北师大版 数学 九年级上 1.3 正方形的性质与判定(1) 教学设计
课题
1.3 正方形的性质与判定(1)
单元
第一章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理；
过程与方法：经历探索正方形有关性质的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法；
情感态度与价值观：培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值．
重点
掌握正方形的概念、性质.
难点
运用正方形的性质进行有关的论证和计算.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
同学们，在前面的学习中，我们学习了菱形和矩形的相关知识，请回答：
问题1、什么是菱形？
答案：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
问题2、什么是矩形？
答案：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
学生积极回答老师的问题.
通过回答问题，为学习正方形的概念及性质做好铺垫
新知讲解
观察：图中的四边形都是特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
共同特征：（1）邻边相等；（2）一个角是直角
归纳：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
练习：下面四个定义中，表述不正确的是( )
A．有一组邻边相等的四边形叫做菱形
B．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
C．有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
D．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
答案：A
议一议：
(1)正方形是矩形吗？是菱形吗？
答案：正方形既是矩形，又是菱形.
(2)你认为正方形的边具有哪些性质？与同伴交流．
答案：正方形具有矩形与菱形的所有性质．
归纳：正方形的性质
定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等.
符号语言：
∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
AB=BC=CD=AD
定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分.
符号语言：
∵四边形ABCD是正方形
∴AC=BD，AC⊥BD，
AO=BO=CO=DO
想一想：观察下面的正方形的对称情况，你发现了什么？
定理3：
（1）正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
（2）正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴.
例：如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．
解：BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下：
(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四条边相等，四个角都是直角).
∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°.
∴∠BCE＝∠DCF.
又∵CE＝CF，
∴△BCE≌△DCF.
∴BE＝DF.
(2)延长BE交DF于点M(如图)．
∵△BCE≌△DCF，
∴∠CBE＝∠CDF.
∵∠DCF＝90°，
∴∠CDF＋∠F＝90°.
∴∠CBE＋∠F＝90°.
∴∠BMF＝90°.
∴BE⊥DF.
议一议：平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个你喜欢的方式直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流.
答案：
学生认真思考，然后回答问题..
学生快速回答问题.
学生积极参与讨论.
学生独立完成后，班内交流，并认真听老师的讲评.
学生讨论，并积极回答问题.
引导学生归纳正方形的概念.
加深学生对特殊的平行四边形的认识.
理解正方形的三条性质.
应用正方形的性质进行相关的计算和论证来解决问题，并进一步学生的应用能力.
掌握平行四边形及特殊平行四边形之间的关系.
课堂练习
1、判断.
（1）正方形一定是矩形；（ ）
（2）正方形一定是菱形；（ ）
（3）菱形一定是正方形；（ ）
（4）矩形一定是正方形；（ ）
（5）正方形、矩形、菱形都是平行四边形.（ ）
答案：√；√；×；×；√
2、如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M，N是AD上的两点，连接MO，NO，并分别延长交边BC于M′，N′两点，则图中的全等三角形共有( )
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
答案：C
学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高
如图，以正方形ABCD的顶点D为顶点在正方形内作等边△DEF，使E、F分别在AB、BC上.
求证：∠BEF＝∠BFE.
证明：在正方形ABCD，等边△DEF中，有
AD＝DC，∠A＝∠C＝90°，DE＝DF，
∴Rt△DAE≌Rt△DCF，
∴∠ADE＝∠CDF；
又∠ADC＝90°，∠EDF＝60°，
∴∠ADE＝∠CDF＝12(90°－60°)＝15°，
∴∠AED＝∠CFD＝75°，
而∠DEF＝∠DFE＝60°，
∴∠BEF＝∠BFE＝45°.
在师的引导下完成问题.
提高学生对知识的应用能力
中考链接
下面让我们一起赏析一道中考题：
（2019·凉山州）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．
求证：OE=OF．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOE=∠AOF=90°,OB=OA，
又∵AM⊥BE，
∴∠MEA+∠MAE=∠AFO+∠MAE=90°,
∴∠MEA=∠AFO,
∴△BOE≌△AOF(AAS)，
∴OE=OF.
在师的引导下完成中考题.
体会所学知识在中考试题运用.
