§1.2.1函数的概念
一、教学目标
知识与技能：
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间
的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．
2、过程与方法：
（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
（2）了解构成函数的要素；
（3）会求一些简单函数的定义域和值域；
（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；
3、情态与价值，使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学习的积极性。
二、教学重点与难点：
重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；
难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；
三、学法与教学用具
1、学法：学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标 .
2、教学用具：投影仪 .
四、教学思路
（一）创设情景，揭示课题
1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；
2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：
（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；
（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；
（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题
3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点。
4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；
5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．
（二）研探新知
1、函数的有关概念
（1）函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（fun_ction）．
记作： y=f(x)，x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．
注意：
① “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．
（2）构成函数的三要素是什么？
定义域、对应关系和值域
（3）区间的概念
①区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
②无穷区间；
③区间的数轴表示．
（4）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？
通过三个已知的函数：y=ax+b (a≠0)
y=ax2+bx+c (a≠0)
y= (k≠0)
比较描述性定义和集合，与对应语言刻画的定义，谈谈体会。
师：归纳总结
（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维。
1、如何求函数的定义域
例1：已知函数f (x) = +
（1）求函数的定义域；
（2）求f（－3），f ()的值；
（3）当a＞0时，求f（a）,f(a－1)的值.
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前所述的三个实例.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合，函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
解：略
例2、设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数的解析式，并写出定义域.
分析：由题意知，另一边长为，且边长为正数，所以0＜x＜40.
所以s= = （40－x）x （0＜x＜40）
引导学生小结几类函数的定义域：
（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .
（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .
（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.
（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）
（5）满足实际问题有意义.
巩固练习：课本P19第1
2、如何判断两个函数是否为同一函数
例3、下列函数中哪个与函数y=x相等？
（1）y = ()2 ; （2）y = () ;
（3）y = ; （4）y=
分析：
构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）
两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
解：（略）
课本P18例2
（四）巩固深化，反馈矫正：
（1）课本P19第3题
（2）判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？
① f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1
② f ( x ) = x； g ( x ) =
③ f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2
④ f ( x ) = | x | ；g ( x ) =
（3）求下列函数的定义域
①
②
③ f(x) = +
④ f(x) =
⑤
（五）归纳小结
①从具体实例引入了函数的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念；②初步介绍了求函数定义域和判断同一函数的基本方法，同时引出了区间的概念。
（六）设置问题，留下悬念
1、课本P24习题1．2（A组） 第1—7题 （B组）第1题
2、举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函数，同时说出函数的定义域、值域和对应关系。
【A组】
1．下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ）
A． B．
C ． D．
答案：C
2.求下列函数定义域：；
答案：
【B组】
1．已知，则= -1 .
2. 已知f(x+1)＝2x－3x＋1，求f(-1)。 变：，求f(f(x))
解法一：先求f(x)，即设x＋1＝t；（换元法） 解法二：先求f(x)，利用凑配法；
解法三：令x＋1=－1，则x＝－2,再代入求。（特殊值法）
3．从集合{a,b}到集合{1,2,3}，可以建立映射的个数是_______9_______.
【C组】
1．已知二次函数，若，则的值为 （ A ）
A．正数B．负数 C．0 D．符号与a有关
2．已知，则等于 （ C ）
A. B.
C. D.
课时提升作业(七)
习题课——函数概念的综合应用
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.函数f(x)=(x∈R)的值域是 ( )
A.[0,1] B.[0,1) C.(0,1] D.(0,1)
【解析】选C.因为x2≥0,所以x2+1≥1,所以0<≤1,所以值域为(0,1].
2.(2018·九江高一检测)下列各组函数中,表示同一个函数的是 ( )
A.y=与y=x+1 B.y=与y=
C.y=-1与y=x-1 D.y=x与y=
【解析】选D.对于选项A:函数y=的定义域不包含1,而y=x+1的定义域是R,显然不是同一个函数.
对于选项B:函数y=的定义域为x≥0,而函数y=的定义域是{x|x≠0},显然不是同一个函数.
对于选项C:函数y=-1的值域是大于等于-1的,而直线y=x-1的值域是R,显然不是同一个函数.
对于选项D:因为y=x与y=的最简解析式相等,且定义域都为R,所以为同一个函数.
【补偿训练】函数y=2的值域是 ( )
A.[0,+∞) B.[1,+∞)
C.(-∞,+∞) D.[,+∞)
【解析】选A.因为x≥0,所以≥0,所以y≥0,所以函数的值域为[0,+∞).
