11.1.1平方根
【教学目标】
知识与与技能
理解一个数的平方根的意义；会用根号表示一个数的平方根
过程与方法
通过训练，提高学生对概念的明辨能力；通过学习平方根，认识数学与生活的密切关系.
情感、态度与价值观
通过学习乘方和开方运算是互为逆运算，体验各事物间的对立统一的辩证关系，激发学生探索数学奥秘的兴趣.
【重点难点】
重点
平方根的概念及求法．
难点
平方根与一个数的平方的联系与区别．
【学前准备】学生剪出面积为25cm2的正方形纸片.
【教学过程】
一、创设情境，导入新课
1．要剪出一块面积为25cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？
2．如果一个数的平方等于100，那么这个数是多少？
3．一只容积为0.125立方米的正方体容器，它的棱长应为多少？
这些问题的共同特点：已知乘方的结果，求底数的值，如何解决这些问题呢？这就是本节内容所要学习的．下面作一个小练习：填空：
1．( )2=9； 2．( )2 =0.25； 3．( )2=0.0081．
学生在完成此练习时，最容易出现的错误是丢掉负数解，在教学时应注意纠正．
由练习引出平方根的概念．
二、师生互动，探究新知
1.平方根概念
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根(二次方根)．
用数学语言表达即为：若x2=a，则x叫做a的平方根．
由练习知： 是9的平方根； 是0.25的平方根； 的平方根是0.
由此我们看到+3与-3均为9的平方根，0的平方根是0，下面看这样一道题，填空：( )2=-4.
学生思考后，得到结论此题无答案．反问学生为什么？因为正数、0、负数的平方为非负数．由此我们可以得到结论:负数是没有平方根的．下面总结一下平方根的性质(可由学生总结，教师整理)．
2.平方根性质
（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
（2）0有一个平方根，它是0本身．
（3）负数没有平方根．
3.开平方
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方运算．
由练习我们看到+3与-3的平方是9，9的平方根是+3和-3，可见平方运算与开平方运算互为逆运算．根据这种关系，我们可以通过平方运算来求一个数的平方根．与其他运算法则不同之处在于只能对非负数进行运算，而且正数的运算结果是两个.
4.平方根的表示方法
一个正数a的正的平方根，用符号“”表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，正数a的负的平方根用符号“ ”表示，a的平方根合起来记作 ，其中“” 读作“二次根号下a”．根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a的平方根也可记作“ ”读作“正、负根号a”.
5.例题探索
例1、求100的平方根.
(分析：根据定义，考虑（ ）2=100)
例2、将下列各数开平方：
(1)49；(2)1.69.
（剖题：就是求这些数的平方根）
三、随堂练习,巩固新知
1、求下列各数的平方根：
64；0.25；；0.0196；5（注：设计“5”主要是为了让学生明确平方根的表示，同时也为用计算器求平方根打下伏笔）.
2、下列说法正确吗？为什么？如果不正确，那么请你写出正确答案.
（1）0.09的平方根是0.3；
（2）.
四、课堂小结
1、本课主要学习了哪两个重要概念，它们有何区别与联系？
2、求一个数的平方根，方法是什么？
五、作业设计
1、361的平方根是 ； 的平方根是 .
2、若a>0，且，则a= ；
3、若a<六、板书设计
11.1.2 算术平方根
【教学目标】
知识与技能
1、了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.
2、了解开方运算与乘方运算是逆运算，会利用这个互逆关系求某些非负数的算术平方根.
3、会利用开方运算求某些非负数的平方根.
过程与方法
在领悟和运用过程中加深对算术平方根表示方法和意义的理解；
在运用过程中加深对开方和乘方互为逆运算以及对算术平方根和平方根的区别的理解.
情感、态度与价值观
培养学生的符号感及严谨的学习态度.
【重点难点】
重点
算术平方根的概念
难点
有关平方根、算术平方根的运算区别与联系.
【教学过程】
一、创设问题情境,导入新课
1、什么是平方根?求出36，1.44，各数的平方根.2、一个正数有几个平方根?它们之间的关系如何?
3、负数有平方根吗?为什么?
答：1. 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
36的平方根是±6，1.44的平方根是±1.2，的平方根是.
2. 一个正数有两个平方根，它们互为相反数.
3.负数没有平方根，因为任何数的平方都不是负数.
二、算术平方根的概念及其应用
1、算术平方根概念
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”；另一个平方根是它的相反数，即－.因此正数a的平方根可以记作±，a称为被开方数，例如表示3的算术平方根，±表示3的平方根.
特别地，我们规定：0的算术平方根是0.
提问：(1)有了以上的定义和规定之后， 是什么数? a是什么数?
让学生讨论、交流，归纳得到结论： 是非负数；a是非负数，也就是说，当式子有意义时，它一定表示一个非负数，即a≥0时它有意义.例：有意义吗?
(2)算术平方根与平方根有什么联系和区别?
学生自己思考后小组交流，然后抽答.
（联系：一个正数有一正一负两个平方根，其中正的平方根就是算术平方根；0的平方根与算术平方根相同.区别：（1）定义不同；（2）个数不同：正数的平方根有两个，算术平方根只是其中正的那个；（3）表示不同：正数a的平方根表示为±，而它的算术平方根表示为.
（3）开平方
求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方.开方运算与平方运算互为逆运算.
将一个正数开平方，关键是找出它的一个算术平方根.例如100的算术平方根是＝10，100的平方根是±＝±l0.
2、范例
例1、求下列各数的算术平方根：
(1)49； (2)1.69.
按照题(1)的方法，解决题(2)，让学生明确开方运算与平方运算是互为逆运算，能够利用这个互逆运算关系求出某些非负数的算术平方根.
解：（1）±7； （2）±1.3
三、课堂练习
求下列各数的算术平方根:
(1);(2)(-100)2;(3)(±)2.
四、课堂小结
1、算术平方根的定义；
2、算术平方根与平方根的联系和区别；
3、式子中a应该满足的条件；
【教学反思】
求平方根时,利用平方运算,并适时进行用±或表示平方根或算术平方根.典例精析对的双重非负性,学困生可能有困难,教师给予适当的关注.
