人教版高中数学必修5同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：24【提高】一元二次不等式

一元二次不等式及其解法
【学习目标】
1.掌握一元二次不等式的解法，体会数形结合的思想；
2.理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数之间的关系；
3.能利用一元二次不等式解决简单的实际问题.
【要点梳理】
要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：.一元二次不等式的一般形式：或.
设一元二次方程的两根为且，则不等式的解集为，不等式的解集为
要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证成立.
要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
二次函数
（）的图象
有两相异实根
有两相等实根
无实根
要点诠释：
（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；
（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集.
要点三、解一元二次不等式的步骤
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
（2）写出相应的方程，计算判别式：
①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；
②时，求根；
③时，方程无解
（3）根据不等式，写出解集.
用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的过程
要点诠释：
1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；
2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；
3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；
4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；
5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数.
【典型例题】
类型一：一元二次不等式的解法
例1. 解下列一元二次不等式
（1）； （2）； （3）
【思路点拨】转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.
【解析】
（1）方法一：
因为
所以方程的两个实数根为：，
函数的简图为：
/
因而不等式的解集是.
方法二： 或
解得 或 ，即或.
因而不等式的解集是.
（2）方法一：
因为，
方程的解为.
函数的简图为：
/
所以，原不等式的解集是
方法二：（当时，）
所以原不等式的解集是
（3）方法一：
原不等式整理得.
因为，方程无实数解，
函数的简图为：
/
所以不等式的解集是.
所以原不等式的解集是.
方法二：∵
∴原不等式的解集是.
【总结升华】
1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；
2. 当时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.
3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答.
举一反三：
【变式1】已知函数 解不等式f(x)＞3.
【答案】由题意知或
解得：x＞1.
故原不等式的解集为{x|x＞1}．
【变式2】解不等式：
【答案】原不等式可化为不等式组
，即，即，
解得
∴原不等式的解集为.
类型二：含字母系数的一元二次不等式的解法
例2．解关于x的不等式：ax2-x+1>0
【解析】若a=0，原不等式化为-x+1>0，解集为{x|x<1}；
若a≠0，原不等式为关于x的一元二次不等式.
方程的判别式△=1-4a
(Ⅰ)当△=1-4a<0，即时，方程没有实数根，
故函数的图象开口向上，与x轴没有交点，其简图如下：
/
所以，此时不等式的解集为实数集R；
(Ⅱ)当△=1-4a=0，即时，方程有两个相等实数根x=2，
故函数的图象开口向上，与x轴有唯一交点(2，0)，其简图如下：
/
所以，此时不等式的解集为；
(Ⅲ)当△=1-4a>0，即时，方程有两个不等实数根
，，
①当时，函数的图象开口向上，
与x轴有两个不同的交点，且，其简图如下：
/
所以，此时不等式的解集为；
②当a<0时，函数的图象开口向下，
与x轴有两个不同的交点，且，其简图如下：
/
所以，此时不等式的解集为；
综上所述：
a<0时，原不等式解集为；
a=0时，原不等式解集为；
时，原不等式解集为；
时，原不等式解集为；
时，原不等式解集为实数集R.
【总结升华】对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：
①定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；
②求根：求相应方程的根.当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解；
③定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论.
举一反三：
【变式1】（2018 天津校级模拟）已知2a+1<0，关于x的不等式的解集是（ ）
A.{x|x>5a或x<-a} B.{x|-aC. {x|x<5a或x>-a} D.{x|5a 【答案】不等式可化为
(x-5a)(x+a)>0;
∵方程(x-5a)(x+a)的两根为

且2a+1<0,∴a<-,
∴ 5a<-a
∴原不等式的解集为{x|x<5a或x>-a}。
故选C.
【变式2】求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．
【答案】
当a＞0时，不等式的解集为；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a＜0时，不等式的解集为.
【变式3】（2018秋 太原校级期中）已知集合A={x｜x2―2ax―8a2≤0}。
（1）当a=1时，求集合；
（2）若a＞0，且，求实数a的取值范围。
【答案】（1）当a=1时，x2―2ax―8a2≤0化为x2―2x―8≤0，
解得：－2≤x≤4。
∴A={x｜－2≤x≤4}。
；
（2）由x2―2ax―8a2≤0，且a＞0，得－2a≤x≤4a。
∴A={x｜－2a≤x≤4a}。
由，得
，解得。
∴实数a的取值范围是。
例3．解关于x的不等式：ax2－(a+1)x+1＜0.
【思路点拨】
解不等式时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；
【解析】若a=0，原不等式－x+1＜0x＞1；
若a＜0，原不等式或x＞1；
若a＞0，原不等式，
其解的情况应由与1的大小关系决定，故
（1）当a=1时，原不等式；
（2）当a＞1时，原不等式；
（3）当0＜a＜1时，原不等式
综上所述：
当a＜0，解集为；
当a=0时，解集为{x|x＞1}；
当0＜a＜1时，解集为；
当a=1时，解集为；
当a＞1时，解集为.