3.已知函数f(x)的定义域为[0,1),则函数f(1-x)的定义域为 ( )
A.[0,1) B.(0,1]
C.[-1,1] D.[-1,0)∪(0,1]
【解题指南】原函数的定义域,即为1-x的范围,解不等式组即可得解.
【解析】选B.因为原函数的定义域为[0,1),
所以0≤1-x<1,即所以0
所以函数f(1-x)的定义域为(0,1].
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.(2018·西安高一检测)函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为 .
【解析】当x=0时,y=0;当x=1时,y=-1;当x=2时,y=0;当x=3时,y=3.故函数的值域为{-1,0,3}.
答案:{-1,0,3}
【补偿训练】已知函数f(x)=2x-3,x∈A的值域为{-1,1,3},则定义域A为 .
【解析】值域为{-1,1,3},即令f(x)分别等于-1,1,3,求出对应的x,则由x组成的集合即为定义域A,为{1,2,3}.
答案:{1,2,3}
5.若函数y=的定义域是A,函数y=的值域是B,则A∩B= .
【解析】由题意知A={x|x≠2},B={y|y≥0},
则A∩B=[0,2)∪(2,+∞).
答案:[0,2)∪(2,+∞)
三、解答题
6.(10分)已知函数y=(1【解析】设x1,x2∈(1,2]且x1则f(x1)-f(x2)=-
=,
因为x10,
因为x1,x2∈(1,2],所以(2x1-1)(2x2-1)>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,所以f(x)在(1,2]上单调递减,所以当1即≤f(x)<1,所以函数的值域为.
【补偿训练】已知函数f(x)=(a∈R且x≠a),当f(x)的定义域为时,求f(x)的值域.
【解析】f(x)==-1+.
当a+≤x≤a+时,-a-≤-x≤-a-,
-≤a-x≤-,-3≤≤-2,
于是-4≤-1+≤-3,
即f(x)的值域为[-4,-3].
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.函数y=的定义域是(-∞,1)∪[2,5),则其值域是( )
A.(-∞,0)∪ B.(-∞,2]
C.∪[2,+∞) D.(0,+∞)
【解题指南】根据定义域求值域.
【解析】选A.因为x∈(-∞,1)∪[2,5),所以x-1∈(-∞,0)∪[1,4),当
x-1∈(-∞,0)时,∈(-∞,0);当x-1∈[1,4)时,∈.
2.(2018·宝鸡高一检测)函数f(x)的定义域为[-6,2],则函数y=f()的定义域为 ( )
A.[-4,4] B.[-2,2]
C.[0,] D.[0,4]
【解析】选D.因为函数f(x)的定义域为[-6,2],
所以-6≤≤2,又因为≥0,
所以0≤≤2,所以0≤x≤4.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.函数y=f(x)的图象如图所示,那么f(x)的定义域是 ;其中只与x的一个值对应的y值的范围是 .
【解析】观察函数图象可知,f(x)的定义域是[-3,0]∪[2,3];只与x的一个值对应的y值的范围是[1,2)∪(4,5].
答案:[-3,0]∪[2,3] [1,2)∪(4,5]
4.(2018·张掖高一检测)给出定义:若m-①f=;
②f(3.4)=-0.4;
③f=f;
④y=f(x)的定义域为R,值域是.
则其中正确的序号是 .
【解析】①因为-1-<-≤-1+,
所以=-1,
所以f=
==,所以①正确;
②因为3-<3.4≤3+,所以{3.4}=3,
所以f(3.4)=|3.4-{3.4}|=|3.4-3|=0.4,
所以②错误;
③因为0-<-≤0+,所以=0,
所以f==,
因为0-<≤0+,所以=0,
所以f==,
所以f=f,所以③正确;
④y=f(x)的定义域为R,值域是,
所以④错误.
答案:①③
三、解答题
5.(10分)记函数f(x)=的定义域为集合A,函数g(x)=图象在二、四象限时,k的取值集合为B,函数h(x)=x2+2x+4的值域为集合C.
(1)求集合A,B,C.
(2)求集合A∪(B),A∩(B∪C).
【解析】(1)由2x-3>0,得x>,所以A=,
又由k-1<0,得k<1,所以B=,
而h(x)=x2+2x+4=+3≥3,所以C=.
