§1.1.3 集合的基本运算
一. 教学目标：
1. 知识与技能
(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集.
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
(3)能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
2. 过程与方法
学生通过观察和类比，借助Venn图理解集合的基本运算.
3.情感.态度与价值观
(1)进一步树立数形结合的思想.
(2)进一步体会类比的作用.
(3)感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确.
二.教学重点.难点
重点：交集与并集，全集与补集的概念.
难点：理解交集与并集的概念.符号之间的区别与联系．
三.学法与教学用具
1.学法：学生借助Venn图，通过观察.类比.思考.交流和讨论等，理解集合的基本运算.
2.教学用具：投影仪.
四. 教学思路
(一)创设情景，揭示课题
问题1：我们知道，实数有加法运算。类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢?
请同学们考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A.B之间的关系吗?
(1)
(2)
引导学生通过观察，类比.思考和交流，得出结论。教师强调集合也有运算，这就是我们本节课所要学习的内容。
(二)研探新知
l.并集
—般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集.
记作：A∪B.
读作：A并B.
其含义用符号表示为：
用Venn图表示如下：
请同学们用并集运算符号表示问题1中A，B，C三者之间的关系.
练习.检查和反馈
(1)设A={4，5，6，8)，B={3，5，7，8)，求A∪B.
(2)设集合
让学生独立完成后，教师通过检查，进行反馈，并强调：
（1）在求两个集合的并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次.
(2)对于表示不等式解集的集合的运算，可借助数轴解题.
2.交集
（1）思考：求集合的并集是集合间的一种运算，那么，集合间还有其他运算吗？
请同学们考察下面的问题，集合A.B与集合C之间有什么关系？
②B={|是新华中学2004年9月入学的高一年级同学}，C={|是新华中学2004年9月入学的高一年级女同学}.
教师组织学生思考.讨论和交流，得出结论，从而得出交集的定义；
一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.
记作：A∩B.
读作：A交B
其含义用符号表示为：
接着教师要求学生用Venn图表示交集运算.
（2）练习.检查和反馈
①设平面内直线上点的集合为，直线上点的集合为，试用集合的运算表示的位置关系.
②学校里开运动会，设A={|是参加一百米跑的同学}，B={|是参加二百米跑的同学}，C={|是参加四百米跑的同学}，学校规定，在上述比赛中，每个同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释集合运算A∩B与A∩C的含义.
学生独立练习，教师检查，作个别指导.并对学生中存在的问题进行反馈和纠正.
（三）学生自主学习，阅读理解
1．教师引导学生阅读教材第10～11页中有关补集的内容，并思考回答下例问题：
（1）什么叫全集？
（2）补集的含义是什么？用符号如何表示它的含义？用Venn图又表示？
（3）已知集合.
（4）设S={|是至少有一组对边平行的四边形}，A={|是平行四边形}，B={|是菱形}，C={|是矩形}，求.
在学生阅读.思考的过程中，教师作个别指导，待学生经过阅读和思考完后，请学生回答上述问题，并及时给予评价.
（四）归纳整理，整体认识
1．通过对集合的学习，同学对集合这种语言有什么感受？
2．并集.交集和补集这三种集合运算有什么区别？
（五）作业
1．课外思考：对于集合的基本运算，你能得出哪些运算规律？
2．请你举出现实生活中的一个实例，并说明其并集.交集和补集的现实含义.
3．书面作业：教材第12页习题1.1A组第7题和B组第4题.
A组
一、选择题
1．集合，，若，则t的值是 （ ）
A．1 B. 2，0或－1 C. 2或 D. 不存在
2．设集合，，则 （ ）
A． B.
C. D.
3．已知全集，，，那么集合是（ ）
A． B. C. D.
4．非空集合P，Q，R满足关系，，则P，R的关系是（ ）
A．P=R B. C. D.
5．已知I为全集，集合M，N I，则，则（ ）
A． B. C. D.
6．设全集，集合，，那么等于 （ ）
A． B. C. D.
二、填空题
7．设集合，，若，则实数a的取值范围是_______________.
8．已知集合，，则______.
9．已知全集，子集，，则实数a＝_________.
10．已知，，若，则a的取值范围为_______________.
11．设，，，则a+b＝_________.