【总结升华】熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对最高项含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要“不重不漏”.
举一反三：
【变式1】解关于x的不等式：(ax-1)(x-2)≥0；
【答案】当a=0时，x∈(-(,2].
当a≠0时，方程(ax-1)(x-2)=0两根为
①当a>0时，
若， 即时，；
若， 即时，x∈R；
若， 即时，.
②当a<0时，则有：， ∴ .
【变式2】解关于x的不等式：ax2＋2x-1<0；
【答案】当a=0时，.
当a≠0时，Δ=4+4a=4(a+1)，
①a>0时，则Δ>0，.
②a<0时，
若a<0，△<0， 即a<-1时，x∈R；
若a<0，△=0， 即a=-1时，x∈R且x≠1；
若a<0，△>0， 即 -1类型三：一元二次不等式的逆向运用
例4. 不等式的解集为，求关于的不等式的解集.
【思路点拨】
由二次不等式的解集为可知：4、5是方程的二根，故由韦达定理可求出、的值，从而解得.
【解析】由题意可知方程的两根为和
由韦达定理有，
∴，
∴化为，即
，解得，
故不等式的解集为.
【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键.
举一反三：
【变式1】（2018 浙江校级模拟）设关于x的不等式(ax-1)(x+1)<0(a∈R)的解集为{x|-1 A.-2 B.-1 C.0 D.1
【答案】∵关于x的不等式(ax-1)(x+1)<0(a∈R)的解集为{x|-1∴对应一元二次方程(ax-1)(x+1)=0的两个实数根为-1和1，
∴或x=-1,
即a的值是1，故选D。
【变式2】已知的解为,试求、,并解不等式.
【答案】由韦达定理有：，，∴,.
∴代入不等式得，
即，，解得，
故不等式的解集为：.
【变式3】已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集.
【答案】由韦达定理有：，解得,
代入不等式得
，即，解得或.
∴的解集为：.
类型四：不等式的恒成立问题
例5．已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.
【思路点拨】
不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。
【解析】
(1)当m2+4m-5=0时，m=1或m=-5
若m=1，则不等式化为3>0, 对一切实数x成立，符合题意.
若m=-5，则不等式为24x+3>0，不满足对一切实数x均成立，所以m=-5舍去.
(2)当m2+4m-5≠0即 m≠1且m≠-5时，
由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上，且与x轴无交点，
所以，
即， ∴ 1 综上所述，实数m的取值范围是{m|1≤m<19}.
【总结升华】情况(1)是容易忽略的，所以当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论.
举一反三：
【变式1】 若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围.
【答案】关于的不等式的解集为空集
即的解集为R
当时，原不等式为：，即，不符合题意，舍去.
当时，原不等式为一元二次不等式，只需且，
即，解得，
综上，的取值范围为：.
【变式2】已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，
求实数a的取值范围．
【答案】原不等式等价于(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0对一切实数恒成立，
显然a＝－2时，解集不是R，因此a≠－2，
从而有
整理，得
解得a＞2.
故a的取值范围是(2，＋∞)．
【巩固练习】
一、选择题
1．（2018 四川模拟）若不等式x2+ax+b＜0的解集为（―1，2），则ab的值为（ ）
A．―1 B．1 C．―2 D．2
2．若0＜t＜1，则不等式的解集为(　　)
A. B.
C. D.
3．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集是(　　)
A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C. D.
4．在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)＜1对任意实数x恒成立，则(　　)
A．－1＜a＜1 B．0＜a＜2
C． D．
5．不等式x2－ax－b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，则bx2－ax－1＞0的解集是（ ）
A． B． C． D．
6.（2018 天津校级模拟）设0A. -1二、填空题
7．若函数是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x＞0，y＞0都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，则不等式f(x＋6)＋f(x)＜2f(4)的解集为________．
8．如果关于x的方程x2－(m－1)x+2－m=0的两根为正实数，则m的取值范围是________.
9.（2018 杭州校级模拟）正实数x，y满足：，则x2+y2－10xy的最小值为________。
10. 已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是　　．
三、解答题
11.解下列不等式
(1)2x2＋7x＋3＞0；　　　(2)－x2＋8x－3＞0；
12. 不等式mx2+1＞mx 的解集为实数集R，求实数m的取值范围．
13. 解关于x的不等式m2x2＋2mx－3＜0(其中m∈R)．
14．已知，
(1)如果对一切x∈R，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围；
(2)如果对x∈[-3，1]，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围.
