课件21张PPT。11.2 实 数实数及其性质无理数
实数及其分类
实数的性质（1）用计算器求 ；
（2）利用平方运算验算（1）中所得的结果.
用计算器求 ，显示结果为1.414 213 562.再用计
算器计算1.414 213 562的平方，结果是1.999 999 999,
并不是2.这说明计算器求得的只是 的近似值.
用计算机计算 ，你可能会大吃一惊：
做一做1知识点无理数 在数学上已经证明，没有一个有理数的平方等于2,
也就是说， 不是一个有理数.
那么， 是怎样的数呢？
我们知道，有理数包括整数和分数，而任何一个分数
写成小数的形式，必定是有限小数或者无限循环小数，
例如：
= 0.25, = 0.666 666 666…， = 0. 142 857 142 857 142 857….
不是一个有理数，实际上，它是一个无
限不循环小数.
类似地， 、圆周率π等也都不是有理数，它
们都是无限不循环小数.1. 定义：无限不循环小数叫做无理数．
判断标准：小数位数无限，小数形式为不循环．
2．三种常见形式：
开方开不尽的数，如： ， ，…；
含有π的一类数： π， π，π＋1，…；
类似0.101 001 000 1…(每两个1之间依次多1个0)
这样的无限不循环小数．3．无理数与有理数中小数的区别：
有理数中小数是有限小数和无限循环小数，而
无理数是无限不循环小数；
(2) 所有的有理数中小数都可以写成分数的形式，
而无理数不能写成分数的形式 例1 下列各数：3.141 59， 0.131 131 113…(每相邻
两个3之间依次多1个1)，－π， ， 中，无理数
有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
导引：因为3.141 59是有限小数，所以3.141 59是有理数．因为
＝－2，所以 是有理数．因为 ＝5，所以
是有理数．因为 是分数，所以 是有理数．
因为 0.131 131 113…，－π都是无限不循环小数，所以
0.131 131 113…，－π是无理数，故选B.B总 结对有理数和无理数进行区分时，应先对某些数
进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类，
不能仅看到用根号表示的数就认为是无理数．
(2) π是无理数，化简后含π的数也是无理数．1 (中考·黔西南州)下列各数是无理数的是( )
A. B． C．π D．－1下列说法正确的是( )
A．无理数包括正无理数、0和负无理数
B．无理数是用根号形式表示的数
C．无理数是开方开不尽的数
D．无理数是无限不循环小数2知识点实数及其分类1. 实数的概念：有理数和无理数统称实数．
2．实数的分类：
(1) 按定义分类：
实
数无理数有理数整数分数正无理数负无理数正整数0负整数正分数负分数有限小数或
无限循环小数无限不循环小数（2）按性质分类：实
数负实数正实数正有理数正无理数负有理数负无理数0 例2 把下列各数填入相应的集合内：
3.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)．
有理数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
分数集合：{ …}；
正实数集合：{ …}；
负实数集合：{ …}．
导引：这根据有理数、无理数等的概念进行分类，应注意先把
一些数进行化简再进行判断，如解： 有理数集合：{ …}；
无理数集合：{
(相邻两个1之间0的个数逐次加1) …}；
整数集合：{ …}；
分数集合：{ …}；
正实数集合：{ 3.101 001 000 1…(相邻两个1
之间0的个数逐次加1) …}；
负实数集合：{ …}．总 结 至今我们所学的数不是有理数就是无理数，
因此可先把题目中所列各数分成这两类，再从
有理数中去找整数及分数，这样可分散难点，
逐个突破，同时可避免重复或遗漏数．(中考·扬州)实数0是( )
A．有理数 B．无理数
C．正数 D．负数把下列各数填入相应的大括号内：
0.101 001 000 1…
(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，
有理数： { …}；
无理数：{ …}；
正实数：{ …}；
实数：{ …}.
3知识点实数的性质例3 已知0＜x＜1，则x ， 的大小关系为( )
A． B．
C． D.
导引： 本题可以用特殊值法求解．
例如取
从而可以比较其大小，C 当题目中直接比较大小较困难时，我们可
以采用特殊值法．所取特殊值必须符合两个条
件：
(1)在字母取值范围内；
(2)求值计算简单．而求实数的相反数、倒数、
绝对值的方法与求有理数的相反数、倒数、
绝对值的方法是一样的．总 结1 的( )
A．相反数 B．倒数
C．负平方根 D．绝对值在实数范围内，下列判断正确的是( )
A．若|x|＝|y|，则x＝y
B．若x＞y，则x2＞y2
C．若|x|＝( )2，则x＝y
D．若 ，则x＝y
1. 无理数的定义及常见形式
2. 实数的分类 课件27张PPT。11.2 实 数实数与数轴及实数运算实数与数轴上的点的关系
实数的性质
实数的大小比较
实数的运算1知识点实数与数轴上的点的关系 按照计算器显示的结果，你能想象出 在数轴
上的大致位置吗？实数与数轴间的关系：
实数与数轴上的点是一一对应的．
它包含着两层含义：
(1)每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；
(2)数轴上的每一个点都表示一个实数．例1 点A在数轴上表示的数为 ，点B在数轴
上表示的数为－5，则A，B两点之间的距离
为________．
导引：根据数轴上两点间的距离等于右边的点表示的
数减去左边的点表示的数，列式计算即可得
解．总 结 数轴上两点间距离的求法：数轴上两点间的距
离等于这两点表示的数之差的绝对值．(中考·金华)如图，数轴上的A，B，C，D四点中，
与表示数 的点最接近的是( )
?