12．已知集合，，若，则实数m的取值范围为__________.
三、解答题
13．已知集合，，且，求.
14．全集U=Z.集合，，若，求a的取值范围.
高考练习：
1．设U={x︱x是小于9的正整数} A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}, 则CUA∩CUB=( )。
(2007年湖北高考题)
A． {1,2} B. {3,4} C. {5,6} D. {7,8}
2．已知全集U=Z, A={－1,0,1,2}, B={x︱x2=x}, 则A∩CUB=( )。(2007年江苏高考题)
A． {－1,2} B. {－3,0} C. {0,1} D. {1,2}
课时提升作业(五)
补集及综合应用
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知全集U={2,3,4},若集合A={2,3},则A= ( )
A.{1} B.{2} C.{3} D.{4}
【解析】选D.因为U={2,3,4},A={2,3},所以A={4}.
2.(2018·汉中高一检测)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,6},B={1,3,5,7}.则A∩(B)等于( )
A.{2,4,5} B.{1,3,5}
C.{2,4,6} D.{2,5}
【解析】选C.B={2,4,6},所以A∩(B)={2,4,6}.
3.(2014·辽宁高考)已知全集U=R,A=,B=,则集合
(A∪B)= ( )
A. B.
C. D.
【解题指南】可先求并集,再利用数轴求补集.
【解析】选D.由于A∪B=,结合数轴可知,
(A∪B)=.
4.若M?U,N?U,且M?N,则 ( )
A.M∩N=N B.M∪N=M
C.N?M D.M?N
【解析】选C.根据已知条件,M,N,U三个集合的关系可用Venn图表示如图:
由图可看出:M∩N=M,M∪N=N,N?M,所以C是正确的.
5.(2018·九江高一检测)设集合M={x|x=3k,k∈Z},P={x|x=3k+1,k∈Z},Q={x|x=3k-1,k∈Z},则(P∪Q)= ( )
A.M B.P C.Q D.?
【解析】选A.集合M={x|x=3k,k∈Z},表示被3整除的整数构成的集合,
P={x|x=3k+1,k∈Z},表示被3除余数为1的整数构成的集合,
Q={x|x=3k-1,k∈Z}={x|x=3n+2,n∈Z},表示被3除余数为2的整数构成的集合,
故P∪Q表示被3除余数为1或余数为2的整数构成的集合, (P∪Q)=M.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知全集S={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|x2+y2≠0},用列举法表示集合A是 .
【解题指南】A是指使x2+y2=0的点集.
【解析】A={(x,y)|x2+y2=0}={(0,0)}.
答案:{(0,0)}
【误区警示】解答本题时易将点集看成数集而致错.
7.设U=R,A={x|a≤x≤b},A={x|x<1或x>3},则a= ,b= .
【解析】因为A={x|a≤x≤b},所以A={x|x
b},又A={x|x<1或x>3},所以a=1,b=3.
答案:1 3
8.已知集合A={x|x【解析】因为B={x|1答案:{a|a≥2}
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2018·西安高一检测)已知全集U={2,3,a2-2a-3},A={2,|a-7|},A={5},求a的值.
【解析】由|a-7|=3,得a=4或a=10,
当a=4时,a2-2a-3=5,当a=10时,a2-2a-3=77?U,所以a=4.
【一题多解】由A∪A=U知
所以a=4.
10.已知全集U=R,集合A={x|x<-1},B={x|2a【解析】由题意得A={x|x≥-1}.
(1)若B=?,则a+3≤2a,即a≥3,满足B?A.
(2)若B≠?,则由B?A,得2a≥-1且2a即-≤a<3.综上可得a≥-.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2018·郴州高一检测)如图,I是全集,M,P,S是I的子集,则阴影部分所表示的集合是 ( )
A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪S
C.(M∩P)∩(S) D.(M∩P)∪(S)
【解析】选C.由图可见阴影部分所表示的集合在M∩P中,同时又在S的补集S中,故(M∩P)∩(S)为所求,故选C.
【补偿训练】(2014·衡水高一检测)图中阴影部分所表示的集合是 ( )
A.B∩((A∪C)) B.(A∪B)∪(B∪C)
C.(A∪C)∩(B) D.((A∩C))∪B
【解析】选A.由图可知阴影部分表示的集合为B∩((A∪C)).
