人教版高中数学必修5同步练习题、期中、期末复习资料、补习资料：30【提高】基本不等式

基本不等式
【学习目标】
1. 理解基本不等式的内容及其证明.
2. 能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小求取值范围等问题.
【要点梳理】
要点一：基本不等式
1.对公式及的理解.
（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.
2.由公式和可以引申出常用的常用结论
①（同号）；
②（异号）；
③或
要点诠释： 可以变形为：，可以变形为：.
要点二：基本不等式的证明
方法一：几何面积法
如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.
设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.
得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）
特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：
如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）
方法二：代数法
∵，
当时，；
当时，.
所以，（当且仅当时取等号“=”）.
要点诠释：
特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：
如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.
通常我们把上式写作：
如果，,，（当且仅当时取等号“=”）.
要点三：基本不等式的几何意义
如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.
易证，那么，即.
这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.
要点诠释：
1.在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2.如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
要点四：用基本不等式求最大（小）值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.
要点诠释：
1．两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.如是成立的，而是不成立的.
2．两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解.
当a=b取等号，其含义是；
仅当a=b取等号，其含义是.
综合上述两条，a=b是的充要条件.
3．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.
4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：
①各项都是正数；
②和（或积）为定值；
③各项能取得相等的值.
5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：
①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
③在定义域内，求出函数的最大或最小值；
④写出正确答案.
【典型例题】
类型一：对公式及的理解
例1. ，，给出下列推导，其中正确的有 .
（1）的最小值为；
（2）的最小值为；
（3）的最小值为.
【思路点拨】
利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵，，∴（当且仅当时取等号）.
（2）∵，，∴（当且仅当时取等号）.
（3）∵，∴，
（当且仅当即时取等号）
∵，与矛盾，∴上式不能取等号，即
【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一“正”二“定”三“取等”，缺一不可.
举一反三：
【变式1】下列结论正确的是(　　)
A．当x>0且x≠1时，
B．当x>0时，
C．当x≥2时，的最小值为2
D．当0【答案】　B
【变式2】（2018 上海模拟）已知函数，（a＞0），x∈（0，b），则下列判断正确的是（ ）
A．当时，f（x）的最小值为
B．当时，f（x）的最小值为
C．当时，f（x）的最小值为
D．对任意的b＞0，f（x）的最小值均为
【答案】∵，
∴当时，，
当且仅当，即时取等号；
当，y=f（x）在（0，b）上单调递减，
∴，故f（x）不存在最小值；
故选A。
类型二：利用基本不等式证明不等式
例2. 已知、、都是正数，求证：
【思路点拨】要把基本不等式和不等式左右两边的结构形式一起来考虑。
【解析】∵、、都是正数
∴ （当且仅当时，取等号）
（当且仅当时，取等号）
（当且仅当时，取等号）
∴（当且仅当时，取等号）
即.
【总结升华】
1. 在运用时，注意条件、均为正数，结合不等式的性质，进行变形.
2. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号.
3. 在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.
举一反三：
【变式】已知、都是正数，求证：.
【答案】∵、都是正数，∴，，，，，
（当且仅当时，取等号）
（当且仅当时，取等号）
（当且仅当时，取等号）
∴
（当且仅当时，取等号）
即.
例3.已知，求证:
【思路点拨】
对于“和”式求最小值时，要设法配凑得“积”为定值，常采用“配分母”的办法.
【解析】
（当且仅当即,等号成立）.
【总结升华】注意凑出条件，再利用基本不等式证明.
举一反三：
【变式1】已知、都是正数，求证：.
【答案】∵、都是正数 ，∴，，
∴（当且仅当即时,等号成立）
故.
【变式2】已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：.
【答案】证明：　∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴，
，
.
∴.
类型三：利用基本不等式求最值
例4. 求函数()的最小值.
【思路点拨】
本题采用“配分母”的办法，所以整式部分一定应为（x-5）的倍数.
【解析】∵，∴
∴
（当且仅当即时，取等号）
故当时，函数()的最小值为32.
【总结升华】
1. 形如（，，）的函数的最值可以用基本不等式求最值；
2. 利用基本不等式求最值时,应注意“一正”，“二定”，“三相等”的条件.
