人教版高中数学必修5同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：21【基础】不等关系与不等式
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学必修5同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：21【基础】不等关系与不等式 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 323.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-30 11:13:55 | ||
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文档简介
不等关系与不等式
【学习目标】
1．了解实数运算的性质与大小顺序之间的关系.
2．会用差值法比较两实数的大小；
3．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.
【要点梳理】
要点一、符号法则与比较大小
实数的符号：
任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立。
两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：
①两个同号实数相加，和的符号不变
符号语言：；
②两个同号实数相乘，积是正数
符号语言：；
③两个异号实数相乘，积是负数
符号语言：
④任何实数的平方为非负数，0的平方为0
符号语言：，.
比较两个实数大小的法则：
对任意两个实数、
①；
②；
③.
对于任意实数、,,,三种关系有且只有一种成立。
要点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。 要点二、不等式的性质
不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分
基本性质有： (1) 对称性： (2) 传递性： (3) 可加性： (c∈R) (4) 可乘性：a>b， 运算性质有： (1) 可加法则：
(2) 可乘法则：
(3) 可乘方性：
(4) 可开方性：
要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.
要点三、比较两代数式大小的方法
作差法：
任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小。
①；
②；
③。
作商法：
任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小。
①；
②；
③.
中间量法：
若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.
利用函数的单调性比较大小
若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小.
作差比较法的步骤：
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化为“积”；
第三步：定号，就是确定差是大于、等于还是小于0；
最后下结论。
要点诠释：“三步一结论”。这里“定号”是目的，“变形”是关键过程。
【典型例题】
类型一：用不等式表示不等关系
例1.某人有楼房一幢，室内面积共，拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大房间面积为，
可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式.
【思路点拨】把已知条件用等式或不等式列出来（代数化），把目标用代数式表示，再研究条件和目标的关系。
【解析】假设装修大、小客房分别为间，间，根据题意，应由下列不等关系：
总费用不超过8000元
总面积不超过；
大、小客房的房间数都为非负数且为正整数.
即有：
即
此即为所求满足题意的不等式组
【总结升华】求解数学应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的量具体化，就可以得到相应的数学问题，然后运用数学知识、方法、技巧等解决数学问题。在解决实际问题时，要注意变量的取值范围.
举一反三：
【变式】某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
【答案】设杂志社的定价为x?元，则销售的总收入为/ 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式
/
类型二：不等式性质的应用
例2．对于实数a,b,c判断以下命题的真假
（１）若a>b, 则ac （２）若ac2>bc2，则a>b;
（３）若aab>b2;
（４）若a|b|;
（５）若a>b, >, 则a>0, b<0．
【思路点拨】本类题一般采用不等式性质法或者比差法。
【解析】
（１）因为c的符号不定，所以无法判定ac和bc的大小，故原命题为假命题。
（２）因为ac2>bc2, 所以c≠0, 从而c2>0，故原命题为真命题。
（３）因为，所以a2>ab ①
又，所以ab>b2 ②
综合①②得a2>ab>b2 ，故原命题为真命题．
（４）两个负实数，绝对值大的反而小，故原命题为真命题．
（５）因为 ，所以
所以 ，从而ab<0
又因a>b，所以a>0, b<0，故原命题为真命题．
【总结升华】不等式的性质应用要注意使用的条件，正确变形.
举一反三：
【变式1】若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列命题：(1)ad＞bc；
(2) ；(3)a－c＞b－d；(4)a·(d－c)＞b(d－c)中能成立
的个数是( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C；
【变式2】若aA.均不成立
B.
C.
D.
【答案】B；
【解析】特殊值法：取a=-2,b=-1 ,分别代入四个选项，即得选项B.
【变式3】(2018 四川)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )
A． B．
C． D．
答案：D
解析：不妨令a＝3，b＝1，c＝－3，d＝－1，
则，∴A、B不正确；
，
∴C不正确，D正确．
故选：D．
例3．船在流水中航行，在甲地与乙地间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么？ 【解析】设甲地与乙地的距离为S，船在静水中的速度为u, 水流速度为v(u>v>0)，
则船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的时间
平均速度， ∵ ，
∴ 因此，船在流水中来回行驶一次的平均速度与船在静水中的速度不相等，平均速度小于船在静水中的速度。
【总结升华】 本例利用了做差比较大小的方法，注意符号的判断方法. 举一反三：
【变式】甲乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a,另一半时间的速度为b;乙车用速度为a行走一半路程，用速度b行走另一半路程，若，试判断哪辆车先到达B地.