【拓展延伸】用集合表示阴影区域的技巧
用集合运算表示阴影区域时,应仔细观察分析阴影区域与各个集合的关系,在两个集合内用“交”,不在某一集合内用“补”,取两部分的和用“并”.
2.设全集U={1,2,3,4,5},集合S与T都是U的子集,满足S∩T={2},(S)∩T={4},(S)∩(T)={1,5},则有 ( )
A.3∈S,3∈T B.3∈S,3∈T C.3∈S,3∈T D.3∈S,3∈T
【解题指南】解答本题可利用Venn图处理.
【解析】选B.因为S∩T={2},所以2∈S且2∈T,
又(S)∩T=4,所以4?S,4∈T,又(S)∩(T)={1,5},所以(S∪T)={1,5},所以1,5?(S∪T),
如图所示,若3∈T,则3∈(S)∩T,与(S)∩T={4}矛盾,所以3∈S,3∈T.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.如果全集U={x|x是自然数},A,B是U的子集,若A={x|x是正奇数},B={x|x是5的倍数},则B∩A= .
【解析】A={x|x是非负偶数}={0,2,4,6,8,10,…},B={0,5,10,15,…},
B∩A={0,10,20,…}.
答案:{x∈N|x是10的倍数}
4.已知全集U=A∪B中有m个元素,(A)∪(B)中有n个元素.若A∩B非空,则A∩B的元素个数为 .
【解析】因为(A)∪(B)= (A∩B),并且全集U中有m个元素, (A∩B)中有n个元素,所以A∩B中的元素个数为m-n.
答案:m-n
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.已知U=R,A={x|x2+px+12=0},B={x|x2-5x+q=0},若(A)∩B={2},
(B)∩A={4},求A∪B.
【解析】由(A)∩B={2},
所以2∈B且2?A,由A∩(B)={4},
所以4∈A且4?B,
分别代入得42+4p+12=0,22-5×2+q=0,
所以p=-7,q=6;所以A={3,4},B={2,3},
所以A∪B={2,3,4}.
6.设全集U=R,集合A={x|-51},集合C={x|x-m<0},求实数m的取值范围,使其满足下列两个条件:①C?(A∩B);②C?(A)∩(B).
【解析】因为A={x|-5B={x|x<-6或x>1},
所以A∩B={x|1又A={x|x≤-5或x≥4},
B={x|-6≤x≤1},
所以(A)∩(B)={x|-6≤x≤-5}.
而C={x|x当C?(A)∩(B)时,m>-5,所以m≥4.
课件19张PPT。1.1.3 集合的基本运算 （第2课时）1、并集A∪B={x|x∈A，或x∈B}2、交集A∩B={x|x∈A，且x∈B} A A A一、复习回顾一、复习回顾P44复习参考题A组第5题解:A∩B就是新华中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合∴A∩B={ x|x是新华中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学} 例5 新华中学开运动会，设
A={x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}， B={x|x是新华中学高一年级参加跳高赛跑的同学}，
求A ∩ B四、例题讲解解：平面内直线l1、l2可能有三种位置关系：相交、平行或重合（1）设直线l1、l2相交于一点P可表示为L1∩L2={ 点P } （2）设直线l1、l2平行可表示为L1∩L2= （3）设直线l1、l2重合可表示为L1∩L2= L1 = L2 四、例题讲解二、新课讲解观察：集合U与集合A，B之间有何关系？(1)A={1,3,5}，B={2,4,6}，U={1,2,3,4,5,6};(2)A={x|x是有理数},B={x|x是无理数}, U={x|x是实数}(3)A={x|x是澄海中学高一（6）班的男同学},
B={x|x是澄海中学高一（6）班的女同学},
U={x|x是澄海中学高一（6）班的学生}.UAB1、全集 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U. 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作用韦恩图表示为UA2、补集二、新课讲解明确在什么范围内解决问题是非常重要的三、例题讲解补集运算性质随堂练习：B随堂练习：6、如图，阴影部分表示的集合是______UA B3 72 81 5 64 9随堂练习：随堂练习：随堂练习：通过本节课的学习,我们主要应掌握好以下知识：1、全集与补集的概念；2、利用补集，从对立面去考虑问题.1、（作业本）P12 习题1.1 A组 第10题
2、思考：P45 复习参考题B组 第3题
四、小结归纳六、作业课题：§1.3集合的基本运算
教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
课 型：新授课
教学重点：集合的交集与并集、补集的概念；
教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”；
教学过程：
引入课题
我们两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢？
思考（P9思考题），引入并集概念。
新课教学
并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union）
记作：A∪B 读作：“A并B”
即： A∪B={x|x∈A，或x∈B}
Venn图表示：
说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。
例题（P9-10例4、例5）
说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。
问题：在上图中我们除了研究集合A与B的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A与B的交集。
交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection）。
记作：A∩B 读作：“A交B”
即： A∩B={x|∈A，且x∈B}
