11.2.1 实数及其性质
【教学目标】
知识目标：了解无理数、实数的概念和实数的分类.
能力目标：让学生感知无理数的存在，经历数系从有理数扩展到实数的过程.通过无理数的引入，培养从特殊到一般、具体到抽象的逻辑思维能力.
情感目标：渗透数形结合及分类的思想，体验数系的扩展源于实际，又服务于实际的辩证关系.
【重点难点】
重点：了解无理数、实数的概念和实数的分类.
难点：正确理解无理数的意义.
【教学过程】
一、【情境导入 营造氛围】
在小学的时候，我们就认识一个非常特殊的数：圆周率π.它约等于3.14,你还能说出它后面的数字吗?比一比，看谁记住的最多.
教师简介目前π值已准确算到上千亿位.
二、【检索旧知 揭示矛盾】
π是一个怎样的数呢？
引导学生回忆有理数的分类：
有理数
π肯定不是整数，那么它是一个分数吗？让学生用计算器将下列有理数化成小数形式：
= ， -= ， =
引导学生发现：任何一个有理数写成小数的形式，必定是有限小数或者无限循环小数.
形成共识：π不是一个有理数.
三、【实践体验 感受新知】
还有哪些数和π一样是无限不循环小数呢？
动手操作：让学生用课前准备的计算器动手求的值，再利用平方关系验算所得的结果.
关注：“你发现了什么？”
学生分析议论并发表个人见解，教师给出评议后再用计算机演示计算的情形，以增强学生对“是一个无限不循环小数”的信服度.
学生认识了个别无理数之后建立一般概念：无限不循环小数叫做无理数.引入无理数的概念后再回到具体的个别情形去，让学生再举例一些无理数.
无理数的出现，使数系在有理数的基础上进一步扩展到实数：有理数与无理数统称为实数.
问：你能说出实数的分类吗？
四、【练习反馈 调整巩固】
1、把下列各数分别填入相应的数集里.
-π，-，，，0.324371, 0.5, -, , 4, -,,0.8080080008…
实数集﹛ …﹜
无理数集﹛ …﹜
有理数集﹛ …﹜
分数集﹛ …﹜
负无理数集﹛ …﹜
2、下列各说法正确吗？请说明理由.
⑴3.14是无理数； ⑵无限小数都是无理数；
⑶无理数都是无限小数； ⑷带根号的数都是无理数；
⑸无理数都是开方开不尽的数； ⑹不循环小数都是无理数.
五、【归纳小结 】
以由学生回答，教师适时补充的方式，引导学生从以下方面进行小结：
1、无理数、实数的意义；
2、有理数与无理数的区别；.
六、板书设计：
说明：本课是在学生学习了有理数及平方根、立方根以后，接触过“”、“π”等具体的无理数的基础上，引入了无理数的概念，从而将数从有理数扩展到实数.
数学教学是数学活动的教学，学生是数学学习的主人.在数学活动中如何体现学生的主体地位、关注他们的情感体验，是本案教学措施设计的追求.针对本节课概念性强、例题不多的特点，结合八年级学生思维较活跃，但抽象思维能力还比较薄弱的心理特征，本节课主要采用了引导发现的体验教学法.在学生已有知识经验的基础上创设教学情境，重视学生的实践操作和现代信息工具的运用，教师在教学中引导学生去发现“有理数都是有限小数或无限循环小数”、“是无限不循环小数”、“边长为1的正方形对角线长为”的数学事实，体验无理数的存在与数系扩展的必要.无理数概念的引入，遵循 了“特殊”→“一般”→“特殊”的认知规律，在经历数系扩展的过程中实现知识的建构，渗透“数形结合”的思想.在教学中向学生提供充分从事数学活动的机会，在观察、对比、发现、讨论、探索、归纳的过程中自始至终贯穿着思维的训练.通过小组互相讨论，在合作学习中学会交流.
11.2.2 实数与数轴及实数运算
【教学目标】
知识与技能
1．了解有理数的相反数和绝对值等概念、运算法则以及混合运算顺序和运算律在实数范围内仍然适用．知道实数与数轴上的点一一对应.
2．能利用运算法则进行简单的四则运算．
过程与方法
体会有理数的相反数和绝对值等概念、运算法则以及运算律在实数范围内仍然适用．
情感、态度与价值观
通过学习消除对无理数的陌生感，对实数形成初步的较完整地认识.
【重点难点】
重点
实数的运算，实数的大小比较。
难点
实数和数轴上的点的一一对应关系.
【教学过程】
一、复习旧知，导入新知
1．复习提问
(1)用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律.
(2)用字母表示有理数的加法交换律和结合律．
(3)有理数a的相反数是什么?不为0的数a的倒数是什么?有理数a的绝对值等于什么?
(4)有理数的混合运算顺序是怎样规定的?
2.新知提问
我们数学王国里面又有了一个新成员---无理数，那么有关有理数的相反数、倒数和绝对值等概念、大小比较，运算法则及运算律对于无理数（实数）还适用吗？
二、新知认识
（一）【质疑讨论 数形结合】
质疑：你能在数轴上找到表示的点吗？
让学生先按照计算器显示的结果来想象出表示的点在数轴上的位置.
小组讨论：
1、如图（教材P9图11.2.1），你能将两个边长为1的小正方形拼割成一个大的正方形吗？它的面积是多少？
2、你能由面积求出大正方形的边长吗？
3、大正方形的边长正好是小正方形的 .
教师听取学生的讨论结果，并对学生的结论给出评价.
教师运用课件动态展示在数轴上确定表示的点的过程.以为突破口，让学生了解数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数也都可以用数轴上的点来表示.换句话说：实数与数轴上的点一一对应.
（二）相关概念
因为无理数同有理数一样都可以对应到数轴上一个唯一点来表示这个数，因此，无理数同有理数一样有相反数、倒数和绝对值等概念，意义也一样，只是形式不同而已.也就是说在实数范围内，有关有理数的相反数、倒数和绝对值等概念仍然适用.
1.相反数：实数a的相反数是－a，0的相反数是0，具体地，若a与b互为相反数，则a＋b＝0；反之，若a＋b＝0，则a与b互为相反数.
举例：求的相反数.
2.绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
实数a的绝对值可表示为就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即≥0.
举例：求的绝对值.
另外,若＝a(a≥0)，则x＝±a.
举例：＝，求x
3.倒数：乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数.这里应特别注意的是0没有倒数.
举例：求的倒数.
（三）大小比较、运算及运算律
因为无理数同有理数一样有相反数、倒数和绝对值等概念，意义也一样，只是形式不同而已.同样的在实数范围内（有无理数参加），有关有理数的大小比较，运算法则及混合运算顺序和运算律仍然适用.
三、例题讲解
例1．计算：π－｜2－3｜(结果精确到0.01)
分析：对于实数的运算，通常可以取它们的近似值来进行.提问：用什么手段取它们的近似值?
例2．计算:
解:原式=
=
=
=0-21
=-21
例3 比较大小： 4和5.
分析：4约等于6.8，5约等于7，所以4小于5.
四、课堂练习
P11页练习2、3
让三位同学板演，教师根据学生的具体解答情况作出正确判断，并分析发生错误的原因．
五、小结
由学生完成如下小结：
1．在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算．
2．实数的运算法则 a＋b＝b＋a (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
a×b＝b×a (a×b)×c＝a×(b×c) (a＋b)×c＝ac＋bc
3、实数的混合运算顺序同有理数的混合运算顺序一样.
4、实数与数轴上的点一一对应.
六、作业
P11页习题11.2
七、板书设计：