举一反三：
【变式1】已知，当取什么值时，函数的值最小？最小值是多少？
【答案】∵，∴，∴
（当且仅当即时，取等号）
故当时，的值最小为18.
【变式2】已知，求的最大值.
【答案】∵，∴，
∴（当且仅当，即时，等号成立）
∴（当且仅当，即时，等号成立）
故当时，的最大值为4.
例5. 已知x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值.
【思路点拨】
要求的最小值，根据基本不等式，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请认真体会.
【解析】
方法一：∵，∴
∵x＞0，y＞0，∴
（当且仅当，即y=3x时，取等号）
又，∴x=4，y=12
∴当x=4，y=12时，x+y取最小值16.
方法二：由，得
∵x＞0，y＞0，∴y＞9
∵y＞9，∴y－9＞0，
∴
（当且仅当，即y=12时，取等号，此时x=4）
∴当x=4，y=12时，x+y取最小值16.
【总结升华】方法一是求条件最值时常用的方法，方法二用了消元的方式化为函数的最值来求.
举一反三：
【变式1】已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则的最小值为________；
【答案】
【变式2】(2018 福建文)若直线过点(1，1)，则a+b的最小值等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】 由已知得，
则，
因为a＞0，b＞0，所以
因为a＞0，b＞0，所以
故a+b≥4，当，即a=b=2时取等号．
例6.已知，
（1）若,求的最小值；
（2）若,求的最大值.
【解析】（1）
方法一：∵且,
∴，即（当且仅当时取等号）
∴，的最小值为4.
方法二：∵且,
∴，即（当且仅当时取等号）
∴，的最小值为4.
（2）
方法一：∵，∴，即（当且仅当时取等号）
∴，的最大值为4.
方法二：∵，∴，（当且仅当时取等号）
∴，的最大值为4.
方法三：∵，，
∴（当且仅当时取等号）
∴，的最大值为4.
【总结升华】
1. 两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若，且，为定值，则，等号当且仅当时成立.
2. 两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若，且，为定值，则，等号当且仅当时成立.
举一反三：
【变式1】已知，，，求的最小值.
【答案】∵，，，
∴由（等号当且仅当时成立）
故当时，的最小值为6.
【变式2】已知，，，求的最大值.
【答案】
解法一：∵，，，
∴
（当且仅当即时，等号成立）
故当时，的最大值为16.
解法二：∵，，，
即，可得，（当且仅当时，等号成立）
故当时，的最大值为16.
类型四：利用基本不等式解应用题
例7. 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为、(单位：)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积为. 问、分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?
【解析】由题意可得，
∴.
于是，框架用料长度为
.
当，即时等号成立.
此时，，.
故当约为2.343 m，约为2.828 m时用料最省.
【总结升华】
用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
举一反三：
【变式1】如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四周，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
【解析】　
(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
由于，
∴，得，
即，当且仅当2x＝3y时等号成立．
由，解得
故每间虎笼长为4.5 m、宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
(2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.
∵，
∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，
当且仅当2x＝3y时等号成立．
由，解得.
故每间虎笼长为6 m、宽为4 m时，可使钢筋网总长最小．
【变式2】(2018 湖北)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长(单位：米)的值有关，其公式为F＝．
(Ⅰ)如果不限定车型，＝6.05，则最大车流量为　　辆/小时；
(Ⅱ)如果限定车型，＝5，则最大车流量比(Ⅰ)中的最大车流量增加　　辆/小时．
【答案】(Ⅰ)F＝，
∵v＋≥2＝22，当v＝11时取最小值，
∴，
故最大车流量为：1900辆/小时；
(Ⅱ)F＝＝＝，
∵v＋≥2＝20，
∴F≤2000，
2000－1900＝100(辆/小时)
故最大车流量比(Ⅰ)中的最大车流量增加100辆/小时．
【巩固练习】
选择题
1. 下列结论正确的是(　　)
A．当x>0且x≠1时， B．当x>0时，
C．当x≥2时，的最小值为2 D．当02.若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的个数为(　　)
①ab≤1；②；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤.