【答案】甲车先到达B地；
【解析】设从A到B的路程为S，甲车用的时间为，乙车用的时间为，
则
所以，甲车先到达B地。
类型三：作差比较大小
例4. 已知a，b，c是实数，试比较a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ca的大小．
【思路点拨】此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个代数式大小的问题转化为实数运算符号问题。
【解析】∵
=，
当且仅当a＝b＝c时取等号．
∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
【总结升华】
用作差法比较两个实数（代数式）的大小，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是个因式之积或完全平方式或常数的形式；
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时需进行讨论；
第三步：得出结论。
举一反三：
【变式1】在以下各题的横线处适当的不等号：
(1) ；
（2） ；
（3） ；
（4）当时， .
【答案】(1)＜； （2）＜ ； （3）＜； （4）＜
【变式2】比较下列两代数式的大小：
（1）与；（2）与.
【答案】
（1）
（2）
，
∴.
【变式3】（2018 西城一模）已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（ ）。
A.2枝玫瑰的价格高 B.3枝康乃馨的价格高
C.价格相同 D.不确定
【答案】
设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别x,y元，
由题意得：化为
设2x-3y=m(2x+y)+n(-x-y)=(2m-n)x+(m-n)y,
令解得m=5,n=8.
所以2x-3y=5(2x+y)+8(-x-y)>5×8-8×5=0
因此2x>3y.
所以2枝玫瑰的价格高。
故选A.
例5.已知(), 试比较和的大小。
【解析】，
∵即，
∴当时，；
当时，.
【总结升华】变形一步最为关键，直至变形到能判断符号为止；另需注意字母的符号，必要时需要分类讨论
举一反三：
【变式1】已知，比较的大小
【答案】
【变式2】（2018春·简阳市校级期中）已知a，b为实数，则（a+3）（a―5）________（a+2）（a―4）。（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】∵（a+3）（a―5）―（a+2）（a―4）=（a2―2a+15）―（a2―2a―8）=－7＜0，
∴（a+3）（a－5）＜（a+2）（a－4），
故答案为：＜。
类型四：作商比较大小
例6．已知：、, 且,比较的大小.
【思路点拨】本题是两指数式比较大小，如果设想作差法，很明显很难判断符号，由指数式是正项可以联想到作商法.
【解析】 ∵、 ，∴，
作商： （*）
(1)若a>b>0, 则，a-b>0, , 此时成立；
(2)若b>a>0, 则, a-b<0，, 此时成立。
综上，总成立。
【总结升华】
1、作商比较法的基本步骤是:
判定式子的符号并作商变形 判定商式大于1或等于1或小于1 结论。
2、正数的幂的乘积形式的大小比较一般用作商比较法.
举一反三：
【变式】已知为互不相等的正数，求证：
【答案】为不等正数，不失一般性，设
这时，，则有：
由指数函数的性质可知：
，即.
【巩固练习】
一、选择题
1．已知0＜a＜1，，，，则( )
A．x＞y＞z B．z＞y＞x
C．y＞x＞z D．z＞x＞y
2．高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为（ ）
A. B. C. D.
3.(2018 永州一模)下列结论成立的是（ ）
A.若ac>bc,则a>b B.若a>b,则a2>b2
C.若a>b,cb+d D.若a>b,c>d,则a-d>b-c.
4．若x+y>0,a<0,ay>0，则x-y的值为( )
A、大于0 B、小于0 C、等于0 D、符号不确定
5．（2018 浙江）已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则（ ）
A．(a―1)(b―1)＜0 B．(a―1)(a―b)＞0 C．(b―1)(b―a)＜0 D．(b―1)(b―a)＞0
6.（2018 广州二模）已知a>b>0,则下列不等关系式中正确的是（ ）
A.sina>sinb B.log2aC. D.