交集的Venn图表示
说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。
例题（P9-10例6、例7）
拓展：求下列各图中集合A与B的并集与交集
说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集
补集
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U。
补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementary set）,简称为集合A的补集，
记作：CUA
即：CUA={x|x∈U且x∈A}
补集的Venn图表示
说明：补集的概念必须要有全集的限制
例题（P12例8、例9）
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。
集合基本运算的一些结论：
A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A
AA∪B，BA∪B，A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A
（CUA）∪A=U，（CUA）∩A=
若A∩B=A，则AB，反之也成立
若A∪B=B，则AB，反之也成立
若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B
若x∈（A∪B），则x∈A，或x∈B
课堂练习 （1）设A={奇数}、B={偶数}，则A∩Z=A，B∩Z=B，A∩B= （2）设A={奇数}、B={偶数}，则A∪Z=Z，B∪Z=Z，A∪B=Z
归纳小结（略）
作业布置
书面作业：P13习题1.1，第6-12题
提高内容：
已知X={x|x2+px+q=0，p2-4q>0},A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10}，且
，试求p、q；
集合A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若AB={-2，0，1}，求p、q；
A={2，3，a2+4a+2}，B={0，7，a2+4a-2，2-a}，且AB ={3，7}，求B
课件26张PPT。第2课时 奇偶性的应用第一章 1.3.2 奇偶性1.掌握用奇偶性求解析式的方法；
2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以解不等式；
3.进一步加深对函数的奇偶性概念的理解.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 用奇偶性求解析式思考 函数f(x)在区间[a，b]上的解析式与该区间函数图象上的点(x，y)有什么关系？答案答案 满足y＝f(x).一般地，求解析式的任务就是要找到一个含有自变量因变量的等式.如果该等式同时满足两个条件：
①定义域符合要求；
②图象上任意一点均满足该式.
如果知道函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，那么就可以设出关于原点对称区间[－b，－a]上任一点(x，y)，通过关于原点(或y轴)的对称点(－x，－y)(或(－x，y))满足的关系式间接找到(x，y)所满足的解析式.知识点二 奇偶性与单调性答案答案一般地，(1)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是 函数，且有最小值 .
(2)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是 .增－M增函数知识点三 奇偶性的推广答案(a,0)答案x＝a返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 用奇偶性求解析式例1 (1)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求当x<0时，f(x)的解析式；解析答案解 设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，
∴当x<0时，f(x)＝－x－1.解析答案解 ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，反思与感悟反思与感悟求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式.解析答案跟踪训练1 (1)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x，求f(x)的解析式；解 设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝2(－x)＝－2x，
又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝－2x，∴当x<0时，f(x)＝2x.
又f(－0)＝－f(0)，解得f(0)＝0也适合上式.
∴f(x)＝2x，x∈R.解析答案(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝2x，求函数f(x)，g(x)的解析式.解 ∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝2x. ①
用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x，
∴f(x)－g(x)＝－2x， ②
(①＋②)÷2，得f(x)＝0；
(①－②)÷2，得g(x)＝2x.类型二 奇偶性对单调性的影响例2 设f(x)是偶函数，在区间[a，b]上是减函数，试证f(x)在区间[－b，－a]上是增函数.解析答案证明 设x1，x2是区间[－b，－a]上任意两个值，且有x1＜x2.
∵－b≤x1＜x2≤－a，∴a≤－x2＜－x1≤b.
∵f(x)在[a，b]上是减函数，
∴f(－x2)＞f(－x1).∵f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)，
∴f(－x2)＝f(x2)，f(－x1)＝f(x1).