(2)A∪(B)=,A∩(B∪C)=.
【拓展延伸】二次函数在R上值域的求法
开口向上的二次函数在R上有最小值,开口向下的二次函数在R上有最大值,当最值求出之后,其值域即可确定.求最值时可以通过配方法求解也可直接用结论.
课时提升作业(六)
函数的概念
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2018·郑州高一检测)函数y=+的定义域为 ( )
A.{x|x≤1} B.{x|x≥0}
C.{x|x≥1,或x≤0} D.{x|0≤x≤1}
【解析】选D.要使函数有意义,需解得0≤x≤1.
【补偿训练】(2018·红河州高一检测)四个函数:
(1)y=x+1;(2)y=x3;(3)y=x2-1;(4)y=.其中定义域相同的函数的序号是 .
【解析】函数y=x+1的定义域是R;函数y=x3的定义域是R;函数y=x2-1的定义域是R;函数y=的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).由此可知定义域相同的序号是(1)(2)(3).
答案:(1)(2)(3)
2.(2018·荆门高一检测)若函数y=f(x)的定义域为{x|-3≤x≤8,x≠5},值域为{y|-1≤y≤2,y≠0},则y=f(x)的图象可能是 ( )
【解析】选B.A中y取不到2,C中不是函数关系,D中x取不到0.
【补偿训练】已知集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是 ( )
A.f:x→y=x B.f:x→y=x
C.f:x→y=x D.f:x→y=
【解题指南】解答此类问题时,若否定结论则只需找一反例即可.
【解析】选C.因为P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},从P到Q的对应关系f:x→y=x,当x=4时,y=>2,所以在集合Q中没有数y与之对应,故构不成函数.
3.(2018·西安高一检测)下列式子中不能表示函数y=f(x)的是 ( )
A.x=y2 B.y=x+1
C.x+y=0 D.y=x2
【解析】选A.从函数的概念来看,一个自变量x对应一个y;而A中x=y2中一个x对应两个y.所以A不是函数.
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.若[a,3a-1]为一确定区间,则a的取值范围是 .
【解析】由题意3a-1>a,则a>.
答案:
【误区警示】本题易忽略区间概念而得出3a-1≥a,则a≥的错误.
5.已知函数f(x)=ax2-1(a≠0),且f(f(1))=-1,则a的取值为 .
【解析】因为f(x)=ax2-1,所以f(1)=a-1,
f(f(1))=f(a-1)=a(a-1)2-1=-1,
所以a(a-1)2=0,又因为a≠0,所以a-1=0,所以a=1.
答案:1
三、解答题
6.(10分)已知函数f(x)=x2+x-1,求
(1)f(2).
(2)f.
(3)若f(x)=5,求x的值.
【解析】(1)f(2)=4+2-1=5.
(2)f=+-1=++1.
(3)f(x)=5,即x2+x-1=5.
由x2+x-6=0得x=2或x=-3.
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.下列函数中,与函数y=有相同定义域的是( )
A.f(x)= B.f(x)=
C.f(x)=|x| D.f(x)=
【解析】选B.因为函数y=的定义域是{x|x≠0},所以A,C,D都不对.
2.已知函数f(x)=-1,则f(2)的值为 ( )
A.-2 B.-1
C.0 D.不确定
【解题指南】解答本题的关键是明确对应关系为定义域中的任意变量的值都对应于-1,即该函数为常函数.
【解析】选B.因为函数f(x)=-1,所以不论x取何值其函数值都等于-1,故f(2)=-1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2018·济南高一检测)函数f(x)=+的定义域是 .
【解析】要使函数有意义,x需满足解得x≥2且x≠3.
答案:[2,3)∪(3,+∞)
4.函数f(x)定义在区间[-2,3]上,则y=f(x)的图象与直线x=a的交点个数为 .
【解析】当a∈[-2,3]时,由函数定义知,y=f(x)的图象与直线x=a只有一个交点;当a?[-2,3]时,y=f(x)的图象与直线x=a没有交点.
答案:0或1
【误区警示】解答本题时易出现不对x=a是否在定义域内讨论而错填1个.
三、解答题
5.(10分)已知f(x)=,x∈R.
(1)计算f(a)+f的值.
(2)计算f(1)+f(2)+f+f(3)+f+f(4)+f的值.
【解题指南】(1)将函数的自变量代入计算即可,
(2)可以分别将f(1),f(2),f,f(3),f,
f(4),f的函数值算出再相加,也可以根据待求式中数据的特征,结合(1)中所得结果求解.