课堂总结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
问题1、什么是正方形？
答案：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
问题2、正方形都有哪些性质？
答案：
（1）正方形的四个角都是直角，四条边相等；
（2）正方形的对角线相等且互相垂直平分；
（3）正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形.
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
作业布置
基础作业
教材第22页习题1.7第1、2题
能力作业
教材第22页习题1.7第3、4题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
借助板书，让学生知道本节课的重点。
课件21张PPT。正方形的性质与判定(1)数学北师大版 九年级上新知导入1、什么是菱形？平行四边形菱形邻边相等 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.新知导入2、什么是矩形？平行四边形矩形一个角是直角 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.新知导入 观察：图中的四边形都是特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.邻边相等 一个角是直角 新知讲解练习：下面四个定义中，表述不正确的是( )
A．有一组邻边相等的四边形叫做菱形
B．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
C．有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
D．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形A新知讲解议一议：
(1)正方形是矩形吗？是菱形吗？
正方形既是矩形，又是菱形.
(2)你认为正方形的边具有哪些性质？与同伴交流．
正方形具有矩形与菱形的所有性质．新知讲解正方形的性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等.符号语言：∵四边形ABCD是正方形?∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°?AB=BC=CD=AD新知讲解正方形的性质定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分.符号语言：∵四边形ABCD是正方形?∴AC=BD，AC⊥BD，?AO=BO=CO=DO新知讲解想一想：观察右侧的正方形的对称情况，你发现了什么？正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴.新知讲解例：如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，且CE＝CF . BE 与DF 之间有怎样的关系？请说明理由．
解：BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下：
(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四条边相等，四个角都是直角).
∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°.
∴∠BCE＝∠DCF.
又∵CE＝CF，
∴△BCE≌△DCF.
∴BE＝DF.新知讲解例：如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，且CE＝CF . BE 与DF 之间有怎样的关系？请说明理由．
(2)延长BE 交DF 于点M(如图)．
∵△BCE ≌△DCF，
∴∠CBE＝∠CDF.
∵∠DCF＝90°，
∴∠CDF＋∠F＝90°.
∴∠CBE＋∠F＝90°.
∴∠BMF＝90°.
∴BE⊥DF.M新知讲解议一议：平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个你喜欢的方式直观地表示它们之间的关系吗 ？与同伴交流.正方形课堂练习1、判断.
（1）正方形一定是矩形; （ ）
（2）正方形一定是菱形; （ ）
（3）菱形一定是正方形; （ ）
（4）矩形一定是正方形; （ ）
（5）正方形、矩形、菱形都是平行四边形. （ ）√ √ × × √ 课堂练习2、如图，在正方形ABCD 中，连接BD，点O 是BD 的中点，若M，N 是AD上的两点，连接MO，NO，并分别延长交边BC 于M ′，N ′两点，则图中的全等三角形共有( )
A．2对
B．3对
C．4对
D．5对C拓展提高如图，以正方形ABCD 的顶点D 为顶点在正方形内作等边△DEF，使E、F 分别在AB、BC上.
求证：∠BEF＝∠BFE .证明：在正方形ABCD，等边△DEF 中，有
AD＝DC，∠A＝∠C＝90°，DE＝DF，
∴Rt△DAE ≌Rt△DCF，∴∠ADE＝∠CDF；
又∠ADC＝90°，∠EDF＝60°，
∴∠ADE＝∠CDF＝ (90°－60°) ＝15°，
∴∠AED＝∠CFD＝75°，
而∠DEF＝∠DFE＝60°，
∴∠BEF＝∠BFE＝45°.?中考链接（2019·凉山州）如图，正方形ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O，E 是OC上一点，连接EB．过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE=OF．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOE=∠AOF=90°, OB=OA，
又∵AM⊥BE，
∴∠MEA+∠MAE=∠AFO+∠MAE=90°,
∴∠MEA=∠AFO,
∴△BOE ≌△AOF (AAS)，
∴OE=OF .课堂总结1、什么是正方形？有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.2、正方形都有哪些性质？（1）正方形的四个角都是直角，四条边相等；（2）正方形的对角线相等且互相垂直平分；（3）正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形.板书设计
课题：1.3正方形的性质与判定(1)
??
教师板演区?
学生展示区1.正方形的概念
2.正方形的性质基础作业
教材第22页习题1.7第1、2题
能力作业
教材第22页习题1.7第3、4题
作业布置
