§1.3.1函数的单调性
一、教学目标
1、知识与技能：
（1）建立增（减）函数的概念
通过观察一些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函
数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 . 掌握用定义证明函数单调性的步骤。
（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。
2、过程与方法
（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．
3、情态与价值，使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习
函数的紧迫感.
二、教学重点与难点
重点：函数的单调性及其几何意义．
难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．
三、学法与教学用具
1、从观察具体函数图象引入，直观认识增减函数，利用这定义证明函数单调性。通过练习、交流反馈，巩固从而完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、计算机.
四、教学思路：
（一）创设情景，揭示课题
观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
随x的增大，y的值有什么变化？
能否看出函数的最大、最小值？
函数图象是否具有某种对称性？
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
（1）f(x) = x
从左至右图象上升还是下降 ______?
在区间 ____________ 上，随着x的增
大，f(x)的值随着 ________ ．
（2）f(x) = -x+2
从左至右图象上升还是下降 ______?
在区间 ____________ 上，随着x的增
大，f(x)的值随着 ________ ．
（3）f(x) = x2
在区间 ____________ 上，
f(x)的值随着x的增大而 ________ ．
在区间 ____________ 上，f(x)的值随
着x的增大而 ________ ．
3、从上面的观察分析，能得出什么结论？
学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变
化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）。
（二）研探新知
1、y = x2的图象在y轴右侧是上升的，如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢？
学生通过观察、思考、讨论，归纳得出：
函数y = x2在（0，+∞）上图象是上升的，用函数解析式来描述就是：对于（0，+∞）上的任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有x12＜x22 . 即函数值随着自变量的增大而增大，具有这种性质的函数叫增函数。
2．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1
3、从函数图象上可以看到，y= x2的图象在y轴左侧是下降的，类比增函数的定义，你能概括出减函数的定义吗？
注意：
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x14．函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：
（三）质疑答辩，发展思维。
根据函数图象说明函数的单调性．
例1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
解：略
例2 物理学中的玻意耳定律P=（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强P将增大。试用函数的单调性证明之。
分析：按题意，只要证明函数P=在区间（0，+∞）上是减函数即可。
证明：略
3．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
① 任取x1，x2∈D，且x1 ② 作差f(x1)－f(x2)；
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
巩固练习：
课本P38练习第1、2、3题；
证明函数在（1，+∞）上为增函数．
例3．借助计算机作出函数y =－x2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间．
解：（略）
思考：画出反比例函数的图象．
这个函数的定义域是什么？
它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．
（四）归纳小结
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
（五）设置问题，留下悬念
1、教师提出下列问题让学生思考：
①通过增（减）函数概念的形成过程，你学习到了什么？
②增（减）函数的图象有什么特点？如何根据图象指出单调区间？
③怎样用定义证明函数的单调性？
师生共同就上述问题进行讨论、交流，发表自己的意见。
2、书面作业：课本P39习题1、3题（A组）第1-5题。
课时提升作业(四)
并集、交集
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2014·浙江高考)设集合S={x|x≥2},T={x|x≤5},则S∩T= ( )
A.{x|x≤5} B.{x|x≥2}
C.{x|2【解析】选D.依题意计算得S∩T=,故选D.
2.(2014·新课标全国卷Ⅱ改编)已知集合A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},则
A∪B= ( )
A.? B.{2}
C.{0,-1,2} D.{-2,-1,0,2}
【解析】选D.因为B={x|x2-x-2=0}={-1,2},A={-2,0,2},所以A∪B=
{-2,-1,0,2}.
3.(2018·本溪高一检测)设集合A={x∈N|1≤x≤10},B={x∈R︱x2+ x-6=0},则图中阴影表示的集合为 ( )
A.{2} B.{3}
C.{-3,2} D.{-2,3}
【解析】选A.A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={-3,2},由题意可知,阴影部分即为A∩B,故A∩B={2}.
【补偿训练】若集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x<-1或x>4},则集合A∩B等
于 ( )
A.{x|x≤3或x>4} B.{x|-1C.{x|3≤x<4} D.{x|-2≤x<-1}
【解析】选D.将集合A,B表示在数轴上,由数轴可得A∩B={x|-2≤x<-1},故选D.
4.在集合{a,b,c,d}上定义两种运算⊕和?如下:
那么d?(a⊕c)的运算结果为 ( )
A.a B.b C.c D.d
【解题指南】先计算(a⊕c)的结果,再计算d?(a⊕c)的值.