二、填空题
7．下列命题中的真命题为
（１）若a>b, 则ac2>bc2；
（２）若a（３）若a；
（４）若a（５）若c>a>b>0，则＞．
8.若α，β满足，则2α－β的取值范围是
9．（2018春 红桥区期末）比较下列两个代数式的大小：x2+5x+16 2x2―x―11
10．已知则M、N、P的大小顺序是 .
11．设由小到大的排列顺序是
三、解答题
12．某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，且有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．
13．已知,且，，比较和的大小.
14．设x>0且x≠1，比较1+logx3与2logx2的大小.
15.已知，求，的取值范围．
【答案与解析】
1．【答案】 C
【解析】 ∵，，，又由0＜a＜1知，函数f(x)＝logax为减函数，∴y＞x＞z.故选C.
2．【答案】B
【解析】依据题意直接将条件中的不等关系转化为不等式，即为注意这两个不等式要同时成立
3．【答案】D
【解析】用淘汰法.
对于A.当c<0时，不成立；对于B.取a=-1,b=-2,不成立；对于C.因为a>b,cb-d,因此不成立；对于D.因为c>d,所以-d>-c,又a>b,a-d>b-c,因此成立。
故选：D.
4．【答案】A
【解析】用直接法. ∵a<0，ay>0/y<0， 又∵x+y>0/x>0， ∴x-y=x+(-y)>0.故本题应选(A).
5．【答案】D
【解析】若a＞1，则由logab＞1得logab＞logaa，即b＞a＞1，此时b－a＞0，b＞1，即(b―1)(b―a)＞0，
若0＜a＜1，则由logab＞1得logab＞logaa，即b＜a＜1，此时b－a＜0，b＜1，即(b―1)(b―a)＞0，
综上(b―1)(b―a)＞0，
故选D。
6．【答案】D
【解析】选项A错误，比如取a=π，，显然满足a>b>0,但不满足sina>sinb;选项B错误，由函数y=log2x在（0，+∞）上单调递增可得log2a>log2b;选项C错误，由函数在（0，+∞）上单调递增可得；选项D正确，由函数在R上单调递减可得。
故选：D。
7．【答案】（4）（5）
【解析】
（１）∵c2≥0，当c=0时ac2=bc2=0，故原命题为假命题.
（２）举特例-2<-1<0但->-1，故原命题为假命题.
（３）由于a（４）∵a|b|>0，∴＜１，∴＜１，故原命题为真命题．
（５）∵c>a>b>0，∴，∴c-b>c-a>0，∴＞＞0，
又∵a>b>0 ，∴＞，故原命题为真命题．
8．【答案】.
【解析】 ∵，
又，且α<β，
∴－π<α－β<0，
∴.
9．【答案】略
【解析】∵(2x2―x―11)―(x2+5x+16)=x2―6x―27，而x2―6x―27=(x+3)(x―9)，
∴当x＜－3或x＞9时，(2x2―x―11)―(x2+5x+16)＞0，则x2+5x+16＜2x2―x―11；
当―3＜x＜9时，(2x2―x―11)―(x2+5x+16)＜0，则x2+5x+16＞2x2―x―11；
当x=―3或x=9时(2x2―x―11)―(x2+5x+16)=0，则x2+5x+16=2x2―x―11
10．【答案】
【解析】 ，， ，，
，
11．【答案】
【解析】特殊值法：对a、b、m、n分别取特殊值，
比如：a=4,b=3,m=2,n=1,代入比较即得.
12．【解析】 设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆．
根据题意，应有如下的不等关系：
(1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数；
(2)车队每天至少要运360 t矿石；
(3)甲型卡车不能超过4辆，乙型卡车不能超过7辆．
用下面的关于x，y的不等式表示上述不等关系即可，
，即
13．【解析】,
当时，， ， ，即.
当时， ，，即
综上
14．【解析】作差：
(1) 当， 即0(2) 当
(3) 当
, 此时，其中时取等号.