【解析】(1)由于f(a)=,f=,
所以f(a)+f=1.
(2)方法一:因为f(1)==,f(2)==,f==,f(3)==,
f==,f(4)==,
f==,
所以f(1)+f(2)+f+f(3)+f+f(4)+f=++++++=.
方法二:因为f(a)+f=1,从而f(2)+f=f(3)+f=f(4)+f=1,
即++f(4)+f=3,而f(1)=,所以f(1)+f(2)+
f+f(3)+f+f(4)+f=.
课件38张PPT。1.2.1 函数的概念（第1课时）一、知识回顾初中学习的函数概念是什么？ 设在一个变化过程中有两个变量x与y， 如果对于x的每一个值， y都有唯一的值与它对应，则称y是x的函数，x叫自变量，y叫因变量。（变量间的依赖关系）实例1：一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标，炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位:s)变化的规律是
h=130t-5t2 (*)解析式炮弹飞行时间t的变化范围是数集：问题的数学意义：对于数集A中的任意一个时间 t，按照对应关系(*)式，在数集B中都有唯一的高度h和它对应。A={t|0≤ t ≤26}B={h|0≤ h ≤845}二、实例探究炮弹距地面的高度h的变化范围是数集：实例2：近几十年来，大气中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题。下图中的曲线显示了南极上空臭氧空洞的面积从1979~2001年的变化情况：二、实例探究根据上图中的曲线可知
时间t的变化范围是数集：
臭氧层空洞面积S的变化范围是数集:问题数学意义：对于数集A中的任意一个时刻t，按照图中的曲线，在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应.A ={t |1979≤t≤2001}B ={S|0≤S≤26}图象法实例3：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。下表中恩格尔系数随时间(年)变化的情况表明，“八五”计划以来我国城镇居民的生活质量发生了显著变化。请仿照实例1、2描述恩格尔系数和时间（年）的关系。A ={1991,1992,2993,1994,1995,1996,1997,1998,1999,2000,2001}B={53.8,52.9,50.1,49.9, 48.6,46.4,44.5,41.9,39.2,37.9}问题数学意义：对于数集A中的任意一个时刻t，按照表格，在数集B中都有唯一的恩格尔系数与之对应.图象法不同点共同点实例（1）是用解析式刻画变量之间的对应关系（1）都有两个非空数集A、B 问题：三个实例有什么共同点和不同点？（2）两个数集之间都有一种确定的对应关系（3）对于集合A中的任意一个元素 x，在集合B中都有唯一确定的元素 y 与之对应。实例（2）是用图象刻画变量之间的对应关系实例（3）是用表格刻画变量之间的对应关系（3）对于数集A中的任意一个时刻t，按照表格，在数集B中都有唯一的恩格尔系数与之对应.（1）对于数集A中的任意一个时间 t，按照(*)解析式，在数集B中都有唯一的高度h和它对应。（2）对于数集A中的任意一个时刻t，按照图中的曲线，在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应. 设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合A中的任意一个数 x，在集合B中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，就称
f: A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作:
y=f(x) , x∈A x 叫做自变量，x的取值范围构成的集合A叫做函数的定义域；
与x的值相对应的 y值 叫做函数值，所有函数值组成的集合 叫做函数的值域。1、函数的概念：三、新课讲解C={y|y=f(x), x∈A}判断下列集合A到集合B的对应能否构成函数：①定义域和对应法则是否确定②根据所给对应法则，自变量 x在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的一个函数值 y和它对应。定义域、对应法则、值域①定义域、对应法则、值域是决定函数的三要素，是一个整体；②值域是由定义域、对应法则唯一确定；③函数符号 y=f (x) 表示“y 是 x 的函数”，而不是表示“y 等于 f 与 x 的乘积”。三、新课讲解函数三要素：函数符号 y=f (x)的内涵是：
“对于定义域内的任意x，在对应关系f的作用下得到y”
注意：一般情况下，对应关系f可用一个解析式表示，
但在一些情况下，对应关系f不便或不能用解析式
表示，这时，可用图象或表格等表示如何判断给定的两个变量之间是否具有函数关系：①定义域和对应法则是否确定②根据所给对应法则，自变量 x在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的一个函数值 y和它对应。1、函数定义域中的每一个数都有值域中的一个数与之对应
2、函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应
3、集合B中的每一个数都有集合A中的一个数与之对应
4、函数的定义域和值域一定是无限集
5、定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定
6、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素
7、对于不同的x , y的值也不同 √√√××随练请判断正误√×2．常见函数的定义域和值域x≠0R四、例题分析分析：函数定义域通常由问题的实际背景决定。如果只
给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，
那么函数的定义域就是指使得式子有意义的实数
的集合四、例题分析四、例题分析练习分式中分母不为0偶次根式下被开方数大于等于0
零次幂的底数不为0同时使得各部分有意义练习分式中分母不为0偶次根式下被开方数大于等于0零次幂的底数不为0同时使得各部分有意义注意：
①研究一个函数要在其定义域内研究，所以求定义域是研究任何函数的前提。②函数的定义域常常由其实际背景决定，若只给出解析式时，定义域就是使这个式子有意义的实数 x的集合。练习结论：若两个函数的定义域相同，且对应关系完全一致，
则两个函数相等。设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，就称
f: A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作:
y=f(x) , x∈A1、函数的概念：2、函数三要素：定义域、对应关系、值域五、课堂小结(3)若有x0，则x≠0(5)实际问题要受到现实条件的约束，一般取使实际问题有意义的实数的集合(1)分式的分母不等于0(2)偶次根式的被开方数非负(4)如果y=f (x)是由几个部分的式子构成的，则定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即各集合的交集)3、求函数定义域的一般方法求定义域实质就是求解使函数有意义的不等式或不等式组五、课堂小结[答案] (1)①③不是 ②④是 (2)①⑤
[解析] (1)①A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；
②对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与之对应，故是集合A到集合B的函数；
③A中元素负整数没有平方根，故在B中没有对应的元素，故此对应不是A到B的函数；④对于集合A中一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与之对应故是集合A到集合B的函数．
(2)根据函数的定义，一个函数图象与垂直于x轴的直线最多有一个交点，这是通过图象判断其是否构成函数的基本方法．2．已知矩形的周长为1，它的面积S与矩形的一条边长x之间的函数关系为________，其定义域为________．1、（作业本）P24 习题1.2 第1题六、作业课件19张PPT。1.2.1 函数的概念（第2课时）一、复习1、函数的概念：设A、B是两个____________，
如果按照某种_______________,
使得对于集合_____________________,
在______都有_____________________与之对应，
则称 f :A →B 是从集合A到集合B的一个函数.
非空的数集确定的对应关系A中的任意一个元素x集合B唯一确定的一个元素y2、定义域：自变量x的取值范围构成的集合值域：函数值y的取值范围构成的集合C={ y| y=f(x), x ∈ A}_____B3、函数三要素：定义域、对应法则、值域函数的值域由定义域、对应法则唯一确定（1）函数定义域中的每一个数都有值域中的一个数与之对应
（2）集合B中的每一个数都有集合A中的一个数与之对应
（3）函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应
（4）函数的定义域和值域一定是无限集
（5）当函数的定义域是无限集时，值域可能是有限集
（6）定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定
（7）若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素
（8）对于不同的x , y的值也不同 √√√××随练1、请判断正误√×√(1)(2)-222-22-22随练：随练：求定义域之前一般不能先化简解析式(3)若有x0，则x≠0(5)实际问题要受到现实条件的约束，一般取使实际问题有意义的实数的集合(1)分式的分母不等于0(2)偶次根式的被开方数非负(4)如果y=f (x)是由几个部分的式子构成的，则定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即各集合的交集)3、求函数定义域的一般方法求定义域实质就是求解使函数有意义的不等式或不等式组课堂小结2．常见函数的定义域和值域x≠0R结论：若两个函数的定义域相同，且对应关系完全一致，
则两个函数相等。4、以下四组函数中，表示同一函数的是（ ）随练：D随练：C二、基础知识讲解设a，b是两个实数，而且a②以∞为一端时，该端一定要用“小括号”
③数轴上实心点表示包括在区间内的端点，空心点表示不包括在区间内的端点。二、基础知识讲解区间几点注意：
（1）区间是集合
（2）区间的左端点必小于右端点
（3）区间中的元素都是点，可以用数字表示
（4）任何区间均可在数轴上表示出来
（5）以-∞，+∞为区间的一端时，这一端必须
是小括号已知区间[－2a,3a＋5]，则a的取值范围为________．
[答案] (－1，＋∞)
[解析] 由题意可知3a＋5＞－2a，解之得a＞－1.故a的取值范围是(－1，＋∞)．随练随练1、掌握求定义域的一般方法2、能求函数的函数值3、理解区间是表示数集的一种方法，会把不等式转化为区间。五、课堂小结课本P 24 习题1.2 A组 第2、4题
预习 1.2.2 函数的表示法
六、课堂作业（区间的本质是集合）（定义域优先原则）4、函数相等判断：定义域、对应关系相同方法总结:(1)已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定
义域一般设u=g(x),则u的取值范围就是f(x)的定义
域，通过解不等式可求得 (2)已知f[g(x)]的定义域为D，求f(x)的定义域，就是求g(x)在D上的值域七、思考题课题：§1.2.1函数的概念
教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．
教学目的：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
（2）了解构成函数的要素；
（3）会求一些简单函数的定义域和值域；
（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；
教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；
教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；
教学过程：
引入课题
复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；
阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：
（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；
（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；
（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题
备用实例：
我国2003年4月份非典疫情统计：
日 期
22
23
24
25
26
27
28
29
30
新增确诊病例数
106
105
89
103
113
126
98
152
101
引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；
根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．
新课教学
（一）函数的有关概念
1．函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（fun_ction）．
记作： y=f(x)，x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．