∴f(x2)＞f(x1)，即f(x1)＜f(x2).
∴函数f(x)在区间[－b，－a]上是增函数.反思与感悟反思与感悟与求解析式一样，证哪个区间上的单调性，设x1，x2属于哪个区间.跟踪训练2 已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1,1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－2x)＜0.解 ∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，
∴由f(1－x)＋f(1－2x)＜0，得
f(1－x)＜－f(1－2x).
∴f(1－x)＜f(2x－1).
又∵f(x)在(－1,1)上是减函数，解析答案类型三 对称问题例3 定义在R上的奇函数f(x)满足：f(x－4)＝－f(x)，且x∈[0,2]时，f(x)＝x，试画出f(x)的图象.解析答案解 ∵f(x)是奇函数，∴f(x－4)＝－f(x)＝f(－x)，
∴f(x)关于直线x＝－2对称.
反复利用f(x)关于原点对称又关于直线x＝－2对称，
可画出f(x)的图象如图：反思与感悟反思与感悟奇偶性推广到一般的对称性后，要善于抓住特征识别对称中心(或对称轴)，而应用对称性与应用奇偶性完全类似.解析答案跟踪训练3 定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x－4)＝－f(x)，且x∈[0,2]时，f(x)＝x.试画出f(x)的图象.解 ∵f(x)是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称.
又∵f(x－4)＝－f(x)，∴f(x)关于点C(－2,0)对称.
反复利用f(x)关于(－2,0)对称又关于y轴对称，可画出的图象如图：返回123达标检测 45答案1.f(x)＝x2＋|x|( )
A.是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数
B.是偶函数，在(－∞，＋∞)上是减函数
C.不是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数
D.是偶函数，且在(0，＋∞)是增函数D123452.已知f(x)是奇函数，且x>0时，f(x)＝x－1，则x<0时f(x)等于( )
A.x＋1 B.x－1
C.－x－1 D.－x＋1答案A123453.若奇函数f(x)在R上是增函数，则函数y＝f(－x)在R上是( )
A.单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数
C.单调递增的偶函数 D.单调递增的奇函数答案B123454.定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)A.ab
C.|a|<|b| D.0≤ab≥0答案C123455.已知对于函数f(x)＝x2＋ax定义域内任意x，有f(1－x)＝f(1＋x)，则实数a等于( )
A.1 B.－1 C.2 D.－2答案D规律与方法1.函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用.这种对称推广，就是一般的中心对称或轴对称.
2.(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数.
(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论.返回3.具有奇偶性的函数的单调性的特点：
(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性.
(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性.第2课时 函数的最大(小)值
课时目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.体会函数的最大(小)值与单调性之间的关系.3.会求一些简单函数的最大(小)值．
1．函数的最大值、最小值
最值
最大值
最小值
条件
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有__________．
(2)存在x0∈I，使得__________.
(3)对于任意的x∈I，都有__________．
(4)存在x0∈I，使得__________．
结论
M是函数y＝f(x)的最大值
M是函数y＝f(x)的最小值
2.函数最值与单调性的联系
(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为________，最小值为________．
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为______，最小值为______．
一、选择题
1．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．a≤－3B．a≥－3
C．a≤5D．a≥3
2．函数y＝x＋( )
A．有最小值，无最大值
B．有最大值，无最小值
C．有最小值，最大值2
D．无最大值，也无最小值
3．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[0,2]
C．(－∞，2] D．[1,2]
4．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么( )
A．f(－2)C．f(2)5．函数y＝|x－3|－|x＋1|的( )
A．最小值是0，最大值是4
B．最小值是－4，最大值是0
C．最小值是－4，最大值是4
D．没有最大值也没有最小值
6．函数f(x)＝的最大值是( )
A.B.
C.D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．函数y＝的值域是________．
8．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a9．若y＝－，x∈[－4，－1]，则函数y的最大值为________．
三、解答题
10．已知函数f(x)＝x2－2x＋2.
(1)求f(x)在区间[，3]上的最大值和最小值；
(2)若g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上是单调函数，求m的取值范围．
11．若二次函数满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
能力提升
12．已知函数f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，构造函数F(x)，定义如下：当f(x)≥g(x)时，F(x)＝g(x)；当f(x)A．有最大值3，最小值－1
B．有最大值3，无最小值
C．有最大值7－2，无最小值
D．无最大值，也无最小值
13．已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1，其中a≥0，a∈R.