(4) 当 即时，，此时
综上所述，当0＜x＜1或x＞时，1＋logx3＞2logx2；
当1＜x＜时，1＋logx3＜2logx2；
当x＝时，1＋logx3＝2logx2.
15. 【解析】 因为，所以，.
两式相加，得.
因为，所以，
则.
又α＜β，所以，
则.
【学习目标】
1．了解实数运算的性质与大小顺序之间的关系.
2．会用差值法比较两实数的大小；
3．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.
【要点梳理】
要点一、符号法则与比较大小
实数的符号：
任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立。
两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：
①两个同号实数相加，和的符号不变
符号语言：；
②两个同号实数相乘，积是正数
符号语言：；
③两个异号实数相乘，积是负数
符号语言：
④任何实数的平方为非负数，0的平方为0
符号语言：，.
比较两个实数大小的法则：
对任意两个实数、
①；
②；
③.
对于任意实数、,,,三种关系有且只有一种成立。
要点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。 要点二、不等式的性质
不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分
基本性质有： (1) 对称性： (2) 传递性： (3) 可加性： (c∈R) (4) 可乘性：a>b， 运算性质有： (1) 可加法则：
(2) 可乘法则：
(3) 可乘方性：
(4) 可开方性：
要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.
要点三、比较两代数式大小的方法
作差法：
任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小。
①；
②；
③。
作商法：
任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小。
①；
②；
③.
中间量法：
若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.
利用函数的单调性比较大小
若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小.
作差比较法的步骤：
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化为“积”；
第三步：定号，就是确定差是大于、等于还是小于0；
最后下结论。
要点诠释：“三步一结论”。这里“定号”是目的，“变形”是关键过程。
【典型例题】
类型一：用不等式表示不等关系
例1.某人有楼房一幢，室内面积共，拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大房间面积为，
可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式.
【思路点拨】把已知条件用等式或不等式列出来（代数化），把目标用代数式表示，再研究条件和目标的关系。
【解析】假设装修大、小客房分别为间，间，根据题意，应由下列不等关系：
总费用不超过8000元
总面积不超过；
大、小客房的房间数都为非负数且为正整数.
即有：
即
此即为所求满足题意的不等式组
【总结升华】求解数学应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的量具体化，就可以得到相应的数学问题，然后运用数学知识、方法、技巧等解决数学问题。在解决实际问题时，要注意变量的取值范围.
举一反三：
【变式】某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
【答案】设杂志社的定价为x?元，则销售的总收入为/ 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式
/
类型二：不等式性质的应用
例2．对于实数a,b,c判断以下命题的真假
（１）若a>b, 则ac
（３）若a
（４）若a
（５）若a>b, >, 则a>0, b<0．
【思路点拨】本类题一般采用不等式性质法或者比差法。
【解析】
（１）因为c的符号不定，所以无法判定ac和bc的大小，故原命题为假命题。
（２）因为ac2>bc2, 所以c≠0, 从而c2>0，故原命题为真命题。
（３）因为，所以a2>ab ①
又，所以ab>b2 ②
综合①②得a2>ab>b2 ，故原命题为真命题．
（４）两个负实数，绝对值大的反而小，故原命题为真命题．
（５）因为 ，所以
所以 ，从而ab<0
又因a>b，所以a>0, b<0，故原命题为真命题．
【总结升华】不等式的性质应用要注意使用的条件，正确变形.
举一反三：
【变式1】若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列命题：(1)ad＞bc；
(2) ；(3)a－c＞b－d；(4)a·(d－c)＞b(d－c)中能成立
的个数是( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C；
【变式2】若a
B.
C.
D.
【答案】B；
【解析】特殊值法：取a=-2,b=-1 ,分别代入四个选项，即得选项B.
【变式3】(2018 四川)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )
A． B．
C． D．
答案：D
解析：不妨令a＝3，b＝1，c＝－3，d＝－1，
则，∴A、B不正确；
，
∴C不正确，D正确．
故选：D．
例3．船在流水中航行，在甲地与乙地间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么？ 【解析】设甲地与乙地的距离为S，船在静水中的速度为u, 水流速度为v(u>v>0)，
则船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的时间
平均速度， ∵ ，
∴ 因此，船在流水中来回行驶一次的平均速度与船在静水中的速度不相等，平均速度小于船在静水中的速度。
【总结升华】 本例利用了做差比较大小的方法，注意符号的判断方法. 举一反三：
【变式】甲乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a,另一半时间的速度为b;乙车用速度为a行走一半路程，用速度b行走另一半路程，若，试判断哪辆车先到达B地.