【解析】选A.由上表可知:(a⊕c)=c,
故d?(a⊕c)=d?c=a.
5.(2018·福州高一检测)设集合A={1,2},则满足A∪B={1,2,3}的集合B的个数是 ( )
A.1 B.3 C.4 D.8
【解题指南】由并集中的元素可知集合B中至少含有一个元素3,由此分类求解.
【解析】选C.因为A={1,2},A∪B={1,2,3},所以B={3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3},故选C.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2018·邯郸高一检测)已知集合M={0,1,2},P={x|-2≤x≤2,x∈Z},则
M∩P= .
【解析】P={-2,-1,0,1,2},所以M∩P={0,1,2}.
答案:{0,1,2}
【补偿训练】(2014·重庆高考)已知集合A={3,4,5,12,13},B=,则
A∩B= .
【解析】因为A=,B=,
所以A∩B=.
答案:
7.设集合A={5,a+1},集合B={a,b}.若A∩B={2},则A∪B= .
【解题指南】由交集求出a,b,再求并集.
【解析】因为A∩B={2},所以2∈A,故a+1=2,a=1,即A={5,2};又2∈B,所以b=2,即B={1,2},所以A∪B={1,2,5}.
答案:{1,2,5}
8.设集合A={x|-1【解析】利用数轴分析可知,a>-1.
答案:a>-1
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知M={1},N={1,2},设A={(x,y)|x∈M,y∈N},B={(x,y)|x∈N,y∈M},求A∩B和A∪B.
【解析】因为A={(1,2),(1,1)},B={(1,1),(2,1)}.
所以A∩B={(1,1)},A∪B={(1,1),(1,2),(2,1)}.
【误区警示】本题易忽视集合A,B是点集而致错.
10.已知A={1,x,-1},B={-1,1-x}.
(1)若A∩B={1,-1},求x.
(2)若A∪B={1,-1,},求A∩B.
(3)若B?A,求A∪B.
【解析】(1)由条件知1∈B,所以1-x=1,所以x=0.
(2)由条件知x=,
所以A=,B=,
所以A∩B=.
(3)因为B?A,所以1-x=1或1-x=x,
所以x=0或,当x=0时,A∪B={1,0,-1},
当x=时,A∪B=.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2018·达州高一检测)已知集合M={(x,y)|3x+2y=1},N={(x,y)|2x+y=2},那么集合M∩N为( )
A.x=3,y=-4 B.(3,-4) C.{-3,-4} D.{(3,-4)}
【解析】选D.解方程组得x=3,y=-4.
2.定义集合{x|a≤x≤b}的“长度”是b-a.已知m,n∈R,集合M=,N={x|n-≤x≤n},且集合M,N都是集合{x|1≤x≤2}的子集,那么集合M∩N的“长度”的最小值是 ( )
A. B. C. D.
【解题指南】分别求出集合M,N的“长度”,当集合M,N表示的不等式在数轴上距离最远时,集合M∩N的“长度”最小,再求出此时的“长度”即可.
【解析】选C.因为集合M=,
所以集合M的长度是,
因为集合N=,
所以集合N的长度是,
因为M,N都是集合{x|1≤x≤2}的子集,
所以m最小为1,n最大为2,
此时集合M∩N的“长度”最小,为.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2018·潍坊高一检测)已知M={x|y=x2-1},N={y|y=x2-1},那么
M∩N= .
【解析】M={x|y=x2-1}=R,N={y|y=x2-1}={y|y≥-1},故M∩N={y|y≥-1}.
答案:{y|y≥-1}
【补偿训练】已知集合A={x|x=2k+1,k∈N*},B={x|x=k+3,k∈N},则A∩B等
于 ( )
A.B B.A C.N D.R
【解析】选B.A={3,5,7,9,…},B={3,4,5,6,…},易知A?B,所以A∩B=A.
4.(2018·昆明高一检测)已知集合A={1,3,},B={1,m},A∪B=A,则m= .
【解题指南】由A∪B=A得B?A,利用集合间的包含关系求参数,同时注意检验.
【解析】由A∪B=A得B?A,所以有m=3或m=.由m=得m=0或1,经检验,m=1时,B={1,1}矛盾,m=0或3时符合题意.
答案:0或3
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.集合A={x|-1≤x<3},B={x|2x-4≥x-2}.