注意：
“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．
构成函数的三要素：
定义域、对应关系和值域
3．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；
（3）区间的数轴表示．
4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论
（由学生完成，师生共同分析讲评）
（二）典型例题
1．求函数定义域
课本P20例1
解：（略）
说明：
函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例；
如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；
函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
巩固练习：课本P22第1题
2．判断两个函数是否为同一函数
课本P21例2
解：（略）
说明：
构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）
两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
巩固练习：
课本P22第2题
判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？
（1）f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1
（2）f ( x ) = x； g ( x ) =
（3）f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2
（4）f ( x ) = | x | ；g ( x ) =
（三）课堂练习
求下列函数的定义域
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
归纳小结，强化思想
从具体实例引入了函数的的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念，介绍了求函数定义域和判断同一函数的典型题目，引入了区间的概念来表示集合。
作业布置
课本P28 习题1．2（A组） 第1—7题 （B组）第1题
课件31张PPT。1．2.1 函数的概念第一章 1.2 函数及其表示1.理解函数的概念；
2.了解构成函数的三要素；
3.正确使用函数、区间符号．问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 函数的概念思考1 初中时用运动变化的观点定义函数，用这种观点能否判断只有一个点(0,1)，算不算是函数图象？答案答案 因为只有一个点，用运动变化的观点判断就显得牵强，因此有必要引入用集合和对应来定义的函数概念．函数的概念：
设A，B是 的 集，如果按照某种确定的 f，使对于集合 中的 一个数x，在集合 中都有 的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 ，x∈A.其中，x叫做 ，x的取值范围A叫做函数的 ；与x的值相对应的y值叫做 ，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 ，值域是集合B的子集．答案非空数对应关系A任意B唯一确定y＝f(x)自变量定义域函数值值域思考2 用函数的上述定义可以轻松判断：A＝{0}，B＝{1}，f：0→1，满足函数定义，其图象(0,1)自然是函数图象．试用新定义判断下列对应是不是函数？
(1)f：求周长；A＝{三角形}，B＝R；答案(2) ； 答案 不是，因为集合A不是数集．答案 是．对于数集A中的每一个x，在数集B中都有唯一确定的y和它对应．答案(4) ； (3) ； 答案 是．对于数集A中的每一个x，在数集B中都有唯一确定的y和它对应．答案 不是．一个x＝1，对应了三个不同的y，违反了“唯一确定”．答案(5) ； 答案 不是．x＝3没有相应的y与之对应．知识点二 函数相等思考 函数f(x)＝x2，x∈R与g(t)＝t2，t∈R是不是同一个函数？答案答案 两个函数都是描述的同一集合R中任一元素，按同一对应关系“平方”对应B中唯一确定的元素，故是同一个函数．一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的 相同，并且 完全一致，我们就称这两个函数相等．定义域对应关系知识点三 区间思考1 填写下表中不等式、区间和数轴的对应关系：答案(－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞)答案 (－∞，a] (－∞，a) [a，b)返回答案思考2 若集合A＝{x|a若已知区间(a,2a)，则实数a的取值范围是________．a≤0 a>0题型探究 重点难点 个个击破类型一 函数的概念例1 判断下列对应是否为集合A到集合B的函数．
(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；解析答案(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；解 A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数．解 对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数．解析答案(4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0.解 集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数．解 对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数．反思与感悟判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断：(1)A，B必须是非空数集；(2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；(3)A中任何一个元素在B中必须有唯一一个元素与其对应．解析答案跟踪训练1 下列对应是从集合A到集合B的函数的是( )B.A＝N，B＝N*，f：x→|x－1|
C.A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，f：x→x2解析 A中x＝0时，绝对值还为0，集合B中没有0；
B中x＝1时，绝对值x－1＝0，集合B中没有0；
C正确；
