人教版高中数学必修5同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：23【基础】一元二次不等式

一元二次不等式及其解法
【学习目标】
1.掌握一元二次不等式的解法，体会数形结合的思想；
2.理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数之间的关系；
3.能利用一元二次不等式解决简单的实际问题.
【要点梳理】
要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：.一元二次不等式的一般形式：或.
设一元二次方程的两根为且，则不等式的解集为，不等式的解集为
要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证成立.
要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
二次函数
（）的图象
有两相异实根
有两相等实根
无实根
要点诠释：
（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；
（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集.
要点三、解一元二次不等式的步骤
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
（2）写出相应的方程，计算判别式：
①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；
②时，求根；
③时，方程无解
（3）根据不等式，写出解集.
用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的过程
要点诠释：
1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；
2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；
3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；
4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；
5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数.
【典型例题】
类型一：一元二次不等式的解法
例1. 解下列一元二次不等式
（1）； （2）； （3）
【思路点拨】转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.
【解析】
（1）方法一：
因为
所以方程的两个实数根为：，
函数的简图为：
因而不等式的解集是.
方法二： 或
解得 或 ，即或.
因而不等式的解集是.
（2）方法一：
因为，
方程的解为.
函数的简图为：
所以，原不等式的解集是
方法二：（当时，）
所以原不等式的解集是
（3）方法一：
原不等式整理得.
因为，方程无实数解，
函数的简图为：
所以不等式的解集是.
所以原不等式的解集是.
方法二：∵
∴原不等式的解集是.
【总结升华】
1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；
2. 当时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.
3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答.
举一反三：
【变式1】已知函数 解不等式f(x)＞3.
【答案】由题意知或
解得：x＞1.
故原不等式的解集为{x|x＞1}．
【变式2】（2018 重庆）函数的定义域是（ ）
A.[-3,1] B.(-3,1) C.(-∞，-3]∪[1.+ ∞) D. (-∞，-3)∪(1.+ ∞)
【答案】由题意得：，即
解得x>1或x<-3,
所以定义域为(-∞，-3)∪(1.+ ∞)，
故选D。
类型二：含字母系数的一元二次不等式的解法
例2．解下列关于x的不等式
（1）x2-2ax≤-a2+1；
（2）x2-ax+1>0；
（3）x2-(a+1)x+a<0；
【思路点拨】
解不等式时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；
【解析】
(1)
∴原不等式的解集为.
(2) Δ=a2-4
当Δ>0，即a>2或a<-2时，原不等式的解集为
当Δ=0，即a=2或-2时，原不等式的解集为.
当Δ<0，即-2（3）(x-1)(x-a)<0
当a>1时，原不等式的解集为{x|1 当a<1时，原不等式的解集为{x|a 当a=1时，原不等式的解集为.
【总结升华】对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：
①定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；
②求根：求相应方程的根.当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解；
③定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论.
举一反三：
【变式1】解关于x的不等式：
【答案】原不等式化为
①a=1或a=-1时，解集为(；
②当0③当a>1或 -1【变式2】解关于的不等式：（）
【答案】
当a＜0或a＞1时，解集为；
当a=0时，解集为；
当0＜a＜1时，解集为；
当a=1时，解集为；
【变式3】（2018春 房山区校级期中）解关于x的不等式56x2+ax－a2＜0。
【答案】
∵56x2+ax－a2＜0，∴(7x+a)(8x－a)＜0，即。
①当a=0时，，不等式化为x2＜0，解得x∈。
②当a＞0时，，不等式解集为。
当a＜0时，，不等式解集为
例3．解关于x的不等式：ax2－(a+1)x+1＜0.
【解析】若a=0，原不等式－x+1＜0x＞1；
若a＜0，原不等式或x＞1；
若a＞0，原不等式，
其解的情况应由与1的大小关系决定，故
（1）当a=1时，原不等式；
（2）当a＞1时，原不等式；
（3）当0＜a＜1时，原不等式
综上所述：
当a＜0，解集为；
当a=0时，解集为{x|x＞1}；
当0＜a＜1时，解集为；
当a=1时，解集为；
当a＞1时，解集为.
【总结升华】熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对最高项含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要“不重不漏”.
