12.2.3 多项式与多项式相乘 导学案（含答案）

12.2.3多项式与多项式相乘 导学案
一、学习目标：１.记住多项式与多项式相乘的法则，并理解其推导过程；
2.能运用多项式与多项式相乘的法则进行运算；
3.能综合运用整式的有关运算法则进行整式的加、减、乘混合运算.
二 、自主学习
【情境导入】李老师做了一个长方形教具，其中一边长为2a+b，另一边长为a－b，则该长方形的面积为多少？小明与小刚对此问题陷入了深思……
知识点1 多项式与多项式相乘的法则
阅读教材第28页的内容，回答下列问题：
1.在图12.2.1中，（1）当把长方形林地看作长为（m+n）米，宽为（a+b）米时，林地的面积表示为 　　　 平方米；（2）当把长方形林地看作上下两个长方形组成时，林地的面积表示为 　　　　　 平方米；（3）当把长方形林地看作左右两个长方形组成时，林地的面积表示为 　　　　 平方米；（4）当把长方形林地看作四小块组成时，林地的面积表示为 　　　　 平方米.
由此，我们得到：（m+n）（a+b）＝（m+n）a+（m+n）b＝ ＝ 　　 .
2.从等式（m+n）（a+b）＝ma+mb+na+nb，我们发现：结果的前两项是用m分别去 　　 ，后两项是 　　　　 .
【归纳总结】多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 　　　　 乘以另一个多项式的 　　　 ，再把所得的积 　　　　 .
【巩固练习】如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：
①（2a+b）（m+n）；　　　
②2a（m+n）+b（m+n）；
③m（2a+b）+n（2a+b）；　
④2am+2an+bm+bn，
你认为其中正确的有（　　）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
知识点2 运用多项式与多项式相乘的法则进行运算
阅读教材第28页例3和第29页例4，回答下列问题：
1.多项式与多项式相乘，所得的项数比较多，怎样才能做到不重不漏呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .
2.由例3和例4可以看出，多项式与多项式相乘，结果仍为多项式，在合同类项之前，积的项数为两个多项式项数的 　　 ，用这个方法可以检查是否“重乘或漏乘”.
3.多项式与多项式相乘，乘积中有同类项的，要 　　 .
【巩固练习】计算：（3x﹣1）（2x+1）=　　　　　　　　　　．
三、合作探究
合作探究一 若（x+5）（2x﹣n）=2x2+mx﹣15，则（　　）
A．m=﹣7，n=3 B．m=7，n=﹣3 C．m=﹣7，n=﹣3 D．m=7，n=3
合作探究二 有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为（2a+b），宽为（a+b）的长方形，则需要A类卡片　　　　张，B类卡片　　　张，C类卡片　　　　张．
合作探究三 若关于x的多项式（x2+x﹣n）（mx﹣3）的展开式中不含x2和常数项，求m，n的值．
【方法归纳总结】
1.多项式与多项式相乘，为了不重不漏，应按顺序依次进行.
2.多项式与多项式相乘，体现了“转化”的思想，即多×多转化为单×多转化为单×单.
3.多项式与多项式相乘，结果仍为多项式，在合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积.
4.根据多项式与多项式相乘的法则，我们可以得到两个一次二项式相乘的公式，即：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab.应用这个公式，可使计算简化.
课后演练
1．计算（x﹣6）（x+1）的结果为（　　）
A．x2+5x﹣6 B．x2﹣5x﹣6 C．x2﹣5x+6 D．x2+5x+6
2.梯形上底为a，下底为b，高为（2a﹣b），则梯形的面积是（　　）
A． B．2a2+ab﹣b2
C． 　　D．
3.学校买来钢笔若干枝，可以平均分给（x﹣1）名同学，也可分给（x﹣2）名同学（x为正整数）．用代数式表示钢笔的数量不可能的是（　　）
A．x2+3x+2 　　B．3（x﹣1）（x﹣2） 　　C．x2﹣3x+2 　　D．x3﹣3x2+2x
4.计算：（3x+1）（x﹣2）=　　　　　　　　．
5.在（x+1）（2x2﹣ax+1）的运算结果中x2的系数是﹣6，那么a的值是　　　　　　　　．
6.解不等式：（x+3）（x﹣7）+8＞（x+5）（x﹣1）
7.先阅读后作答：我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，实际上还有一些等式也可以用这种方式加以说明，例如（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用图（1）的面积关系来说明．
（1）根据图（2）写出一个等式　 　.