A．点A B．点B C．点C D．点D在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，
A，B两点对应的实数分别是 和－1，则点C所
对应的实数是( )
A．1＋ B．2＋
C．2 －1 D．2 ＋12知识点实数的性质1 . 在有理数范围内的一些基本概念(如相反数、倒
数绝对值)在实数范围内依然适用．
（1）相反数：实数a的相反数为－a，若a，b互
为相反数，则a＋b＝0；
（2）非零实数a的倒数为 ，若a，b互为倒数，
则ab＝1；
（3）绝对值：|a|＝ 2．正实数大于0，负实数小于0；正实数大于一切
负实数；两个负数比较大小，绝对值大的反而
小． 例2 实数a在数轴上对应的点的位置如图11.2--2，
化简：|a－π|＋| －a|.
导引：根据数轴判断a，π， 的符号及大小，
再判断a－π与 －a的符号，最后根据绝对
值的性质化简．解： 由图可知 ＜a＜π，
所以a－π＜0， －a＜0.
所以|a－π|＋| －a|＝π－a＋a－ ＝π－ .总 结 在利用绝对值的性质进行实数的化简时，
首先要判断绝对值内实数的正负，再根据“正
数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相
反数”进行化简． (中考·临沂) 的相反数是( )
A． B.
C. D．22 的( )
A．相反数 B．倒数
C．负平方根 D．绝对值3知识点实数的大小比较 例3 试比计较 与π的大小.
解： 用计算器求得
≈3.146 264 37，
而 π≈3.141 592 654，
因此 ＞π 例4 已实已知0＜x＜1，则x， ，x2， 的大小关系
为( )
A．x＜ ＜x2＜ B．x＜x2＜ ＜
C．x2＜x＜ ＜ D. ＜x2＜x＜
导引： 本题可以用特殊值法求解．
例如取
从而可以比较其大小，C总 结 当题目中直接比较大小较困难时，我们可
以采用特殊值法．所取特殊值必须符合两个条
件：
(1) 在字母取值范围内；
(2) 求值计算简单．而求实数的相反数、倒数、
绝对值的方法与求有理数的相反数、倒数、
绝对值的方法是一样的． 三个实数 之间的大小关系是( )
A．－0.2＜ ＜1－
B．－0.2＞ ＞1－
C．－0.2＞1－ ＞
D．1－ ＞－0.2＞2 (中考·枣庄)实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是( )?
A．ac>bc B．|a－b|＝a－b
C．－a<－b－b－c
4知识点实数的运算在实数范围内，进行加、减、乘、除、乘方和开方运
算时，有理数的运算法则和运算律仍然适用；实数混
合运算的运算顺序与有理数的混合运算顺序一样，先
算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按
照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里面的．
2．有理数的运算律在实数范围内仍然适用，在进行实数
运算的过程中，要做到：
一“看”——看算式的结构特点，能否运用运算律或
公式；
二“用”——运用运算律或公式；
三“查”——检查过程和结果是否正确．
学法指南：实数的运算律
加法交换律：a＋b＝b＋a；
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
乘法交换律：ab＝ba；
乘法结合律：(ab)c＝a(bc)；
乘法分配律：(a＋b)c＝ac＋bc. 例4 计算： （精确到0.01）
解：
于是 例5 〈山东枣庄〉估计 ＋1的值在( )
A．2到3之间 B．3到4之间
C．4到5之间 D．5到6之间
导引：首先要确定 的取值范围，再估算 ＋1的
取值范围．因为4＜6＜9，所以 ，
即2＜ ＜3，所以3＜ ＋1＜4. B有一个数值转换器，原理如图所示．当输入的x为
－512时，输出的y是( )
A．－2 B．－ C． D．表示实数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )
A．a＋b>0 B．a－b>0
C．ab>0 D. >0
实数运算时要先确定运算符号及顺序，再进行运
算，运算过程中要熟练运用运算律及各种运算法则，
掌握一定的运算技巧，同时要明确除开偶次方外，其
他各种运算在实数范围内都能实施，且运算结果是唯
一的；开偶次方只有在非负实数范围内才能实施，且
正数的偶次方根有两个.
