全等图形
知识梳理
能完全_______________的图形叫做全等图形，两个图形全等，它们的形状、大小_________________．
课堂作业
1．两个全等图形中可以不同的是 （ ）
A．位置 B．长度 C．角度 D．面积
2．下列各组图形中，是全等图形的是 （ ）
A．两个周长相等的等腰三角形 B．两个面积相等的长方形
C．两个面积相等的直角三角形 D．两个周长相等的圆
3．如图，有6幅条形方格图，每个小方格的边长都是1，那么图中由实线围成的图形属于全等图形的是
__________________（填序号）．
4．如图，找出下列图形中的全等图形，并写出它们是通过怎样的变换得到的．
5．如图，请沿图中的虚线，用三种不同的方法将下列图形划分为两个全等图形（请在图中用实线画出分
割线）．
课后作业
6．下列各组的两个图形属于全等图形的是 （ ）
7．有下列说法：①用同一张底片冲洗出来的10张1寸照片是全等图形；②两个全等图形无论怎样改变位置，都能够完全重合；③所有的正方形都是全等图形；④全等图形的面积一定相等．其中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8下列四个几何体，圆柱、三棱柱，圆锥、球．其中，主视图、左视图与俯视图是全等图形的几何体是
__________________________________．
9．请把如图所示的正方形分别分成2个、4个、8个全等的图形．
10．如图，沿虚线把下列每个图形都分成两个全等图形（其中图④⑤要求采用不同的分割方法）．
11．如图是由几个小正方体组成的几何体的俯视图，请在每个小正方形中标上适当的数字表示该位置的小正方体的个数，使得这个几何体的主视图和左视图是全等图形，并把主视图画出来（写出一种情况即可）．
全等三角形
知识梳理
1．两个能完全_______________的三角形叫做全等三角形．“全等”用符号“________”表示．
2．表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在__________________的位置上．
3．全等三角形的性质：全等三角形的_____________________边相等，______________角相等．
课堂作业
1．如图，点E、F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D、点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则与∠C相等的角是 （ ）
A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB
2．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N之间的距离．如果△PQO≌△NMO，那么需要测量出长度的线段是 （ ）
A ．PO B ．PQ C.．MO D ．MQ
3．如图，△ABC≌△DEF，不添加其他的字母和辅助线，图中相等的线段有 （ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4．如图所示的两个三角形全等，则∠的度数是____________________．
5．如图，△ABC≌△DEF，则EF的长为___________________．
6．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点．若△ADC≌△EDC≌△EDB，则∠BAC的度数是_________________．
7．如图，△ABC≌△DEF，点B、F、C、E在同一条直线上．
（1）求证：BF＝EC；
（2）写出图中互相平行的线段，并说明理由．
课后作业
8．全等三角形是 （ ）
A．三个角对应相等的两个三角形 B．周长相等的两个三角形
C．面积相等的两个三角形 D．能完全重合的两个三角形
9．如图，A、E、D三点在同一条直线上，且△BAE≌△ACD．若BE＝2.5，CD＝1，则DE的长为（ ）
A．1.3 B．1.4 C．1.5 D．无法确定
10．如图，△ABE≌△ACD，∠B＝50°，∠AEC＝120°，则∠DAC的度数是 （ ）
A．120° B．70° C．60° D．50°
11．（1）如图①，由△ABC≌△ADE可知∠C＝∠E，AB＝AD，则另外两组对应边为________________，
另外两组对应角为___________________________________．
（2）已知△ABC≌△A＇B＇C＇，若△A＇B＇C＇的周长为16 cm，则△ABC的周长为______________cm；
（3）如图②，△ABC≌△A＇B＇C＇，其中∠A＝36°，∠C＇＝24°，则∠B＝________________°．
12．命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是__________________命题（填“真”或“假”）．
13．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，△ABC≌△DEF，BC＝6 cm，△ABC的面积为15 cm2，过点D作DH⊥EF，交EF的延长线于点H，则DH=__________________cm.
