧道长约为409.2 m.
类型二：高度问题
例2.某人在塔的正东沿着南偏西的方向前进40米后，望见 塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为，求塔高.
【思路点拨】画出空间图形后，先寻找可解的三角形，进而解目标所在三角形。
【解析】如图所示，过B做于点E,由题意知在E点测得塔的最大仰角，在
.由正弦定理，得
∴
在中，
∴
在中，∴（米）
故所求塔高为米
【总结升华】 注意仰角的概念。
举一反三：
【变式1】(2018 湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=_________m.
【答案】.
【解析】
在△ABC中，∠CAB=30°，∠ACB=75°－30°=45°，
根据正弦定理知，，
即，
所以，故应填.
【变式2】（2017 中山市模拟）如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC=15°，沿山坡前进50 m到达B处，又测得∠DBC=45°，根据以上数据可得cosθ=________。
【答案】∵∠DAC=15°，∠DBC=45°，∴∠ADB=30°，
在△ABD中，由正弦定理得，即，
∴。
在△BCD中，由正弦定理得，即，
∴。
∴。
故答案为：。
【变式3】在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。
【答案】
方法一：用正弦定理求解
由已知可得在ACD中，AC=BC=30， AD=DC=10，ADC =，
因为sin4=2sin2cos2，∴,得
∴在RtADE中，AE=ADsin60=15
答：所求角，建筑物高度为15m。
方法二：设方程来求解
设DE= x，AE=h
在RtACE中,(10+ x) + h=30
在RtADE中,x+h=(10)
两式相减，得x=5,h=15
∴在RtACE中,tan2==
∴
答：所求角，建筑物高度为15m。
方法三：用倍角公式求解
设建筑物高为AE=8，
由题意，得BAC=，CAD=2，
AC=BC=30m ,AD=CD=10m
在RtACE中，sin2= -------- ①
在RtADE中，sin4=--------- ②
②① 得cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15
答：所求角，建筑物高度为15m。
类型三：角度问题
例3.甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60o方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？
【思路点拨】
（1）要弄清方位角的概念，
（2）画出示意图很关键，同时还要设好未知数，标注出来。
【解析】设经过x小时后，甲船和乙船分别到达C,D两点
此时,甲、乙两船相距最近
【总结升华】在解决测量问题的有关题目时，要搞清方位角、俯角、与仰角等的含义，合理构造三角形求解，即把实际问题数学化.
举一反三：
【变式1】（2017 益阳模拟）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处。在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
【答案】如图，已知可得，∠BAC=30°，∠ABC=105°，
AB=2，从而∠ACB=45°。
在△ABC中，由正弦定理，
得。
故选A。
【变式2】如图示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( ? )
A. ? B. C.? D.
【答案】B
【变式3】如图所示，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A为()km的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A为2 km的C处的缉私船奉命以km/h的速度追截走私船.此时走私船正以10km/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，则缉私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的时间.
【解析】设缉私船追上走私船需，则，.
由余弦定理，得
，
由正弦定理，得，
∴，而，
∴
∴，.
∴，即，∴
答：缉私船向东偏北方向，只需便能追上走私船.
【巩固练习】
选择题
1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图,测得AC的长度为4米,,则其跨度AB的长为( )
A.12米 B.8米
C.米 D. 米
2.某人向正东方向走了x 千米后，他向右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值为( )
A. ?? B.或 C. D.3
3.（2017 河南模拟）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=40 m，并在点C测得塔顶A的仰角为30°。则塔高AB为（ ）m。
A．20 B． C． D．40
4.若在测量中，某渠道斜坡的坡度，设为坡角，那么为( )
A. B. C. D.
5．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )
A． m B． m
C． m D. m
6．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为75°、30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于( )
A．240(－1)m B.180(－1)m C． 120(－1)m D． 30(＋1)m
填空题
7.（2017 宜宾模拟）如图所示，在海岛A上有一座海拔千米的山峰上，山顶上设有一座观察站P，一般轮船沿一固定方向匀速航行，上午10∶00时，测得此船在岛北偏东20°且俯角为30°的B处，到10∶10时，又测得该船在岛北偏西40°且俯角为60°的C处，则该船的航行速度为________千米／时。
8. 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于 m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73)
9. 如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°．已知山高BC＝100m，则山高MN＝ m．
解答题
10．如图所示，已知A、B两点的距离为100海里，B在A的北偏东30°处，甲船自A以50海里/小时的速度向B航行，同时乙船自B以30海里/小时的速度沿方位角150°方向航行．问航行几小时，两船之间的距离最短？
11．我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知DC=6000米，∠ACD=45°，∠ADC=75°，目标出现于地面点B处时，测得∠BCD=30°，∠BDC=15°(如图所示)．求炮兵阵地到目标的距离(结果保留根号)．
12．一辑私艇发现在北偏东45°方向，距离12海里的海里上有一走私船正以10海里/小时的速度沿南偏东75°方向逃窜，若辑私艇的速度为14海里，辑私艇沿北偏东 的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，求追及所需的时间和角的正弦值．
13.（2017 武汉校级模拟）为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测。如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，∠BAC=60°在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒。在A地测得该仪器至最高点H的仰角为30°。
（1）求A，C两地的距离；
（2）求这种仪器的垂直弹射高度HC（已知声音的传播速度为340米／秒）
14.如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东的方向航行后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?