15. 已知a为实数，A为不等式x2－(2a＋1)x＋(a＋2)(a－1)≥0的解集，B为不等式x2－a(a＋1)x＋a3＜0的解集．
(1)用区间表示A和B；
(2)是否存在实数a，使A∪B＝R？并证明你的结论．
16. (2018 辽宁)设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1．记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N．
(Ⅰ)求M；
(Ⅱ)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤．
【答案与解析】
1.【答案】D
【解析】不等式x2+ax+b＜0的解集为（―1，2），
所以方程x2+ax+b=0的实数根为―1和2，
所以，解得a=―1，b=―2，
所以ab=―1×(－2)=2。
故选D。
2．【答案】　D
【解析】　∵0＜t＜1，∴，∴
∴.
3. 【答案】　A
【解析】　由题意知，是ax2－bx－1＝0的两实根，
∴.解得.
∴x2－bx－a＜0?x2－5x＋6＜0?2＜x＜3.
4. 【答案】　C
【解析】　因为(x－a)?(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，又不等式(x－a)?(x＋a)＜1对任意实数x恒成立，所以(x－a)(1－x－a)＜1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1＞0对任意实数x恒成立，所以Δ＝(－1)2－4(－a2＋a＋1)＜0，解得，故选C.
5.【答案】C
【解析】由题意得，方程x2－ax－b=0的两根为x=2,x=3,由韦达定理得，，求得
，从而解得bx2－ax－1＞0的解集为
6. 【答案】C
【解析】关于x的不等式，即，∵0[(a+1)x-b][(a-1)x+b]<0的解集中的整数恰有3个，所以a>1,
∴不等式的解集为，所以解集里的整数是-2，-1,0三个。
∴
∴
∵b<1+a, ∴2a-2<1+a, ∴a<3,
综上,17．【答案】　{x|0＜x＜2}
【解析】　由已知得f(x＋6)＋f(x)＝f[x(x＋6)]，
2f(4)＝f(4)＋f(4)＝f(4×4)＝f(16)，
∴原不等式等价于.
8．【答案】
【解析】由题意得：
，解得
9. 【答案】　―36
【解析】由得x+y=xy，
平方得x2+y2+2xy=(xy)2，
即x2+y2=―2xy+(xy)2，
则x2+y2―10xy=(xy)2―2xy―10xy=(xy)2―12xy=(xy―6)2―36，
当xy=6时，有最小值，即最小值为―36，
故答案为：―36。
10. 【答案】
【解析】∵a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，
∴b＋c＝－a，b2＋c2＝1－a2，
∴bc?(2bc)
[(b＋c)2－(b2＋c2)]
＝a2
∴b、c是方程：x2＋ax＋a2＝0的两个实数根，
∴△≥0
∴a2－4(a2)≥0，即a2≤
∴，即a的最大值为
故答案为：．
11．【解析】　
(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，
所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，.
又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，
所以原不等式的解集为.
(2)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52＞0，
所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不等实根
，.
又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，
所以原不等式的解集为．
12.【答案】{m|0≤m<4}
【解析】
当m＝0时，不等式即为1＞0，满足条件．
当m≠0时，若不等式的解集为R，则应有， 解得0＜m＜4．
综上，m的取值范围是{m|0≤m<4}.
13.【解析】　当m＝0时，原不等式可化为－3＜0，其对一切x∈R都成立，
所以原不等式的解集为R.
当m≠0时，m2＞0，
由m2x2＋2mx－3＜0，得(mx－1)(mx＋3)＜0，
即，
若m＞0，则，
所以原不等式的解集为；
若m＜0，则，
所以原不等式的解集为.
综上所述，当m＝0时，原不等式的解集为R；
当m＞0时，原不等式的解集为；
当m＜0时，原不等式的解集为.
14．【解析】
(1)由题意得：△=，即0(2)由x∈[-3，1]，f(x)>0得，有如下两种情况：
或
综上所述：.
15. 【解析】　不等式x2－(2a＋1)x＋(a＋2)(a－1)≥0可以转化为[x－(a＋2)][x－(a－1)]≥0，不等式x2－a(a＋1)x＋a3＜0可以转化为(x－a)(x－a2)＜0.
(1)因为对任意实数a都有a－1＜a＋2，
所以A＝(－∞，a－1]∪[a＋2，＋∞)．
当a2≥a，即a≥1或a≤0时，B＝(a，a2)；
当a2＜a，即0＜a＜1时，B＝(a2，a)．
(2)要使A∪B＝R，则
当a≥1或a≤0时，需，该不等式组无解；
当0＜a＜1时，需，该不等式组无解．
所以不存在实数a，使得A∪B＝R.
16. 【解析】(Ⅰ)由f(x)＝2|x－1|＋x－1≤1 可得 ①，或 ②．
解①求得1≤x≤，解②求得 0≤x＜1．
综上，原不等式的解集为[0，]．
(Ⅱ)由g(x)＝16x2－8x＋1≤4，求得－≤x≤，∴N＝[－，]，∴M∩N＝[0，]．
∵当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，x2f(x)＋x[f(x)]2 ＝xf(x)[x＋f(x)]
＝－≤，
故要证的不等式成立．