14．如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点．连接BD、CE．
（1）若△AEC≌△ADB，试写出它们的对应边和对应角；
（2）若△BEC≌△CDB，且∠EBD＝39°，∠BDC＝89°，求∠ECB的度数．
探索三角形全等的条件（1）
知识梳理
两边及其____________分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“_________”）．
课堂作业
1．下列条件中，能判定△ABC≌△A＇B＇C＇的是 （ ）
A．AB＝A＇B＇，AC＝A＇C＇，∠B＝∠B＇ B．AB＝A＇B＇，BC＝B＇C＇，∠A＝∠A＇
C．AC＝A＇C＇，BC＝B＇C＇，∠C＝∠C＇ D．AC＝A＇C＇，BC＝B＇C＇，∠B＝∠B＇
2．如图，点E、F在AC上，AD＝CBDF＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（ ）
A．∠A＝∠C B．∠D＝∠B C．AD∥BC D．DF∥BE
3．（1）如图①，根据“SAS”，如果BD＝CE，____________=____________，那么即可判定△BDC≌△CEB．
（2）如图②，BC＝EC，∠BCE＝∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则根据所学内容，应添加的一个条件为___________________．
4．如图，在四边形ABCD中，由AB//CD，得∠_____________=∠_______________．若AB＝CD，结合
____________=____________，则△ABD≌△CDB（SAS）．
5．如图，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM．求证：△BAD≌△NAM．
课后作业
如图，AC与BD相交于点O．若OA＝OD，则要用“SAS”证明△AOB≌△DOC，还需添加的条件是
（ ）
A.．AB=DC B．OB=OC C．∠A＝∠D D．∠AOB＝∠DOC
7．如图，在△ABC和△DEF中，如果AC＝DF，BC＝EF，只要添加条件∠________=∠________或∠______//∠________，就可以利用“SAS”得到△ABC≌△DEF．
8．如图，AB⊥BD，垂足为B，ED⊥BD，垂足为D，AB＝CD，BC＝DE，则∠ACE的度数为_____________．
9．如图，在△ABC和△DAE中，D是AC上一点，AD＝AB，DE∥AB，DE＝AC，求证：△ADE≌△BAC．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点M、N分别在AB、AC边上，AM＝2MB，AN＝
2NC．求证：△AMD≌△AND．
11．如图，点F、B、E、C在同一条直线上，并且BF＝EC，∠ABC＝∠DEF，能否根据已知条件证明△ABC≌△DEF？如果能，请给出证明；如果不能，请运用所学知识，从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ABC≌△DEF，并给出证明．提供的三个条件是①AB＝DE；②AC＝DF；③AB∥DE．
第4课时 探索三角形全等的条件（2）
知识梳理
在利用基本事实“边角边”证明两个三角形全等时，如果发现条件不充分，一般需要利用____________
_______________提前说明或证出．
2．由于全等三角形的对应边________________，对应角________________，因此证明三角形全等是说明两条线段相等或两个角相等的常用方法．
课堂作业
1．如图，∠CAB＝∠DBA，AC＝BD，AO＝BO，下列结论不一定正确的是 （ ）
A．BC=AD B． CO=DO C．∠C＝∠D D．∠AOB＝∠C＋∠D
2．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝____________．
3．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD的长为．延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，由“SAS”可证得△ACD≌△_______________，因此AC＝__________＝3．在△ABE中，根据三角形三边的不等关系，可得AE长度的取值范围是_____________________，从面△ABC的中线AD长度的取值范围是__________________，即的取值范围是_____________________．
4．如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．
5．如图，EB⊥CD，垂足为E，BE＝DE，AE＝CE．求证：DA⊥BC．
课后作业
6．如果两个三角形有两边及一角对应相等，那么这两个三角形 （ ）
A．一定全等 B．一定不全等 C．不一定全等 D．面积相等
7．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．△ABO≌△ADO．下列结论：①AC⊥BD；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；④DA＝DC．其中，正确的是_______________（填序号）．
8．如图，AD平分∠BAC，AC＝AB．求证：∠CED＝∠BED．
9．如图，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，求证：AC∥DF．
10．如图，在△ACB和△DCE中，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AE、BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．试判断AE、BD之间的关系，并说明理由．
第5课时 探索三角形全等的条件（3）
知识梳理
两角及其______________分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“__________”）．
课堂作业
1．如图，点E在△ABC的外部，点D在BC上，DE交AC于点F，若∠1＝∠2，∠B＝∠ADE，AB＝AD，则 （ ）
A．△ABC≌△AFE B．△AFE≌△ADC C．△AFE≌△DFC D．△ABC≌△ADE
2．如图，线段AD、BC相交于点O，若OC＝OD，为了直接使用“ASA”判定△AOC≌△BOD，则应补充条件 （ ）
A.．OA=OB B．∠A＝∠B C．∠C＝∠D D.．AC= BD
3．如图，F、C是AD上的两点，∠A＝∠D，∠1＝∠2．如果要得到△ABC≌△DEF，那么下列条件：①∠E＝∠B；②ED＝BC；③AB＝EF；④AF＝CD．其中，还应给出的条件是_______________（填序号）．
4．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD＝AE．求证：BE＝CD．
如图，在四边形ACDE中，ED＝CA，ED∥CA，C为AB的中点，BE与CD相交于点F．
求证：EF＝BF．
课后作业
6．如图，某同学将一块三角形玻璃打碎成三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，你认为最省事的方法是带玻璃块 （ ）
A．① B．② C．③ D．①和②
7．如图，AC与BD相交于点O，∠1＝∠2，∠DAO＝∠CBO．若△ABC的周长为25cm，△AOD的周长为17cm，则AB的长为______________cm．
8．如图，OA平分∠BAC，∠AOD＝∠AOE，图中的全等三角形共有___________对，它们分别是______________________________________．
9．如图，∠CAB＝∠DBA，∠CBD＝∠DAC．求证：BC＝AD．