(1)求A∩B.
(2)若集合C={x|2x+a>0},满足B∪C=C,求实数a的取值范围.
【解析】(1)因为B={x|x≥2},
所以A∩B={x|2≤x<3}.
(2)C=,B∪C=C?B?C,
所以-<2,所以a>-4.
6.(2018·武汉高一检测)已知A={1,2,3},B={x∈R|x2-ax+1=0,a∈A},若A∩B=B,求a的值.
【解析】由题意得,当a=1时,方程x2-ax+1=0,即x2-x+1=0无解,集合B=?,满足题意;
当a=2时,方程x2-ax+1=0,即x2-2x+1=0有两个相等的实根1,集合B={1},满足题意;
当a=3时,方程x2-ax+1=0,即x2-3x+1=0有两个不相等的实根,,集合B={,},不满足题意.综上可知,a的值为1或2.
【补偿训练】已知A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5},若A∩B=?,求a的取值范围.
【解析】A∩B=?,A={x|2a≤x≤a+3}.
(1)若A=?,有2a>a+3,所以a>3.
(2)若A≠?,如图所示.
则有解得-≤a≤2.
综上所述,a的取值范围是-≤a≤2或a>3.
【误区警示】解答本题易忽视集合A为空集的情况而致错.
课件23张PPT。1.1.3 集合的基本运算（1）一、复习回顾(4)三个结论3)空集是任意一个集合的______，
空集是任意一个非空集合的_________.一、复习回顾一、复习回顾一、复习回顾例1、写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.分析：一般写子集时先写不含任何元素的集合，再写由1个元素构成的集合，再写2个，依此类推……解：集合{a,b}的所有子集为：{a,b}真子集为：,{a},{b}非空真子集为：{a},{b},{a},{b},一、复习回顾例1、写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.解：集合{a,b}的所有子集为：{a,b}真子集为：,{a},{b}非空真子集为：{a},{b},{a},{b},练习、写出集合{a,b,c}的所有子集.解：集合{a,b,c}的所有子集：,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},真子集7个：,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},非空真子集6个：{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},一、复习回顾完成下表：一、复习回顾 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”).即A∪B={x|x∈A，或 x∈B}A∪BA B观察：集合C的元素与集合A，B的元素之间有何关系？(1)A={1,3,5}，B={2,4,6}， C={1,2,3,4,5,6};(2)A={x|x是有理数},B={x|x是无理数}, C={x|x是实数}1、并集A B集合C的元素要不就是来自集合A，要不就是来自集合B2二、新课讲解(3)A={1,3,5},B={2,3,4,5,6}, C={1,2,3,4,5,6}AB并集的符号表示A∪B={x |x ∈ A，或x ∈ B }x∈A 或 x∈B包括三种情况：二、新课讲解A∪BA BA B2AB并集的符号表示A∪B={x |x ∈ A或x ∈ B } 例1 若设A={3,5}，B={3,5,7,8,9}， 求 A∪B.解：A∪B={3，5，7，8，9} 例2 若设A={3,5,6,8}，B={4,5,7,8}， 求 A∪B.解：A∪B={3，4，5，6，7，8} 例3 若设A={3,5,6,8}，B={2,4,7,9}， 求 A∪B.解：A∪B={2，3，4，5，6，7，8，9}用图形语言表示并集①Venn图公共元素只能出现一次三、例题讲解例4、设集合A={x︱-1< x < 2 }，集合B={x︱1< x < 3 }，求A∪B.。。。。A∪B= {x︱-1 A、{1,2,3,4,5} B、{2,3,4,5}
C、{2,3,4} D、{x | 1≤x≤5，且x∈R}, B。。A∩B={ x | x ∈A，且 x∈B}② 数轴例6、设集合A={x︱-1< x < 2 }，集合B={x︱1< x < 3 }，求A∩B.。解：A、B用数轴表示。A ∩ B= {x︱-1 A.1 B.3 C .4 D.8C4、设集合A={x|-2≤x<1}，B={x|x≤a}，若 A∩B= ，则实数a的范围为＿＿＿＿＿＿.{a|a<-2}解:A∩B就是新华中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合∴A∩B={ x|x是新华中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学} 例6 新华中学开运动会，设
A={x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}， B={x|x是新华中学高一年级参加跳高赛跑的同学}，
求A ∩ B四、例题讲解解：平面内直线l1、l2可能有三种位置关系：相交、平行或重合（1）设直线l1、l2相交于一点P可表示为L1∩L2={ 点P } （2）设直线l1、l2平行可表示为L1∩L2= （3）设直线l1、l2重合可表示为L1∩L2= L1 = L2 四、例题讲解1、并集：A∪B={x |x ∈ A，或x ∈ B }2、交集：A∩B={ x | x ∈A，且 x∈B}五、小结归纳1、（上交）P12 习题1.1 A组 第6 、7题
2、思考(可以写在作业本)：
P12 B组 第3题
P44 A组 第5题
六、作业1、已知集合A={x|x≤5，且x∈N}， B={x|x＞1，且x∈N}，那么A∩B等于( ).
