D
A
B
C B-
C
②
19.(1)90
(2)如图,取格点D,E,连接DE与AB相交于点T;取
格点M,N,连接MN交BC的延长线于点G;取格点
F,连接FG交TC的延长线于点P,则点P即为所求
M
C
B
E
20.因为DE∥AC,CE∥BD,所以四边形OCED是平行四
边形因为四边形ABCD是矩形,所以OC=OD所以
四边形OCED是菱形
21.在□ABCD中,AO=CO,BO=DO因为△AOB的周
长-△DOA的周长=5cm,所以AB-AD=5cm,又
因为□ABCD的周长为60cm,所以AB+AD=
30cm所以AB=DC=17.5cm,AD=BC=125cm
22.(1)因为E是AC的中点所以EC
AC.因为
DB=AC,所以DB=EC又因为DB∥AC,所以四
边形DBCE是平行四边形所以BC=DE
(2)添加AB=BC理由如下:因为DB=AE,DB∥
AE,所以四边形DBEA是平行四边形因为BC=DE,
AB=BC,所以AB=DE.所以平行四边形ADBE是
矩形
23.(1)如图,过点B作BH⊥x轴于点H因为AB=
OA=1+t,∠BAH=∠AOC=60°,所以AH1+t
BH=(1+t)所以OH=OA+AH=2(1+t).所
以点B的坐标为(2(1+t),(1+t)
(2)设直线OB的函数表达式为y=kx(k≠0)将点
B(2(1+1),2(1+)代入直线OB的函数表达式
y=kx得2(1+1)=2(1+1)k解得k原,所以直
3
线OB的函数表达式为y、原x因为点D的坐标为
3
(8,0),DG=2t,四边形DGFE为正方形,所以点E的
坐标为(8,2t)又因为O,B,E三点共线,所以点E在
直线OB上,所以2=×8,解得t≈43
3
A H G
D r
24.(1)四边形EFGH是平行四边形理由如下:如图,连
接AC因为E是AB的中点,F是BC的中点,所以
EF∥AC,EF=2AC同理HG∥AC,HG=2AC所
以EF∥HG,EF=HG故四边形EFGH是平行四
边形
(2)①AC=BD证明如下:由(1),知四边形EFGH是
平行四边形,且F、l
BD,HG=AC,所以当AC=
BD时,FG=HG所以平行四边形EFGH是菱形
②当AC⊥BD时,四边形EFGH为菱形理由如下:由
(1),知四边形EFGH是平行四边形因为AC⊥BDGH
∥AC,所以GH⊥BD因为GF∥BD所以GH⊥GF所
以∠HGF=90°所以四边形EFGH为矩形
H
B
D
第9拿提优测试卷
1.C【解析】A不是中心对称图形;B不是轴对称图形;
D不是中心对称图形
2.D【解析】因为四边形ABCD为平行四边形,E是
BC的中点,所以OE∥AB,OE、1
AB, AB= CD
2
OA=OC.所以OE=CD,∠BOE=∠OBA,选项D
是错误的
3.C【解析】利用旋转的性质,得旋转中心是AA与
BB垂直平分线的交点O,则∠AOA=90°,所以a=90
4.D〖解析】一组对边平行,另一组对边相等的四边形
不一定是平行四边形,可能是等腰梯形
5.C【解析】当AC=BD时,对角线相等的平行四边形
是矩形,不能判定为菱形
6.A【解析】如图,由题意,得AC⊥BD,AC=4,BD=
5所以小菱形的面积为2 XACX BD I
4×5=10.