【答案】甲车先到达B地；
【解析】设从A到B的路程为S，甲车用的时间为，乙车用的时间为，
则
所以，甲车先到达B地。
类型三：作差比较大小
例4. 已知a，b，c是实数，试比较a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ca的大小．
【思路点拨】此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个代数式大小的问题转化为实数运算符号问题。
【解析】∵
=，
当且仅当a＝b＝c时取等号．
∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
【总结升华】
用作差法比较两个实数（代数式）的大小，其具体解题步骤可归纳为：
第一步：作差并化简，其目标应是个因式之积或完全平方式或常数的形式；
第二步：判断差值与零的大小关系，必要时需进行讨论；
第三步：得出结论。
举一反三：
【变式1】在以下各题的横线处适当的不等号：
(1) ；
（2） ；
（3） ；
（4）当时， .
【答案】(1)＜； （2）＜ ； （3）＜； （4）＜
【变式2】比较下列两代数式的大小：
（1）与；（2）与.
【答案】
（1）
（2）
，
∴.
【变式3】（2018 西城一模）已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（ ）。
A.2枝玫瑰的价格高 B.3枝康乃馨的价格高
C.价格相同 D.不确定
【答案】
设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别x,y元，
由题意得：化为
设2x-3y=m(2x+y)+n(-x-y)=(2m-n)x+(m-n)y,
令解得m=5,n=8.
所以2x-3y=5(2x+y)+8(-x-y)>5×8-8×5=0
因此2x>3y.
所以2枝玫瑰的价格高。
故选A.
例5.已知(), 试比较和的大小。
【解析】，
∵即，
∴当时，；
当时，.
【总结升华】变形一步最为关键，直至变形到能判断符号为止；另需注意字母的符号，必要时需要分类讨论
举一反三：
【变式1】已知，比较的大小
【答案】
【变式2】（2018春·简阳市校级期中）已知a，b为实数，则（a+3）（a―5）________（a+2）（a―4）。（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】∵（a+3）（a―5）―（a+2）（a―4）=（a2―2a+15）―（a2―2a―8）=－7＜0，
∴（a+3）（a－5）＜（a+2）（a－4），
故答案为：＜。
类型四：作商比较大小
例6．已知：、, 且,比较的大小.
【思路点拨】本题是两指数式比较大小，如果设想作差法，很明显很难判断符号，由指数式是正项可以联想到作商法.
【解析】 ∵、 ，∴，
作商： （*）
(1)若a>b>0, 则，a-b>0, , 此时成立；
(2)若b>a>0, 则, a-b<0，, 此时成立。
综上，总成立。
【总结升华】
1、作商比较法的基本步骤是:
判定式子的符号并作商变形 判定商式大于1或等于1或小于1 结论。
2、正数的幂的乘积形式的大小比较一般用作商比较法.
举一反三：
【变式】已知为互不相等的正数，求证：
【答案】为不等正数，不失一般性，设
这时，，则有：
由指数函数的性质可知：
，即.
【巩固练习】
一、选择题
1．已知0＜a＜1，，，，则( )
A．x＞y＞z B．z＞y＞x
C．y＞x＞z D．z＞x＞y
2．高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为（ ）
A. B. C. D.
3.(2018 永州一模)下列结论成立的是（ ）
A.若ac>bc,则a>b B.若a>b,则a2>b2
C.若a>b,c
4．若x+y>0,a<0,ay>0，则x-y的值为( )
A、大于0 B、小于0 C、等于0 D、符号不确定
5．（2018 浙江）已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则（ ）
A．(a―1)(b―1)＜0 B．(a―1)(a―b)＞0 C．(b―1)(b―a)＜0 D．(b―1)(b―a)＞0
6.（2018 广州二模）已知a>b>0,则下列不等关系式中正确的是（ ）
A.sina>sinb B.log2a
二、填空题
7．下列命题中的真命题为
（１）若a>b, 则ac2>bc2；
（２）若a
（４）若a
8.若α，β满足，则2α－β的取值范围是
9．（2018春 红桥区期末）比较下列两个代数式的大小：x2+5x+16 2x2―x―11
10．已知则M、N、P的大小顺序是 .