（2）已知等式（2x+m）（2x+n）=4x2+2（m+n）x+mn．请你画出一个相应的几何图形加以说明．
8.已知代数式（mx2+2mx﹣1）（xm+3nx+2）化简以后是一个四次多项式，并且不含二次项，请分别求出m，n的值，并求出一次项系数．
《12.2.3多项式与多项式相乘》导学案参考答案
自主学习
知识点1
1.（1）（m+n）（a+b）　　（2）[（m+n）a+（m+n）b]　　（3）[（a+b）m+（a+b）n]　　
（4）（ma+mb+na+nb）　　（a+b）m+（a+b）n　　ma+mb+na+nb
2.乘以a和b　　用n分别去乘以a和b
【归纳总结】每一项　　每一项　　相加
【巩固练习】D　　解：①大长方形的长为2a+b，宽为m+n，所以长方形的面积为（2a+b）（m+n）；
②长方形的面积等于左边，中间及右边的长方形面积之和，即2a（m+n）+b（m+n）；
③长方形的面积等于上下两个长方形面积之和，即m（2a+b）+n（2a+b）；　
④长方形的面积由6个长方形的面积之和，即2am+2an+bm+bn．
所以正确的有①②③④．故选D．
知识点2
1.答：按顺序去乘，先用第一个多项式的第一项与第二个多项式的每一项依次相乘，然后再用第一个多项式的第二项与第二个多项式的每一项依次相乘，依次类推，直到第一个多项式的最后一项与第二个多项式的最后一项相乘为止
2.积
3.合并同类项
【巩固练习】6x2+x﹣1　　解：（3x﹣1）（2x+1）=6x2+x﹣1．故答案为：6x2+x﹣1．
合作探究
合作探究一D　　解：∵（x+5）（2x﹣n）=2x2+（10﹣n）x﹣5n，
而（x+5）（2x﹣n）=2x2+mx﹣15，
∴2x2+（10﹣n）x﹣5n=2x2+mx﹣15，
∴10﹣n=m，﹣5n=﹣15，
∴m=7，n=3．
故选D．
合作探究二2　　1　　3　　解：长为2a+b，宽为a+b的矩形面积为（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，A图形面积为a2，B图形面积为b2，C图形面积为ab，则可知需要A类卡片2张，B类卡片1张，C类卡片3张．故答案为：2；1；3．
合作探究三解：原式=mx3+（m﹣3）x2﹣（3+mn）x+3n，
由展开式中不含x2和常数项，得到m﹣3=0，3n=0，
解得：m=3，n=0．
课后演练
1.B　　解：原式=x2+x﹣6x﹣6=x2﹣5x﹣6．故选B
2.A　　解：根据题意得：S=（a+b）（2a﹣b）=a2+ab﹣b2．故选A
3.A　　解：根据题意得：（x﹣1）（x﹣2）=x2﹣3x+2，则钢笔的数量不可能的是x2+3x+2，故选A
4.3x2﹣5x﹣2　　解：（3x+1）（x﹣2）=3x2﹣6x+x﹣2=3x2﹣5x﹣2．
5.8　　解：（x+1）（2x2﹣ax+1）
=2x3﹣ax2+x+2x2﹣ax+1
=2x3+（﹣a+2）x2+（1﹣a）x+1；
∵运算结果中x2的系数是﹣6，
∴﹣a+2=﹣6，
解得a=8，
故答案为：8．
6.解：去括号得：x2﹣4x﹣21+8＞x2+4x﹣5，
移项合并得：8x＜﹣8，
解得：x＜﹣1．
7.解：（1）根据题意得：（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2；
（2）如图所示，
8.解：（mx2+2mx﹣1）（xm+3nx+2）=mxm+2+3mnx3+2mx2+2mxm+1+6mnx2+4mx﹣xm﹣3nx﹣2，
因为该多项式是四次多项式，
所以m+2=4，
解得：m=2，
原式=2x4+（6n+4）x3+（3+12n）x2+（8﹣3n）x﹣2
∵多项式不含二次项
∴3+12n=0，
解得：n=，
所以一次项系数8﹣3n=8.75．