15.如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里的C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？(角度精确到1°，sin 41°＝)
【答案与解析】
1. 【答案】D
【解析】
2. 【答案】B
【解析】如图所示，设，由余弦定理可得，解之得，故选B
3. 【答案】 B
【解析】∵∠BCD=75°，∠BDC=60°，∴∠CBD=45°，
在△BCD中，由正弦定理得：，即，
解得，又，∴。
故选B。
4.【答案】B
【解析】由坡度为3：4知，由同角的三角函数关系可求.故选B
5．【答案】 A
【解析】 在△ABC中，AC＝50，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°
∴∠ABC＝30°，由正弦定理：
∴AB＝＝m．故选A.
6. 【答案】C
【解析】如图，
由图可知，∠DAB＝15°，
∵
在Rt△ADB中，又AD＝60，
∴DB＝AD?tan15°＝60×(2－)＝120－60．
在Rt△ADB中，∠DAC＝60°，AD＝60，
∴DC＝AD?tan60°＝60．
∴BC＝DC－DB＝60－(120－60)＝120()(m)．
∴河流的宽度BC等于120()m．
故选：C．
7.【答案】
【解析】在Rt△PAB中，∠APB=30°，，∴AB=1。
在Rt△PAC中，∠APC=60°，∴AC=3。
在Rt△ACB中，∠CAB=20°+40°=60°，
∴。
则船的航行速度。
故答案为。
8.【答案】；
【解析】
过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，
则Rt△ACD中，∠C＝30°，AD＝46m
∴．
又∵Rt△ABD中，∠ABD＝67°，可得
∴BC＝CD－BD＝79.58－19.5＝60.08≈60m
故答案为：60m
9. 【答案】150．
【解析】△ABC中，∵∠BAC＝45°，∠ABC＝90°，BC＝100，
∴AC＝＝100．
△AMC中，∵∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，
∴∠AMC＝45°，由正弦定理可得，
即 ，解得AM＝100．
Rt△AMN中，MN＝AM?sin∠MAN＝100×sin60°＝150(m)，
故答案为：150．
10.【解析】设航行x小时后甲船到达C点，乙船到达D点，在△BCD中，BC=(100-50x)海里，BD=30x海里()， ∠CBD=60°，由余弦定理得：
∴当(小时)时，CD2最小，从而得CD最小
∴航行小时，两船之间距离最近．
11．【解析】在△ACD中，∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=60°
CD=6000，∠ACD=45°
根据正弦定理有，
同理，在△BCD 中，∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=135°
CD=6000，∠BCD=30°
根据正弦定理有，
又在△ABD中，∠ADB=∠ADC+∠BDC=90°，
根据勾股定理有
所以炮兵阵地到目标的距离为 米．
12. 【解析】如图所示，A、C分别表示辑私艇，走私船的位置，设经x小时后在B处追上．
则AB=14x，BC=10x，∠ACB=120°
由得x=2.
故AB=28，BC=20
即所需时间2小时，为.
13. 【解析】（1）由题意，设AC=x，则
∵在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒
∴，
在△ABC内，由余弦定理：BC2=BA2+CA2－2BA·CA·cos∠BAC，
即(x―40)2=x2+10000―100x，解得x=420。
答：A，C两地的距离为420米。
（2）在△ACH中，AC=420，∠CAH=30°，
∴米。
答：该仪器的垂直弹射高度CH为米。
14、【解析】在中， ，
根据余弦定理，
根据正弦定理, ，
有，
∵ ∴
所以 ，
答:此船应该沿北偏东的方向航行,需要航行
15.【解析】 连结BC，由余弦定理得
BC2＝202＋102－2×20×10cos 120°＝700.
于是，BC＝
∵，∴sin∠ACB＝，
∵∠ACB<90°，∴∠ACB≈41°，
∴乙船应朝北偏东约41°＋30°＝71°的方向沿直线前往B处救援．