A、{1,2,3,4,5} B、{2,3,4,5}
C、{2,3,4} D、{x | 1≤x≤5，且x∈R}, 2、设集合A={1,2}，则满足A∪B={1,2,3}的集合B的个数是( ).
A.1 B.3 C .4 D.8CB3、设集合A={x|-2≤x<1}，B={x|x≤a}，若 A∩B= ，则实数a的范围为＿＿＿＿＿＿.{a|a<-2}4、已知M={y∣y=2x2+1,x∈R}，N={y∣y=-x2+1,x∈R}， 则M∩N= ，M∪N= 。R{ 1 }
六、练习巩固B一、复习回顾课题：§1.3集合的基本运算
教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
课 型：新授课
教学重点：集合的交集与并集、补集的概念；
教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”；
教学过程：
引入课题
我们两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢？
思考（P9思考题），引入并集概念。
新课教学
并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union）
记作：A∪B 读作：“A并B”
即： A∪B={x|x∈A，或x∈B}
Venn图表示：
说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。
例题（P9-10例4、例5）
说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。
问题：在上图中我们除了研究集合A与B的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A与B的交集。
交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection）。
记作：A∩B 读作：“A交B”
即： A∩B={x|∈A，且x∈B}
交集的Venn图表示
说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。
例题（P9-10例6、例7）
拓展：求下列各图中集合A与B的并集与交集
说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集
补集
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U。
补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementary set）,简称为集合A的补集，
记作：CUA
即：CUA={x|x∈U且x∈A}
补集的Venn图表示
说明：补集的概念必须要有全集的限制
例题（P12例8、例9）
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。
集合基本运算的一些结论：
A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A
AA∪B，BA∪B，A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A
（CUA）∪A=U，（CUA）∩A=
若A∩B=A，则AB，反之也成立
若A∪B=B，则AB，反之也成立
若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B
若x∈（A∪B），则x∈A，或x∈B
课堂练习 （1）设A={奇数}、B={偶数}，则A∩Z=A，B∩Z=B，A∩B= （2）设A={奇数}、B={偶数}，则A∪Z=Z，B∪Z=Z，A∪B=Z
归纳小结（略）
作业布置
书面作业：P13习题1.1，第6-12题
提高内容：
已知X={x|x2+px+q=0，p2-4q>0},A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10}，且
，试求p、q；
集合A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若AB={-2，0，1}，求p、q；
A={2，3，a2+4a+2}，B={0，7，a2+4a-2，2-a}，且AB ={3，7}，求B
课件33张PPT。第1课时 函数的单调性第一章 1.3.1 单调性与最大(小)值1.理解单调区间、单调性等概念；
2.会划分函数的单调区间，判断单调性；
3.会用定义证明函数的单调性.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 函数单调性思考1 画出函数f(x)＝x、f(x)＝x2的图象，并指出f(x)＝x、f(x)＝x2的图象的升降情况如何？答案答案 两函数的图象如下：函数f(x)＝x的图象由左到右是上升的；
函数f(x)＝x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的.一般地，单调性是相对于区间来说的，函数图象在某区间上上升，则函数在该区间上为增函数，该区间称为增区间.反之则为减函数，相应区间称为减区间.思考2 用图象在某区间上上升(或下降)来描述函数单调性很直观，课本为什么还要用定义刻画单调性？答案答案 因为很多时候我们不知道函数图象是什么样的.一般地，设函数f(x)的定义域为I：
(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是 .答案增函数减函数知识点二 函数的单调区间答案一般地，有下列常识：
(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开.
(2)单调区间D?定义域I.