举一反三：
【变式1】解关于x的不等式：(ax-1)(x-2)≥0；
【答案】当a=0时，x∈(-(,2].
当a≠0时，方程(ax-1)(x-2)=0两根为
①当a>0时，
若， 即时，；
若， 即时，x∈R；
若， 即时，.
②当a<0时，则有：， ∴ .
【变式2】解关于x的不等式：ax2＋2x-1<0；
【答案】当a=0时，.
当a≠0时，Δ=4+4a=4(a+1)，
①a>0时，则Δ>0，.
②a<0时，
若a<0，△<0， 即a<-1时，x∈R；
若a<0，△=0， 即a=-1时，x∈R且x≠1；
若a<0，△>0， 即 -1【变式3】求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．
【答案】
当a＞0时，不等式的解集为；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a＜0时，不等式的解集为.
类型三：一元二次不等式的逆向运用
例4. 不等式的解集为，求关于的不等式的解集.
【思路点拨】
由二次不等式的解集为可知：4、5是方程的二根，故由韦达定理可求出、的值，从而解得.
【解析】由题意可知方程的两根为和
由韦达定理有，
∴，
∴化为，即
，解得，
故不等式的解集为.
【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键.
举一反三：
【变式1】（2018 浙江校级模拟）设关于x的不等式(ax-1)(x+1)<0(a∈R)的解集为{x|-1 A.-2 B.-1 C.0 D.1
【答案】∵关于x的不等式(ax-1)(x+1)<0(a∈R)的解集为{x|-1∴对应一元二次方程(ax-1)(x+1)=0的两个实数根为-1和1，
∴或x=-1,
即a的值是1，故选D。
【变式2】已知的解为,试求、,并解不等式.
【答案】由韦达定理有：，，∴,.
∴代入不等式得，
即，，解得，
故不等式的解集为：.
【变式3】已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集.
【答案】由韦达定理有：，解得, 代入不等式得
，即，解得或.
∴的解集为：.
类型四：不等式的恒成立问题
例5.已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，
求实数a的取值范围．
【思路点拨】
不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。
【解析】原不等式等价于(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0对一切实数恒成立，
显然a＝－2时，解集不是R，因此a≠－2，
从而有
整理，得
解得a＞2.
故a的取值范围是(2，＋∞)．
【总结升华】当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论.
举一反三：
【变式1】已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】
(1)当m2+4m-5=0时，m=1或m=-5
若m=1，则不等式化为3>0, 对一切实数x成立，符合题意.
若m=-5，则不等式为24x+3>0，不满足对一切实数x均成立，所以m=-5舍去.
(2)当m2+4m-5≠0即 m≠1且m≠-5时，
由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上，且与x轴无交点，
所以，
即， ∴ 1 综上所述，实数m的取值范围是{m|1≤m<19}.
【巩固练习】
一、选择题
1．（2018 榆林一模）集合A={x｜x2－2x≤0}，B={x｜y=lg(1－x)}，则A∩B等于（ ）
A．{x｜0＜x≤1} B．{x｜0≤x＜1} C．{x｜1＜x≤2} D．{x｜1≤x＜2}
2．下列不等式中，解集是R的是(　　)
A．x2＋4x＋4>0 B.
C. D．－x2＋2x－1>0
3.(2018 上海) 下列不等式中，与不等式解集相同的是（ ）
A. B.
C. D.
4．若0＜t＜1，则不等式的解集为(　　)
A. B.
C. D.
5．不等式x2－ax－b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，则bx2－ax－1＞0的解集是（ ）
A． B． C． D．
6.（2018 海南模拟）“已知关于x的不等式解集为（1,2），解关于x的不等式。”给出如下的一种解法：
解：由解集为（1,2），得，的解集为，
即关于x的不等式的解集为。
参考上述解法：若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式
的解集为（ ）
A.（-1,1） B.
C. D.
二、填空题
7．（2018 江苏）不等式的解集为________.
8．如果关于x的方程x2－(m－1)x+2－m=0的两根为正实数，则m的取值范围是________.
9. 函数的定义域是R，则实数a的取值范围为________．
10.若关于的不等式的解集为，则实数m等于 .