B
D
7.A【解析】如图,延长PF交AB的延长线于点G因
为四边形ABCD是菱形,所以AB∥CD所以∠GBF=
∠PCF在△BGF和△CPF中,∠GBF=∠PCF,BF=
CF,∠BFG=∠CFP,所以△BGF≌△CPF(ASA)所
以GF=PF所以F为PG的中点所以PF=PG.因
为EP⊥CD,AB∥CD,所以EP⊥AB,所以∠BEP=
90°所以EF≈、l
FG=PF.所以∠FEP=∠EPF.又
∠BEP=∠EPC=90°,所以∠BEP-∠FEP=
∠EPC-∠EPF,则∠BEF=∠FPC.因为四边形
ABCD为芟形,所以AB=BC,∠ABC=180°-∠A=
80°.又E,F分别为AB,BC的中点,所以BE=BF所以
∠BEF=∠BFE=(180°-80°)=50°所以
∠FPC=50
D
P
8.B【解析】因为正方形ABCD的面积为1,所以BC=
CD=1=1,∠BCD=90°因为E,F分别是BC,CD的
中点,所以CE。1
BC
2·CFl
CD=
2所以
CE=CF.所以△CEF是等腰直角三角形.所以EF=
√CE2+CF=2·听以正方形EFGH的周长为
4EF=4
2√2
9.C【解析】因为四边形ABCD为平行四边形,由作图
可知四边形ABEF是菱形所以AE,BF互相垂直平分
设AE,BF相交于点O,所以BO=。BF=3.在
Rt△ABO中,AO=√AB2-OB2=√52-32=4,所以
AE=2A0=8
10.B【解析】解法一:如图,延长BG交CH于点E.因
为AG=CH=8,BG=DH=6,AB=CD=10,所以
△ABG≌△CDH.因为AG2+BG2=82+62=102=
AB2,所以△ABG是直角三角形,∠AGB=90同理
△DHC是直角三角形,∠DHC=909.因为∠1=∠5,
∠2=∠6,∠AGB=∠CHD=90°,所以∠1+∠2
90°,∠5+∠6=90°.又∠2+∠3=90°,∠4+∠5=90°,
所以∠1=∠3=∠5,∠2=∠4=∠6.因为AB=BC
所以△ABG≌△BCE(ASA)所以BE=AG=8,CE
BG=6,∠BEC=∠AGB=90°所以GE=BE一BG
8-6=2同理可得HE=2.在Rt△GHE中,GH=
√GE2+HE2=2√2
A
D
E
B
4X
解法二:如图,过点G作EF⊥AB于点E,过点H作
HF∥AB交EF于点F.则∠HFG=90°因为AG2+
BG2=82+62=102=AB2,所以△ABG是直角三角
形,∠AGB=90°.同理△DHC是直角三角形,
6×8
∠DHC=90°.所以EG=
1=4.8.所以GF=10
2×48=04因为BE=√62-4.82=3.6,所以HF=
10—2×3.6=2.8.所以在Rt△HFG中,HG
HF2+GF2=√282+0.42=22
D
F
B
C
11.30【解析】由旋转,得∠BOD=45°,所以∠AOD=
∠BOD-∠AOB=30
12.30°【解析】因为四边形ABCD为平行四边形,所以
AB∥CD所以∠D+∠DAB=180因为∠D=100°,
所以∠DAB=80°.因为AE平分∠DAB,所以
∠EAB=2∠EBA=∠BEA=70°因为四边形ABCD为平行四边
形,所以∠ABC=∠D=100°所以∠EBC=30
13.50°【解析】由折叠知∠D'EF=∠DEF因为四边形
ABCD为矩形,所以AD∥BC.所以∠EFB=∠DEF
所以∠DEF=∠DEF=∠EFB=65°所以∠AED′=
180°-65°×2=50
14.120【解析】由题意,得菱形衣架的内角∠A=60
所以∠1=120
15.4√2【解析】如图,连接OE.因为四边形ABCD是
正方形,所以OA=OB=4√2,又因为S△ABO=S△AEO+
S△EB,所以2OA·OB=2OA·EF+OB·EG,
卿2×4√2×42=2X4X(EF+BC),所以
EF+EG=42
E
B
16.3【解析】连接CM,在Rt△ACB中,M为AB的中
点,所以CM=2AB=3.因为N,M分别为AC,AB
的中点,所以MN∥BC,MN=BC.因为CD=
BD,所以CD=BC所以CD=MN,CD∥MN所
以四边形CDNM是平行四边形所以DN=CM=3
【解析】如图,延长BE到点G,使CG=AF,连
接OG,EF
F
因为四边形OABC为正方形,且点B的坐标为(3,3)