(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大.返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 求单调区间并判断单调性例1 (1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？解析答案解 y＝f(x)的单调区间有[－5,－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y＝f(x)在区间[－5,－2]，[1 , 3]上是减函数，在区间[－2, 1]，[3, 5]上是增函数.解析答案(2)写出y＝x2－3|x|＋2的单调区间.画出草图：反思与感悟函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有.解析答案跟踪训练1 (1)根据下图说出函数在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数；解 函数在[－1,0]，[2,4]上是减函数，在[0,2]，[4,5]上是增函数.解析答案(2)写出y＝|x2－2x－3|的单调区间.所以y＝|x2－2x－3|的单调减区间是(－∞，－1]，[1,3]；
单调增区间是[－1,1]，[3，＋∞).类型二 证明单调性例2 (1)物理学中的玻意耳定律p＝ (k为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大.试用函数的单调性证明之；解析答案解析答案证明 根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，＋∞)上的任意两个实数，且V1＜V2，则由V1，V2∈(0，＋∞)，得V1V2>0.
由V10.
又k>0，于是p(V1)－p(V2)>0，即p(V1)>p(V2).所以，函数p＝ ，V∈(0，＋∞)是减函数，也就是说，当体积V减小时，压强p将增大.解析答案(2)已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x>0时，f(x)>1.求证：函数f(x)在R上是增函数.证明 方法一 设x1，x2是实数集上的任意两个实数，且x1>x2.令x＋y＝x1，y＝x2，则x＝x1－x2>0.
f(x1)－f(x2)＝f(x＋y)－f(y)＝f(x)＋f(y)－1－f(y)＝f(x)－1.∵x>0，∴f(x)>1，f(x)－1>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
∴函数f(x)在R上是增函数.
方法二 设x1>x2，则x1－x2>0，
从而f(x1－x2)>1，即f(x1－x2)－1>0.
f(x1)＝f[x2＋(x1－x2)]＝f(x2)＋f(x1－x2)－1>f(x2)，故f(x)在R上是增函数.反思与感悟运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1，x2且x10时，0∵当x＞0时，0＜f(x)＜1，∴f(1)≠0，∴f(0)＝1.
令m＝x＜0，n＝－x＞0，
则f(m＋n)＝f(0)＝f(－x)·f(x)＝1，∴f(x)f(－x)＝1，∴对任意实数x，f(x)恒大于0.
设任意x10，
∴0＝f(x2－x1)f(x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0，
∴f(x)在R上单调递减.类型三 用单调性解不等式例3 (1)已知函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，x1，x2∈(a，b)且f(x1)则由f(x)在区间(a，b)上是增函数，
得f(x1)≥f(x2)，与已知f(x1)∴x1f(1－a)A.f(x)在(－∞，－1)上是减函数
B.f(x)是减函数
C.f(x)是增函数
D.f(x)在(－∞，－1)上是增函数D12345答案C12345答案B123454.已知函数y＝f(x)满足：f(－2)>f(－1)，f(－1)A.函数y＝f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，在区间[－1,0]上单调递增
B.函数y＝f(x)在区间[－2，－1]上单调递增，在区间[－1,0]上单调递减
C.函数y＝f(x)在区间[－2,0]上的最小值是f(－1)
D.以上的三个结论都不正确答案D123455.设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1A.f(x1)f(x2)
C.f(x1)＝f(x2) D.不能确定答案D1.若f(x)的定义域为D，A?D，B?D，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在A∪B上单调递减.
2.对增函数的判断，当x14.若f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f(x)＋g(x)单调递增，f(x)－h(x)单调递增，②－f(x)单调递减，§1.3 函数的基本性质
1．3.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
课时目标 1.理解函数单调性的性质.2.掌握判断函数单调性的一般方法．
1．函数的单调性
一般地，设函数f(x)的定义域为I：
(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是__________．
(3)如果函数y＝f(x)在区间D上是________或________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有________________，区间D叫做y＝f(x)的__________．
2．a>0时，二次函数y＝ax2的单调增区间为________．
3．k>0时，y＝kx＋b在R上是____函数．
4．函数y＝的单调递减区间为__________________．
一、选择题
1．定义在R上的函数y＝f(x＋1)的图象如右图所示．
给出如下命题：
①f(0)＝1；
②f(－1)＝1；
③若x>0，则f(x)<0；
④若x<0，则f(x)>0，其中正确的是( )
A．②③B．①④
C．②④D．①③
2．若(a，b)是函数y＝f(x)的单调增区间，x1，x2∈(a，b)，且x1A．f(x1)C．f(x1)>f(x2) D．以上都可能
3．f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上( )
A．至少有一个根B．至多有一个根
C．无实根D．必有唯一的实根
4．函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上是( )
A．递减函数B．递增函数
C．先递减再递增D．先递增再递减
5．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中不正确的是( )
A.>0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．f(a)D.>0
6．函数y＝的单调递减区间为( )
A．(－∞，－3] B．(－∞，－1]
C．[1，＋∞) D．[－3，－1]
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．设函数f(x)是R上的减函数，若f(m－1)>f(2m－1)，则实数m的取值范围是______________．
8．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________.
