江苏省宿迁市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题 扫描版含答案

高二年级期末调研测试理科数学
参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
1. 1 2. 3. 4. 5.
6. 0 7. 8. 9. 10.
11. 12.33
13. 14.
二、解答题：在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.解答
（1），
则
，，
．
．
（2）由题意：,

复数对应点坐标
复数对应的点在第一象限,
,
所以
16.解：（1）由题意得，
即，解得，所以，………………………………3分
…………………………………………6分
（2）矩阵的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)(λ－3)．
令f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝3．………………………………8分
①当λ＝1时， 得
令x＝1，则y＝－1，于是矩阵的一个特征向量为．……………10分
②当λ＝3时，由 得
令x＝1，则y＝1，于是矩阵的一个特征向量为．
综上，矩阵的特征向量为和．………………………………14分
17.解.（1）由得
又
所以
综上曲线的普通方程...................................................4分
（2）由得
即............................................................................................6分
又
直线的直角坐标方程为....................................................................8分
由（1）知曲线为圆且圆心坐标为，半径为
切线长
当取最小时，取最小....................................................................................10分
而的最小值即为到直线的距离
到直线的距离为....................................................................12分
所以的最小值为4......................................................................................................14分
18(1)如图，
方法一：
连接，因为是的重心，是的中点，
即，又
所以，又因为，
所以 3分
方法二：
以为原点，以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系
则，，，， ，
的重心，设，即
即，因为
所以，即
又因为，
所以 3分
，

所以异面直线所成角的余弦值 6分
3)，则，
=，
， 8分
设平面ABV的法向量为，平面CMB的法向量为
由 得
即， 可取 11分
由 得
即， 可取 14分
由得
解得 16分
19.解：（1）从盒中一次随机取出个球，记取出的3个球中恰有2个颜色相同为事件
则
答 取出的个球颜色相同的概率.......................................................................3分
（2）盒中逐一取球，取后立即放回，每次取到黄球的概率为
记取4次恰有3次黄球为事件
则
答 取4次恰有3次黄球的概率..............................................................................6分
（3）的可能取值为2，3，4，5，6
则，，
，.........................................11分
的分布列为
2
3
4
5
6
.....................14分
所以的数学期望..............16分
20.解答:
(1)

(2)由（1）得到:
令得到：，
即:




(3)

所以 :

(1)式+(2)式得到:

用数学归纳法证明不等式,
1）当时，,结论成立.
2）假设时，结论成立,即:,
那么当时，





所以当结论也成立,
根据1）、2）不等式恒成立.