D不正确.C类型二 函数相等例2 下列函数中哪个与函数y＝x相等？解析答案解析答案值域不同，且当x<0时，它的对应关系与函数y＝x不相同，所以不相等；解析答案反思与感悟在两个函数中，两个函数的定义域、值域、对应关系有一个不同，两函数就不相等，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才相等.解析答案跟踪训练2 下列各组中的两个函数是否为相等的函数？解 两函数定义域不同，所以不相等；解析答案类型三 “对应关系f ”的表现形式例3 (1)已知函数f(x)＝2x＋1，求f(0)和f [f (0)]；解析答案解 f(0)＝2×0＋1＝1.
∴f [f (0)]＝f(1)＝2×1＋1＝3.解 x为有理数或无理数，故定义域为R.
只有两个函数值0,1，故值域为{0,1}.解析答案(3)若f(x)、g(x)对应关系分别由下表给定，求f [g(x)]的值域.解 f [g(x)]中的x＝1,2,3.
由表知g(1)＝1，g(2)＝2，g(3)＝1，
∴f [g(1)]＝f(1)＝3，f [g(2)]＝f(2)＝2，f [g(3)]＝f(1)＝3.
∴值域为{2,3}.反思与感悟“某种确定的对应关系f”可以有各种表现形式，可以是传统的一个解析式，可以是分成若干段，每段一个解析式，也可以用表格硬性指定对应关系.解析答案跟踪训练3 (1)已知函数f(x)＝2x＋1，求 f [f(x)]；(2)如图是函数f(x)的图象，试写出f(x)的解析式.解 f [f(x)]＝2f(x)＋1＝2(2x＋1)＋1＝4x＋3.返回123达标检测 45答案1.对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有( )
①y是x的函数；
②对于不同的x，y的值也不同；
③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量；
④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个B123452.下列说法中，不正确的是( )
A.函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应
B.函数的定义域和值域一定是无限集合
C.定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了
D.若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素答案B123453.下列关于函数与区间的说法正确的是( )
A.函数定义域必不是空集，但值域可以是空集
B.函数定义域和值域确定后，其对应关系也就确定了
C.数集都能用区间表示
D.函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应答案D123454.区间(0,1)等于( )
A.{0,1} B.{(0,1)}
C.{x|0A.f(a)∈B
B.f(a)有且只有一个
C.若f(a)＝f(b)，则a＝b
D.若a＝b，则f(a)＝f(b)答案C1.函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.由于函数的定义域和对应关系一经确定，值域随之确定，所以判断两个函数是否相等只须两个函数的定义域和对应关系一样即可.
2.f(x)是函数符号，f表示对应关系，f(x)表示x对应的函数值，绝对不能理解为f与x的乘积.在不同的函数中f的具体含义不同，对应关系可以是解析式、图象、表格等.函数除了可用符号f(x)表示外，还可用g(x)，F(x)等表示.返回§1.2 函数及其表示
1．2.1 函数的概念
课时目标 1.理解函数的概念，明确函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集，表示简单函数的定义域、值域.3.会求一些简单函数的定义域、值域．
1．函数
(1)设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的__________，使对于集合A中的____________，在集合B中都有________________和它对应，那么就称f：________为从集合A到集合B的一个函数，记作__________________．其中x叫做________，x的取值范围A叫做函数的________，与x的值相对应的y值叫做________，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________．
(2)值域是集合B的________．
2．区间
(1)设a，b是两个实数，且a①满足不等式__________的实数x的集合叫做闭区间，表示为________；
②满足不等式__________的实数x的集合叫做开区间，表示为________；
③满足不等式________或________的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为______________．
(2)实数集R可以用区间表示为__________，“∞”读作“无穷大”，“＋∞”读作“__________”，“－∞”读作“________”．
我们把满足x≥a，x>a，x≤b，x一、选择题
1．对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有( )
①y是x的函数
②对于不同的x，y的值也不同
③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量
④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来
A．1个B．2个
C．3个D．4个
2．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有( )
A．①②③④B．①②③
C．②③D．②
3．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝x－1和y＝
B．y＝x0和y＝1
C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝和g(x)＝
4．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有( )
A．10个B．9个C．8个D．4个
5．函数y＝＋的定义域为( )
A．{x|x≤1}B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1或x≤0}D．{x|0≤x≤1}
6．函数y＝的值域为( )
A．[－1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－∞，－1]
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是{1,2,3}，其定义如下表：
x
1
2
3
f(x)
2
3
1
x
1
2
3
g(x)
1
3
2
x
1
2
3
g[f(x)]
填写后面表格，其三个数依次为：____________.