所以OA=OC=3,∠A=∠OCG=90°,在△OAF和
OA=OC,
△OCG中,∠OAF=∠OCG,所以△OAF≌△OCG
AF=CG,
(SAS)所以∠AOF=∠COG,OF=OG.所以∠EOG=
∠EOC+∠COG=∠EOC十∠AOF≡90-45°=45°
OF=OG,
在△OFE和△OGE中,{∠EOF=∠EOG,所以
OE=OE,
△OFE≌△OGE(SAS).所以EF=GE=AF十CE设
AF=x,则EF=1+x,BF=3-x,在Rt△EBF中,因
为BE2+BF2=EF2,所以22+(3-x)2=(1+x)2,解
得x=,所以AF=3
则点F的纵坐标是
18.6或3【解析】当△CEB为直角三角形时,若
∠ECB=90°,则点B应在边CD上,此时点E与点C
重合,E,C,B三点不能构成三角形,所以分∠EBC=
90和∠BEC=90°两种情况讨论:①当∠EBC=90
时,点B′落在矩形内部,如图①,在Rt△ABC中,
AB=6,BC=8,所以AC=√82+62=10.由折叠,得
∠ABE=∠B=90°,EB′=EB,AB=AB=6.因为
∠EB'C=90°,所以点A,B',C共线,所以CB′=10
6=4设BE=x,则EB'=x,CE=8-x,在Rt△CEB
中,由勾股定理,得EB2+CB=CE2,即x2+42
8-x)2,解得x=3,所以BE=3;②当∠B'EC=90
时,点B′落在边AD上,如图②,此时易得四边形
ABEB为正方形,所以BE=AB=6综上所述,BE的
长为3或6
初二下册第九章提优测试卷
选择题（每小题3分，共30分）
下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是 （ ）
2．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，E是BC的中点，下列说法错误的是（ ）
A. B. C. D.
3．如图，在正方形网格中，线段A＇B＇是线段AB绕某点按逆时针方向旋转角得到的，点A＇与点A对应，则角的大小为 （ ）
A.30° B.60° C.90° D.120°
在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是
（ ）
OA=OC，OB=OD B. AD//BC，AB//DC
C. AB=DC，AD=BC D. AB//DC，AD=BC
5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD是菱形的只有 （ ）
A．AC⊥BD B ．AB=BC C． AC=BD D．∠1＝∠2
6．如图，将一个长为10、宽为8的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上对折，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图①），再打开，得到如图②所示的小菱形的面积为 （ ）
A.10 B.20 C.40 D.80
7．如图，在菱形ABCD中，∠A＝100°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC的度数为 （ ）
A.50° B.55° C. 60° D.45°
8．如图、正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为 （ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF＝6，AB＝5，则AE的长为 （ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
10．如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，连接GH，则线段GH的长为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD．若∠AOB＝15°，则∠AOD＝________；
12．如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝100°，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE．若AE＝AB，则∠EBC＝______________；
13．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在点D＇，C＇的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED＇＝___________________；
14．如图是根据四边形不稳定性制作的边长均为15cm的可活动菱形衣架，若墙上钉子间的距离AB＝BC＝
15cm，则∠1＝______________度；
15．如图，正方形ABCD的对角线长为，E为AB上一点. 若EF⊥AC于点F，EG⊥BD于点G，则
EF+EG=_________________；
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别是AB，AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD，连接DM，DN，MN．若AB＝6，则DN＝______________；
17．如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（3，3），点E，F分别在边BC，BA上，CE＝1．若∠EOF＝45°，则点F的纵坐标是_________________；
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是边BC上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B＇处，当△CEB＇为直角三角形时，BE的长为________________.
三、解答题（共66分）
19．（10分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上.
（1）∠ACB的大小为_________________；
（2）在如图所示的网格中，P是边BC上任意一点，以点A为中心，取旋转角等于∠BAC，把点P逆时针旋转，点P的对应点为P＇，当CP＇最短时，请用无刻度的直尺，画出点P＇，并简要说明点P＇的位置是如何找到的．（不要求证明）
（10分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD. 求证：四边形OCED是菱形.
（10分）如图，已知平行四边形ABCD的周长为60cm，对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长.
22．（12分）如图，DB∥AC，且DB＝AC，E是AC的中点.
（1）求证：BC＝DE；
（2）连接AD，BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给△ABC添加什么条件，为什么？
23．（12分）如图，已知点A从（1，0）出发，以1个单位长度／s的速度沿轴正方向运动，以O，A为顶点在轴的上方作菱形OABC，且∠AOC＝60°；同时点G从点D（8，0）出发，以2个单位长度／s的速度沿轴负方向运动，以D，G为顶点在轴的上方作正方形DEFG．设点A运动了.
（1）求点B的坐标（用含的代数式表示）；
（2）在点A的运动过程中，当为何值时，点O，B，E在同一直线上.
24．（12分）阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图①，我们把一个四边形 ABCD的四边中点E，F，G，H依次
连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？
小敏在思考问题，有如下思路：连接AC.
结合小敏的思路作答.
（1）若只改变图①中四边形ABCD的形状（如图②），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；
（参考小数思考问题方法）
（2）如图②，在（1）的条件下，若连接AC，BD.
①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；
②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论.