A．1　　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
3. 若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是(　　)
A．6＋2 B． 7＋2 C． 6＋4 D． 7＋4
4．若-4A．最小值1 B.最大值1 C.最小值-1 D.最大值-1
5. 利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的关系可近似地表示为，则每吨的成本最低时的年产量为(　　)
A．240 B．200
C．180 D. 160
6．已知x，y满足约束条件，当目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)在该约束条件下取到最小值时，a2＋b2的最小值为(　　)
A． 5 B． 4 C． D． 2
填空题
7．已知x，y∈R＋，且满足，则xy的最大值为________．
8. （2018 河北区二模）设x，y是正实数，且x+y=1，则的最小值是________ ．
9. 已知x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________．
10. 若对任意x＞0，恒成立，则a的取值范围是________．
11. 有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如下图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计)．
解答题
12. 若，则为何值时有最小值，最小值为几？
13. 已知a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝1，求证：.
14. 若a＞0，b＞0，且+＝．
(Ⅰ)求a3+b3的最小值；
(Ⅱ)是否存在a，b，使得2a+3b＝6？并说明理由．
15. （2018 衡阳二模）已知a∈（0，+∞），b∈（0，+∞），a+b=2。
（1）求的最小值；
（2）若对，恒成立，求实数x的取值范围。
16. 某加工厂需定期购买原材料，已知每千克原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每千克原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400千克，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管)．
(1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式；
(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最小，并求出这个最小值．
【答案与解析】
1．【答案】　B
【解析】　
A中，当x>0且x≠1时，lg x的正负不确定，
∴或；
C中，当x≥2时，；
D中，当02. 【答案】　C
【解析】　因，所以①正确；
因，
所以，故②不正确；
因，所以③正确；
因a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝2[(a＋b)2－3ab]＝2(4－3ab)＝8－6ab≥8－6＝2，所以④不正确；
因，所以⑤正确．
故正确的命题为①③⑤.
3．【答案】D
【解析】由，得3a＋4b＝ab，则，所以，当，即时等号成立。
4．【答案】D
【解析】
5. 【答案】B
【解析】依题意得每吨的成本是，则 ，当且仅当 ，即x＝200时取等号，因此当每吨的成本最低时，相应的年产量是200吨，选B.
6．【答案】　B
【解析】由约束条件作可行域如图，
联立，解得：A(2，1)．
化目标函数为直线方程得：．
由图可知，当直线过A点时，直线在y轴上的截距最小，z最小．
∴，即．
则a2＋b2的最小值为．
故选：B．
7．【答案】　3
【解析】　由为定值知
.
∴当且仅当时xy有最大值3.
8．【答案】
【解析】设x=2=s，y+1=t，则s+t=x+y+3=4，
。
因为
所以。
故答案为。
9. 【答案】
【解析】，当且仅当时取等号．
10. 答案:
【解析】　
又
∴
∴
11. 【答案】2500 m2
【解析】设所围场地的长为x，则宽为，其中012. 【解析】∵, ∴,
∴
当且仅当即时，原式有最小值1.
13.【解析】 证明：∵a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝1，∴，
， .
∴
＝3＋2＋2＋2＝9，
当且仅当a＝b＝c时取等号．
∴.
14.【解析】
(Ⅰ)∵a＞0，b＞0，且+＝，
∴＝+≥2，
∴ab≥2，
当且仅当a＝b＝时取等号．
∵a3+b3 ≥2≥2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号，
∴a3+b3的最小值为4．
(Ⅱ)由(1)可知，2a+3b≥2＝2≥4＞6，
故不存在a，b，使得2a+3b＝6成立．
15. 【解析】
（1）∵a∈（0，+∞），b∈（0，+∞），a+b=2，
∴，
∴，此时。
（2）∵对恒成立，
∴或或
或或，
，∴。
16. 【解析】
(1)每次购买原材料后，当天用掉的400千克原材料不需要保管费，第二天用掉的400千克原材料需保管1天，第三天用掉的400千克原材料需保管2天，第四天用掉的400千克原材料需保管3天，…，第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400千克原材料需保管(x－1)天．
∴每次购买的原材料在x天内总的保管费用为y1＝400×0.03×[1＋2＋3＋…＋(x－1)]＝(6x2－6x)(元)．
(2)由(1)可知，购买一次原材料的总费用为6x2－6x＋600＋1.5×400x元，
∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为.
∴，
当且仅当，即x＝10时，取等号．
∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y最小，为714元．