课件19张PPT。11.1 平方根与立方根平方根平方根的定义
平方根的性质
开平方要剪出一张面积为25cm2的正方形纸片，正方形的
边长是多少？1知识点平方根的定义 本章导图中提出的问题，就是已知正方形的面
积为 25 cm2 ,求这个正方形的边长.
容易知道，这个正方形的边长是5 cm.
上述问题实质上就是要求一个数，这个数的平方
等于25. 平方根的定义：
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做
a的平方根．这就是说，如果x2＝a，那么x叫做a的
平方根．例1 求100的平方根.解：因为 102= 100,（－10)2 =100,除了 10 和 －10以外，
任何数的平方都不等于100,所以100的平方根是10
和－10.也可以说，100的平方根是± 10. 总 结 求一个正数的平方根，需运用逆向思维法，
寻找平方后等于这个正数的两个互为相反数的
数．要特别注意一个正数有两个互为相反数的平方
根而并非只有一个正的平方根．(中考·黄冈)9的平方根是( )
A．±3 B．± C．3 D．－3
2 下列说法正确的有( )
①－2是－4的一个平方根；
②a2的平方根是a；
③2是4的平方根；
④4的平方根是2.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2知识点平方根的性质1. 144的平方根是什么？
2. 0的平方根是什么？
3. －4有没有平方根？为什么？
请你自己也编三道求平方根的题目，并给出解答.试一试1. 平方根的性质：
(1)一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
(2)0的平方根是0；
(3)负数没有平方根．
2. 易错警示：不能漏掉负的平方根．例2 (1) 3＋a的其中一个平方根是5，求a的值．
(2) 一个正数x的两个平方根分别是－a＋2与2a－1，
求a的值和这个正数x的值．导引：(1)由平方根的定义知3＋a等于52；(2)正数x有两个平方
根，分别是－a＋2与2a－1，所以－a＋2与2a－1互为相
反数，即(－a＋2)＋(2a－1)＝0，解方程可求出a；根据
x＝(－a＋2)2，代入a的值可求出x的值．解：(1)由平方根的定义得3＋a＝52.所以a＝22.
(2)因为正数x有两个平方根，分别是－a＋2与2a－1，
所以(－a＋2)＋(2a－1)＝0，解得a＝－1.
所以x＝(－a＋2)2＝(1＋2)2＝9.总 结 本题 (1)运用平方根的定义列方程；
(2)运用平方根性质中两个平方根的关系列方程；通
过列方程运用方程思想求相关待定字母的值是数学
中常用的方法．1 下列说法正确的是( )
A．0的平方根是0
B．1的平方根是1
C．－1的平方根是±1
D．4的平方根是－2
2 若a是b(b＞0)的一个平方根，则b的平方根是( )
A．a B．－a
C．±a D．a23知识点开平方 开平方的定义:
求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。将
一个正数开平方，关键是找出它的算术平方根.例3 将下列各数开平方.
(1) 49； (2)解：(1)因为72=49，所以 =7，
所以49的平方根为± =±7.
(2) .总 结 我们是通过观察，利用开平方与平方的关系来
求平方根的. 通常可用计算器直接求出一个正数的
算术平方根(有时得到的是近似值).1 (－5)2的平方根是( )
A．－5 B．25
C．±5 D．±
2 的平方根是( )
A．± B.
C．± D.求一个正数的平方根的方法：先找出平方等于这个正数的
数，有两个，然后写出这个正数的平方根(所找的两个数)；
一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，不能漏掉其
中负的平方根；如果一个正数为带分数，一般先化为假分
数；如果一个正数a不能写成有理数的平方形式，那么可以
将a的平方根表示成± .课件22张PPT。11.1 平方根与立方根算数平方根算术平方根的定义 求算术平方根
算术平方根的非负性 一个正数如果有平方根*，那么必定有两个,它
们互为相反数.显然，如果我们知道了这两个平方根
中的一 个，那么立即可以得到另一个.1知识点算数平方根的定义定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．
规定：0的算术平方根是0.