三、解答题
9．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．
10．已知f(x)，g(x)在(a，b)上是增函数，且a求证：f(g(x))在(a，b)上也是增函数．
11．已知f(x)＝，试判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明．
能力提升
12．定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0(1)试求f(0)的值；
(2)判断f(x)的单调性并证明你的结论．
13．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.
(1)求f(2)的值；
(2)解不等式f(m－2)≤3.
1．函数的单调区间必须是定义域的子集．因此讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域．
2．研究函数的单调性，必须注意无意义的特殊点，如函数f(x)＝在(－∞，0)和(0，
＋∞)上都是减函数，但不能说函数f(x)＝在定义域上是减函数．
3．求单调区间的方法：(1)图象法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性．
4．用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤：
即“取值——作差变形——定号——判断”这四个步骤．
若f(x)>0，则判断f(x)的单调性可以通过作比的方法去解决，即“取值——作比变形——与1比较——判断”．
§1.3 函数的基本性质
1．3.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
知识梳理
1．(1)增函数 (2)减函数 (3)增函数 减函数 (严格的)单调性 单调区间 2.[0，＋∞) 3.增 4.(－∞，0)和(0，＋∞)
作业设计
1．B
2．A [由题意知y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数，因为x2>x1，对应的f(x2)>f(x1)．]
3．D [∵f(x)在[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，
∴①当f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)<0，f(b)>0，
②当f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)>0，f(b)<0，
由①②知f(x)在区间[a，b]上必有x0使f(x0)＝0且x0是唯一的．]
4．C [如图所示，该函数的对称轴为x＝3，根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增的．]
5．C [由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上是增函数，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A、B、D正确；对于C，若x16．A [该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数f(x)＝x2＋2x－3的对称轴为x＝－1，由函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数．]
7．m>0
解析 由f(m－1)>f(2m－1)且f(x)是R上的减函数得m－1<2m－1，∴m>0.
8．－3
解析 f(x)＝2(x－)2＋3－，
由题意＝2，∴m＝8.
∴f(1)＝2×12－8×1＋3＝－3.
9．解 y＝－x2＋2|x|＋3
＝＝.
函数图象如图所示．
函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，
函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．
∴函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，
单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
10．证明 设a∵g(x)在(a，b)上是增函数，∴g(x1)且a∴f(g(x1))∴f(g(x))在(a，b)上是增函数．
11．解 函数f(x)＝在[1，＋∞)上是增函数．
证明如下：
任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1则f(x2)－f(x1)＝－
＝＝.
∵1≤x1∴x2＋x1>0，x2－x1>0，＋>0.
∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
故函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
12．解 (1)在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，
令m＝1，n＝0，得f(1)＝f(1)·f(0)．
因为f(1)≠0，所以f(0)＝1.
(2)函数f(x)在R上单调递减．
任取x1，x2∈R，且设x1在已知条件f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，
若取m＋n＝x2，m＝x1，
则已知条件可化为f(x2)＝f(x1)·f(x2－x1)，
由于x2－x1>0，所以0在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，
令m＝x，n＝－x，则得f(x)·f(－x)＝1.
当x>0时，01>0，
又f(0)＝1，所以对于任意的x1∈R均有f(x1)>0.
所以f(x2)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0，
即f(x2)13．解 (1)∵f(4)＝f(2＋2)＝2f(2)－1＝5，
∴f(2)＝3.
(2)由f(m－2)≤3，得f(m－2)≤f(2)．
∵f(x)是(0，＋∞)上的减函数，
∴，解得m≥4.
∴不等式的解集为{m|m≥4}．