三、解答题
11.解下列不等式
(1)2x2＋7x＋3＞0；　　　(2)－x2＋8x－3＞0；
12. （2018秋 吉林校级期中）若不等式(1―a)x2―4x+6＞0的解集是{x｜－3＜x＜1}。
（1）解不等式2x2+(2―a)x―a＞0
（2）b为何值时，ax2+bx+3≥0的解集为R。
13. 解关于x的不等式m2x2＋2mx－3＜0(其中m∈R)．
14．已知，
(1)如果对一切x∈R，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)如果对x∈[-3，1]，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围.
15.解下列关于x的不等式 ；
【答案与解析】
1．【答案】　D
【解析】　9x2＋6x＋1＝(3x＋1)2≤0
∴，故选D.
2．【答案】　C
【解析】　∵x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，
∴A不正确；
∵，∴B不正确；
∵，∴(x∈R)，故C正确；
∵－x2＋2x－1>0
∴x2－2x＋1＝(x－1)2<0，
∴D不正确．
3.【答案】B
【解析】因为恒成立，
所以由不等式的性质可得。
故选:B.
4．【答案】　D
【解析】　∵0＜t＜1，∴，∴
∴.
5.【答案】C
【解析】由题意得，方程x2－ax－b=0的两根为x=2,x=3,由韦达定理得，，求得
，从而解得bx2－ax－1＞0的解集为
6. 【答案】B
【解析】根据题意，由的解集为，
得的解集为，
即的解集为。
故选B。
7.【答案】
【解析】由题意得：，解集为
8．【答案】
【解析】由题意得：
，解得
9. 【答案】　
【解析】　由已知f(x)的定义域是R.
所以不等式ax2＋3ax＋1＞0恒成立．
(1)当a＝0时，不等式等价于1＞0，显然恒成立；
(2)当a≠0时，则有.
由(1)(2)知，.
即所求a的取值范围是.
10.【答案】2
【解析】由题意，得1，m是关于x的方程的两根，则解得
（舍去）
11．【解析】　
(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，
所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，.
又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，
所以原不等式的解集为.
(2)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52＞0，
所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不等实根
，.
又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，
所以原不等式的解集为．
12.【解析】
（1）由题意知，1－a＜0，且―3和1是方程(1―a)2x―4x+6=0的两根，
∴，解得a=3。
∴不等式2x2+(2―a)x―a＞0即为2x2―x―3＞0，解得x＜－1或。
∴所求不等式的解集为{x｜x＜－1或}；
（2）ax2+bx+3≥0即为3x2+bx+3≥0，
若此不等式的解集为R，则b2－4×3×3≤0，∴－6≤b≤6。
13.【解析】　当m＝0时，原不等式可化为－3＜0，其对一切x∈R都成立，
所以原不等式的解集为R.
当m≠0时，m2＞0，
由m2x2＋2mx－3＜0，得(mx－1)(mx＋3)＜0，
即，
若m＞0，则，
所以原不等式的解集为；
若m＜0，则，
所以原不等式的解集为.
综上所述，当m＝0时，原不等式的解集为R；
当m＞0时，原不等式的解集为；
当m＜0时，原不等式的解集为.
14．【解析】
(1)由题意得：△=，即0(2)由x∈[－3，1]，f(x)>0得，有如下两种情况：
或
综上所述：.
15.【解析】
当a=0时，原不等式即为-(x+1)>0，解得x<-1；
当a≠0时，原不等式为关于x的一元二次不等式，
方程(ax-1)(x+1)=0有两个实数根和.
(Ⅰ)当，即，时，
函数的图象开口向下，与x轴有两个交点，其简图如下：
故不等式的解集为；
(Ⅱ)当，即时，
函数的图象开口向下，与x轴有一个交点，其简图如下：
故不等式的解集为空集；
(Ⅲ)当，即，或，
①若，函数的图象开口向下，与x轴有两个交点，其简图如下：
故不等式的解集为；
②若a>0，数的图象开口向上，与x轴有两个交点，其简图如下：
故不等的解集为；
综上所述，
当a<-1时，不等式的解集为；
当a=-1时，不等式的解集为空集；
当-1当a=0时，不等式的解集为；
当a>0时，不等式的解集为.