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，DB＝BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E、CB的延长线于点F．求证：BF＝BA．
11．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AB＝CD，AE∥BF，CE∥DF．求证：AE＝BF．
第6课时 探索三角形全等的条件（4）
知识梳理
两角分别相等且其中一组等角的___________相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“_______”）．以上是利用基本事实(ASA)得到的推论．
课堂作业
1．在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，要使△ABC≌△DEF，则需补充一个条件，合适的条件
共有 （ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．如图，AB∥DE，AC∥DF，AC＝DF，添加下列条件不能判定△ABC≌△DEF的是 （ ）
A.．AB=DE B．∠B＝∠E C．EF= BC D．EF∥BC
3．（1）如图①，∠B＝∠DEF，AB＝DE．要说明△ABC≌△DEF，如果直接利用“ASA”，那么要补充的条件是_____________________；如果直接利用“AAS”，那么要补充的条件是_____________________．
（2）如图②，D是AB上的一点，DF交AC于点E，AE＝EC，CF∥AB，若AB＝9cm，CF＝5cm，则BD＝_________________cm．
4．如图，∠B＝∠D，请添加一个条件（不得添加辅助线），使得△ABC≌△ADC，并说明理由．
5．如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠D＝90°，点A、E、C、F在同一直线上，AE＝CF，BC的延长线交DF于点M，∠MCF＝∠F．求证：BC＝DF．
课后作业
6．如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是 （ ）
A．AC=BD B．∠CAB＝∠DBA C．∠C＝∠D D．BC=AD
7．如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是 （ ）
A.．PC=PD B．∠CPO＝2∠DOP C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD
8． 如图，AC与BD相交于点O，且AB＝CD，请添加一个条件：____________________，使得△ABO≌△CDO．
9．如图，直线过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线的距离分别是AE＝1.3，CF＝0.8，则EF的长
为________________．
10．如图，AD是△ABC的中线，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F，求证：BE＝CF．
11．如图，点A、F、E、C在同一条直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE．
（1）图中的全等三角形有______________组；
（2）试说明（1）中三角形全等的理由．
第7课时 探索三角形全等的条件（5）
知识梳理
1．到目前为止，我们已经学过判定两个三角形全等的方法有_________、_________、________（简记）．
2．用“∵”“∴”表述的有关推理过程也可以用符号“____________”简明地表述．
课堂作业
1．如图，在△ABC中，AC＝8cm，F是高AD和BE的交点，若AD＝BD，则BF的长是 （ ）
A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．9 cm
2．如图，AD是△ABC的角平分线．
（1）如果再具备条件：_________________，那么就可以根据“SAS”得到△ABD≌△ACD；
（2）如果再具备条件：_________________，那么就可以根据“ASA”得到△ABD≌△ACD；
（3）如果再具备条件：_________________，那么就可以根据“AAS”得到△ABD≌△ACD．
3．如图，在四边形ABCD中，H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E、F，连接BE、CF．请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是_________________．
4．如图，在四边形ABCD中，点E在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝EC．
求证：△ABC≌△DEC（用“→”表述推理过程）．
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线，分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF．求证：AE＝AF．
课后作业
6．下列说法：①有两个角和一个角的对边对应相等的两个三角形全等；②有一条边和一个角对应相等的两
个等腰三角形全等；③有一条边对应相等的两个等边三角形全等；④有一个锐角和这个锐角所对直角边对应相等的两个直角三角形全等．其中，正确的是 （ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
7．如图，AD和CB相交于点E，BE＝DE，请添加一个条件，使△ABE≌△CDE，你所添加的条件是_______________________（只添一个即可）．
8．如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA＝OB，则图中有________对全等三角形．
9．如图，△ABC≌△A＇B＇C＇，AD、A＇D＇分别是△ABC与△A＇B＇C＇的角平分线．
求证：AD＝A＇D＇．
10．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D．
（1）求证：AC∥DE；
（2）若BF＝13，EC＝5，求BC的长．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F分别在AB、AC上，AE＝AF，BF与CE相交于点P．求证：
PB＝PC，并直接写出图中其他相等的线段．
第8课时 探索三角形全等的条件（6）
知识梳理
1．三边分别___________的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“___________”）．
2．如果一个三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小就完全确定，三角形的这个性质叫做三
角形的________________性．
课堂作业
1．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，若连接AC、BD，相交于点O，则图中的全等三角形共有 （ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
2．（1）木工师傅在做完门框后为了防止变形，常用如图①所示的方法钉上两根斜拉的木条，这样做的数学
依据是____________________________________；
（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，则△___________≌△___________，其根据是___________________________（填简写），AD与BC的位置关系是_______________________；
（3）如图③，OA＝OB，AC＝BC，∠ACO＝30°，则∠ACB＝________________°．