(1)若a＝1，作函数f(x)的图象；
(2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．
1．函数的最大(小)值
(1)定义中M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0，注意对“存在”的理解．
(2)对于定义域内任意元素，都有f(x)≤M或f(x)≥M成立，“任意”是说对每一个值都必须满足不等式．
拓展 对于函数y＝f(x)的最值，可简记如下：
最大值：ymax或f(x)max；最小值：ymin或f(x)min.
2．函数的最值与值域、单调性之间的联系
(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有
最值，如函数y＝.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．
(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得．即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．
3．二次函数在闭区间上的最值
探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．
第2课时 函数的最大(小)值
知识梳理
1．(1)f(x)≤M (2)f(x0)＝M (3)f(x)≥M (4)f(x0)＝M
2．(1)f(b) f(a) (2)f(a) f(b)
作业设计
1．A [由二次函数的性质，可知4≤－(a－1)，
解得a≤－3.]
2．A [∵y＝x＋在定义域[，＋∞)上是增函数，
∴y≥f()＝，即函数最小值为，无最大值，选A.]
3．D [由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2知，
当x＝1时，y的最小值为2，
当y＝3时，x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝2.
由y＝x2－2x＋3的图象知，当m∈[1,2]时，能保证y的最大值为3，最小值为2.]
4．D [依题意，由f(1＋x)＝f(－x)知，二次函数的对称轴为x＝，因为f(x)＝x2＋bx＋c开口向上，且f(0)＝f(1)，f(－2)＝f(3)，由函数f(x)的图象可知，[，＋∞)为f(x)的增区间，
所以f(1)5．C [y＝|x－3|－|x＋1|＝.
因为[－1,3)是函数y＝－2x＋2的减区间，
所以－46．D [f(x)＝≤.]
7．(0,2]
解析 观察可知y>0，当|x|取最小值时，y有最大值，
所以当x＝0时，y的最大值为2，即0故函数y的值域为(0,2]．
8．－2 0
解析 y＝－(x－3)2＋18，∵a∴函数y在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，
得b＝0(b＝6不合题意，舍去)
－a2＋6a＋9＝－7，得a＝－2(a＝8不合题意，舍去)．
9．2
解析 函数y＝－在[－4，－1]上是单调递增函数，
故ymax＝－＝2.
10．解 (1)∵f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[，3]，
∴f(x)的最小值是f(1)＝1，又f()＝，f(3)＝5，
所以，f(x)的最大值是f(3)＝5，
即f(x)在区间[，3]上的最大值是5，最小值是1.
(2)∵g(x)＝f(x)－mx＝x2－(m＋2)x＋2，
∴≤2或≥4，即m≤2或m≥6.
故m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．
11．解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，∴c＝1，
∴f(x)＝ax2＋bx＋1.
∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴2ax＋a＋b＝2x，
∴，∴，∴f(x)＝x2－x＋1.
(2)由题意：x2－x＋1>2x＋m在[－1,1]上恒成立，
即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立．
令g(x)＝x2－3x＋1－m＝(x－)2－－m，
其对称轴为x＝，
∴g(x)在区间[－1,1]上是减函数，
∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0，∴m<－1.
12．C [画图得到F(x)的图象：
射线AC、抛物线及射线BD三段，
联立方程组
得xA＝2－，
代入得F(x)的最大值为7－2，
由图可得F(x)无最小值，从而选C.]
13．解 (1)当a＝1时，f(x)＝x2－|x|＋1＝.
作图(如右所示)．
(2)当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2－x＋2a－1.
若a＝0，则f(x)＝－x－1在区间[1,2]上是减函数，
g(a)＝f(2)＝－3.
若a>0，则f(x)＝a(x－)2＋2a－－1，
f(x)图象的对称轴是直线x＝.
当0<<1，即a>时，f(x)在区间[1,2]上是增函数，
g(a)＝f(1)＝3a－2.
当1≤≤2，即≤a≤时，
g(a)＝f()＝2a－－1，
当>2，即0g(a)＝f(2)＝6a－3.
综上可得g(a)＝