8．如果函数f(x)满足：对任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)f(b)，且f(1)＝1，则＋＋＋＋…＋＝________.
9．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为______________．
10．若函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(2x)＋f(x＋)的定义域为________．
三、解答题
11．已知函数f()＝x，求f(2)的值．
能力提升
12．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：
(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？
(3)第一次休息时，离家多远？
(4)11∶00到12∶00他骑了多少千米？
(5)他在9∶00～10∶00和10∶00～10∶30的平均速度分别是多少？
(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？
13．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2m，渠深为1.8m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)
(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；
(2)确定函数的定义域和值域；
(3)画出函数的图象．
1．函数的判定
判定一个对应关系是否为函数，关键是看对于数集A中的任一个值，按照对应关系所对应数集B中的值是否唯一确定，如果唯一确定，就是一个函数，否则就不是一个函数．
2．由函数式求函数值，及由函数值求x，只要认清楚对应关系，然后对号入座就可以解决问题．
3．求函数定义域的原则：①当f(x)以表格形式给出时，其定义域指表格中的x的集合；②当f(x)以图象形式给出时，由图象范围决定；③当f(x)以解析式给出时，其定义域由使解析式有意义的x的集合构成；④在实际问题中，函数的定义域由实际问题的意义确定．
§1.2 函数及其表示
1．2.1 函数的概念
知识梳理
1．(1)对应关系f 任意一个数x 唯一确定的数f(x) A→B y＝f(x)，x∈A 自变量 定义域 函数值 值域 (2)子集
2．(1)①a≤x≤b [a，b] ②a作业设计
1．B [①、③正确；②不对，如f(x)＝x2，当x＝±1时y＝1；④不对，f(x)不一定可以用一个具体的式子表示出来，如南极上空臭氧空洞的面积随时间的变化情况就不能用一个具体的式子来表示．]
2．C [①的定义域不是集合M；②能；③能；④与函数的定义矛盾．故选C.]
3．D [A中的函数定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同，故选D.]
4．B [由2x2－1＝1,2x2－1＝7得x的值为1，－1,2，－2，定义域为两个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”．]
5．D [由题意可知解得0≤x≤1.]
6．B
7．3 2 1
解析 g[f(1)]＝g(2)＝3，g[f(2)]＝g(3)＝2，
g[f(3)]＝g(1)＝1.
8．2010
解析 由f(a＋b)＝f(a)f(b)，令b＝1，∵f(1)＝1，
∴f(a＋1)＝f(a)，即＝1，由a是任意实数，
所以当a取1,2,3，…，2010时，得＝＝…＝＝1.故答案为2010.
9．{－1,1,3,5,7}
解析 ∵x＝1,2,3,4,5，∴f(x)＝2x－3＝－1,1,3,5,7.
10．[0，]
解析 由
得即x∈[0，]．
11．解 由＝2，解得x＝－，所以f(2)＝－.
12．解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米．
(2)10∶30开始第一次休息，休息了半小时．
(3)第一次休息时，离家17千米．
(4)11∶00至12∶00他骑了13千米．
(5)9∶00～10∶00的平均速度是10千米/时；10∶00～10∶30的平均速度是14千米/时．
(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．
13．解 (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2m，上底为(2＋2h)m，高为hm，
∴水的面积A＝＝h2＋2h(m2)．
(2)定义域为{h|0由函数A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的图象可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大，
∴0故值域为{A|0(3)由于A＝(h＋1)2－1，对称轴为直线h＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0