表示方法：正数a的算术平方根记作 ，读作“根号
a”；正数a的平方根可以记作± ，其中a称为
被开方数．【例1】 下列说法正确的是( )
A．3是9的算术平方根
B．－2是4的算术平方根
C. （ － 2）2的算术平方根是－2
D．－9的算术平方根是3导引：要正确把握算术平方根的定义．因为3的平方等于9，
所以3是9的算术平方根；因为－2不是正数，所以
－2不是4的算术平方根；因为（﹣2）2＝4，而22＝
4，所以2是(-2)2的算术平方根；负数没有算术平方
根．A归 纳 算术平方根具有双重非负性，被开方数是非
负数，它的算术平方根也是非负数．1 (2015·滨州)数5的算术平方根为( )
A. B．25 C．±25 D．±
2 下列说法错误的是( )
A. 表示3的平方根
B. 表示3的算术平方根
C. 表示3的正平方根
D．± 表示3的平方根
2知识点求算术平方根【例2】 求下列各数的算术平方根：
(1)64； (2)2 ； (3)0.36; (4)导引：根据算术平方根的定义要求一个非负数的算术平
方根，只要找到一个非负数的平方等于这个非负
数即可． (1) 64
因为82＝64 ，所以 64的算术平方根是8.
(2)2
(3)0.36
因为0.62＝0.36，所以0.36的算术平方根是0.6.解：(4)
因为 又因为92＝81，
所以 ＝9，而32＝9，所以
的算术平方根是3.总 结求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个
数的算术平方根，分清求 与81的算术平方根
的不同意义，不要被表面现象迷惑．
(2) 求一个非负数的算术平方根常借助于平方运算，
因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十
分有用．1 (中考·日照) 的算术平方根是( )
A．2 B．±2
C. D．±
2 设 ＝a，则下列结论正确的是( )
A．a＝441 B．a＝4412
C．a＝－21 D．a＝213知识点算术平方根的非负性 因为0的平方等于0,而其他任何数的平方都不
等于0,所以0的平方根只有一个（就是0)，也叫
做0的算 术平方根，记作 即有思考负数有平方根吗？即思考：有没有一个数的平方是负数？ 要点精析：
(1)算术平方根 具有双重非负性：
①被开方数a是非负数，即a≥0；
②算术平方根 是非负数；即≥0.
(2)算术平方根是它本身的数只有0和1.例3 已知 ，求2x＋y的算术平方根．导引：由于只有非负数才有算术平方根，因此本题中
x－2≥0，且2－x≥0，求得x的值后从而可得y的
值，进而问题得解．解：由 中a≥0知，等式成立的条件是：
x－2≥0且2－x≥0，
所以x≥2且x≤2.所以x＝2，从而y＝5.
所以2x＋y＝2×2＋5＝9.
因为9的算术平方根是3，
所以2x＋y的算术平方根是3，
即总 结 被开方数具有非负性，即 中a≥0，当两个被开
方数互为相反数时，只有它们都等于0，这两个式
子才都有意义．例4 已知x，y为有理数，且 ＋3(y－2)2＝0，
求x－y的值．导引：算术平方根和完全平方都具有非负性，即
≥0, a2≥0，由几个非负数相加和为0，可
得每一个非负数都为0，由此可求出x和y的
值，进而求得答案．解：由题意可得x－1＝0，y－2＝0，
所以x＝1，y＝2.
所以x－y＝1－2＝－1.总 结
算术平方根和数的平方、绝对值一样，都是非负
数，即 ≥0， a2≥0，|a|≥0；当几个非负数的和
为0时，其中每一个非负数都为0.
(2)只有非负数才有算术平方根，因此当出现 ， ，
即被开方数互为相反数时，a只有为0才都有意义．1 设a－2是一个数的算术平方根，那么( )
A．a≥0 B．a＞0
C．a＞2 D．a≥2
2 下列算式有意义的是( )
A. B．
C． D.平方根与算数平方根的区别