3．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证：AB∥DE．
4．如图，AB＝DC，DB＝AC．
（1）求证：∠B＝∠C；
（2）在（1）的证明过程中，需要添加辅助线，
它的意图是_______________________________．
课后作业
5．如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，AC＝DB，AC、BD相交于点O，则图中的全等三角形共有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
6．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，则∠ACB等于 （ ）
A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF
7．如图，以△ABC的顶点A为圆心，BC的长为半径作弧;再以顶点C为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于点D，连接AD、CD．若∠B＝65°，则∠D的度数为_________________°．
8．如图AC＝FE，BC＝DE，AD＝BF，点A、D、B、F在同一条直线上，求证：∠C＝∠E．
9．如图，AC＝AD，BC＝BD．求证：∠C＝∠D.．
10．如图，AD＝BC，AC＝BD．
（1）求证：△ADB≌△BCA．
（2）OA与OB相等吗？若相等，请说明理由．
第9课时 探索三角形全等的条件（7）
知识梳理
1．用直尺和圆规作∠AOB的平分线的作法：（1）以点O为圆心.，____________为半径作弧，分别交射线OA、OB于点C、D；（2）分别以点C、D为圆心，大于_______________的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点M；（3）作射线OM．__________________就是∠AOB的平分线．
2．用直尺和圆规经过直线AB外一点P作AB的垂线的作法：（1）以点P为圆心，____________为半径作弧，使它与AB交于点C、D；（2）分别以点C、D为圆心，大于____________的长为半径作弧，两弧交于点Q；（3）作直线PQ．直线_______________就是经过直线AB外一点P的AB的垂线．
课堂作业
1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是 （ ）
A.．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长，交BC于点D，则∠ADC＝________________°．
3．如图，A是∠MON的边ON上的一点，利用直尺和圆规过点A分别作OM、ON的垂线（不写作法，保留作图痕迹）
4．如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）尺规作图：在AC上有一点D，连接BD，并在BD的延长线上取点E，使AE＝AB，连接AE，作
∠EAC的平分线AF，AF交DE于点F（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，连接CF．求证：∠E＝∠ACF．
课后作业
5．下列尺规作图，能判断AD是△ABC的高的是 （ ）
6．如图，OP是∠AOB的平分线，点C、D分别在角的两边OA、OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的是 （ ）
A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC=OD C．∠OPC＝∠OPD D．PC=PD
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．若CD＝6cm，则点D到直线AB的距离是______________cm．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）请用直尺和圆规按下面的步骤作图，保留作图痕迹；
①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；
②过点D作AC的垂线，垂足为E．
（2）在（1）中作出的图形中，∠A的余角是___________________．
9．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于点C．
（1）尺规作图：过点B作AC的垂线，交AC于点O，交AE于点D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）中求作的图形中，找出相等的线段，并予以证明．
第10课时 探索三角形全等的条件（8）
知识梳理
斜边和________________分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“___________”）．
课堂作业
1．如图，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，PE＝PF，则下列结论不一定正确的是 （ ）
A．AD平分∠BAC B．AE=AF C．Rt△APE≌△APF D．AP=PE+PF
2．如图，AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是 （ ）
A．CB=CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，PQ＝AB，P、Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，当AP＝___________时，才能使Rt△ABC≌Rt△QPA．
4．（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BC＝BD．若AC＝3 cm，则AE+DE＝___________cm．
（2）如图②，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC，交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF的度数为________________．
5．如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．
（1）若∠ABC＝35°，求∠CAO的度数；
（2）求证：CO＝DO．
课后作业
6．如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，AF＝BE，且AC＝BD，则下列结论不正确的是（ ）
A．Rt△ACE≌Rt△BDF B．∠C+∠B＝90° C．∠A＝∠D D．AC∥BD
7．如图，AD＝BC，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，且AE＝CF，则图中相等的角（直角除外）（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
8．如图，A、B、C三点在同一条直线上，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，请你添加一个适当的条件：____________，
使得△EAB≌△BCD．
9．如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD＝CA，过点D作DE⊥BC交AB于点E．若AB＝5cm，DE=
2cm，则BE的长为____________cm．
10．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上的一点，点E在边BC上，连接AE、DE、DC，AE＝CD．求证：∠BAE＝∠BCD．
11．如图，AB＝AD，CB⊥AB，CD⊥AD，E、F分别是BC、DC的中点，连接AE、AF．求证：AE＝AF．