11．设由小到大的排列顺序是
三、解答题
12．某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，且有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．
13．已知,且，，比较和的大小.
14．设x>0且x≠1，比较1+logx3与2logx2的大小.
15.已知，求，的取值范围．
【答案与解析】
1．【答案】 C
【解析】 ∵，，，又由0＜a＜1知，函数f(x)＝logax为减函数，∴y＞x＞z.故选C.
2．【答案】B
【解析】依据题意直接将条件中的不等关系转化为不等式，即为注意这两个不等式要同时成立
3．【答案】D
【解析】用淘汰法.
对于A.当c<0时，不成立；对于B.取a=-1,b=-2,不成立；对于C.因为a>b,c
故选：D.
4．【答案】A
【解析】用直接法. ∵a<0，ay>0/y<0， 又∵x+y>0/x>0， ∴x-y=x+(-y)>0.故本题应选(A).
5．【答案】D
【解析】若a＞1，则由logab＞1得logab＞logaa，即b＞a＞1，此时b－a＞0，b＞1，即(b―1)(b―a)＞0，
若0＜a＜1，则由logab＞1得logab＞logaa，即b＜a＜1，此时b－a＜0，b＜1，即(b―1)(b―a)＞0，
综上(b―1)(b―a)＞0，
故选D。
6．【答案】D
【解析】选项A错误，比如取a=π，，显然满足a>b>0,但不满足sina>sinb;选项B错误，由函数y=log2x在（0，+∞）上单调递增可得log2a>log2b;选项C错误，由函数在（0，+∞）上单调递增可得；选项D正确，由函数在R上单调递减可得。
故选：D。
7．【答案】（4）（5）
【解析】
（１）∵c2≥0，当c=0时ac2=bc2=0，故原命题为假命题.
（２）举特例-2<-1<0但->-1，故原命题为假命题.
（３）由于a
（５）∵c>a>b>0，∴，∴c-b>c-a>0，∴＞＞0，
又∵a>b>0 ，∴＞，故原命题为真命题．
8．【答案】.
【解析】 ∵，
又，且α<β，
∴－π<α－β<0，
∴.
9．【答案】略
【解析】∵(2x2―x―11)―(x2+5x+16)=x2―6x―27，而x2―6x―27=(x+3)(x―9)，
∴当x＜－3或x＞9时，(2x2―x―11)―(x2+5x+16)＞0，则x2+5x+16＜2x2―x―11；
当―3＜x＜9时，(2x2―x―11)―(x2+5x+16)＜0，则x2+5x+16＞2x2―x―11；
当x=―3或x=9时(2x2―x―11)―(x2+5x+16)=0，则x2+5x+16=2x2―x―11
10．【答案】
【解析】 ，， ，，
，
11．【答案】
【解析】特殊值法：对a、b、m、n分别取特殊值，
比如：a=4,b=3,m=2,n=1,代入比较即得.
12．【解析】 设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆．
根据题意，应有如下的不等关系：
(1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数；
(2)车队每天至少要运360 t矿石；
(3)甲型卡车不能超过4辆，乙型卡车不能超过7辆．
用下面的关于x，y的不等式表示上述不等关系即可，
，即
13．【解析】,
当时，， ， ，即.
当时， ，，即
综上
14．【解析】作差：
(1) 当， 即0
(3) 当
, 此时，其中时取等号.
(4) 当 即时，，此时
综上所述，当0＜x＜1或x＞时，1＋logx3＞2logx2；
当1＜x＜时，1＋logx3＜2logx2；
当x＝时，1＋logx3＝2logx2.
15. 【解析】 因为，所以，.
两式相加，得.
因为，所以，
则.
又α＜β，所以，
则.