13.5.2 线段垂直平分线 教案
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文档简介
第2课时 线段垂直平分线
●教学目标
知识与技能
掌握线段垂直平分线的性质定理和判定定理，能灵活运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解题．
过程与方法
通过经历线段垂直平分线性质定理与判定定理的证明过程，体验逻辑推理的数学方法．
情感、态度与价值观
通过认识上的升华，使学生加深对命题证明的认识，使学生发现数学．
●教学重点
重点
线段垂直平分线的性质定理和判定定理，能灵活运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解题．
难点
灵活运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解题．
●教学过程
一、创设情景，明确目标
教师讲解：我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，并知道线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．我们也可以用逻辑推理的方法证明这一结论．
二、自主学习，指向目标
1．自学教材．
三、合作探究，达成目标
线段垂直平分线定理
教师讲解题意并在黑板上绘出图形：上述问题用数学语言可以这样表示：如图，设直线MN是线段AB的垂直平分线，点C是垂足．点P是直线MN上任意一点，连接PA、PB，我们要证明的是PA＝PB.
【展示点评】图中有两个直角三角形，△APC和△BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA＝PB.
教师要求学生自己写已知、求证，自己证明．学生证明完后教师板书证明过程供学生对照．
已知：MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上任意一点．
求证：PA＝PB.
证明：在△APC和△BPC中，
PC＝PC(公共边)，
∠PCB＝∠PCA(垂直定义)，
AC＝BC(已知)，
∴△APC≌△BPC(S.A.S.)．
∴PA＝PB(全等三角形性质)．
【小结归纳】
因为点P是线段垂直平分线上的一点，于是就有定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．
线段垂直平分线的判定定理
教师提问：上述定理的逆定理应当怎样表述？
学生回答后，教师总结并板书：此定理的逆命题是“到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”．
教师进一步提问：这个问题怎样用“如果……，那么……”表示．
学生回答后，教师复述“如果有一点到一条线段的两个端点的距离相等，那么这一点在这条线段的垂直平分线上”．教师要求学生自己绘图，并写出已知求证，学生写完后教师板书已知与求证，供学生对照．
已知：如图中，QA＝QB.
求证：点Q在线段的垂直平分线上．
【展示点评】为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先经过点Q作线段AB的垂线，然后证明垂线平分线段AB；也可以先平分线段AB，设线段AB的中点为C，然后证明QC垂直于线段AB.
教师要求学生自己证明，学生证明后教师作简单证明．
【小结归纳】
到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
三角形三边的垂直平分线交于一点
【展示点评】上述两条定理互为逆定理，根据上述两条定理，我们很容易证明：三角形三边的垂直平分线交于一点．从图中可以看出，要证明三条垂直平分线交于一点，只需证明其中的两条垂直平分线的交点一定在第三条垂直平分线上就可以了．
教师要求学生写出证明全过程，学生证明后教师板书证明过程供学生对照．
四、总结梳理，内化目标
学会证明线段垂直平分线定理与逆定理，同时会运用它们．
五、达标检测，反思目标
见学生用书“基础练·巩固新知”部分．
●教学反思
本节课采用直观操作以及讨论交流的方式，有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知的理解和掌握，不足之处是学生对垂直平分线的判定的运用不够灵活．
●教学目标
知识与技能
掌握线段垂直平分线的性质定理和判定定理，能灵活运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解题．
过程与方法
通过经历线段垂直平分线性质定理与判定定理的证明过程，体验逻辑推理的数学方法．
情感、态度与价值观
通过认识上的升华，使学生加深对命题证明的认识，使学生发现数学．
●教学重点
重点
线段垂直平分线的性质定理和判定定理，能灵活运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解题．
难点
灵活运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解题．
●教学过程
一、创设情景，明确目标
教师讲解：我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，并知道线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．我们也可以用逻辑推理的方法证明这一结论．
二、自主学习，指向目标
1．自学教材．
三、合作探究，达成目标
线段垂直平分线定理
教师讲解题意并在黑板上绘出图形：上述问题用数学语言可以这样表示：如图，设直线MN是线段AB的垂直平分线，点C是垂足．点P是直线MN上任意一点，连接PA、PB，我们要证明的是PA＝PB.
【展示点评】图中有两个直角三角形，△APC和△BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA＝PB.
教师要求学生自己写已知、求证，自己证明．学生证明完后教师板书证明过程供学生对照．
已知：MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上任意一点．
求证：PA＝PB.
证明：在△APC和△BPC中，
PC＝PC(公共边)，
∠PCB＝∠PCA(垂直定义)，
AC＝BC(已知)，
∴△APC≌△BPC(S.A.S.)．
∴PA＝PB(全等三角形性质)．
【小结归纳】
因为点P是线段垂直平分线上的一点，于是就有定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．
线段垂直平分线的判定定理
教师提问：上述定理的逆定理应当怎样表述？
学生回答后，教师总结并板书：此定理的逆命题是“到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”．
教师进一步提问：这个问题怎样用“如果……，那么……”表示．
学生回答后，教师复述“如果有一点到一条线段的两个端点的距离相等，那么这一点在这条线段的垂直平分线上”．教师要求学生自己绘图，并写出已知求证，学生写完后教师板书已知与求证，供学生对照．
已知：如图中，QA＝QB.
求证：点Q在线段的垂直平分线上．
【展示点评】为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先经过点Q作线段AB的垂线，然后证明垂线平分线段AB；也可以先平分线段AB，设线段AB的中点为C，然后证明QC垂直于线段AB.
教师要求学生自己证明，学生证明后教师作简单证明．
【小结归纳】
到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
三角形三边的垂直平分线交于一点
【展示点评】上述两条定理互为逆定理，根据上述两条定理，我们很容易证明：三角形三边的垂直平分线交于一点．从图中可以看出，要证明三条垂直平分线交于一点，只需证明其中的两条垂直平分线的交点一定在第三条垂直平分线上就可以了．
教师要求学生写出证明全过程，学生证明后教师板书证明过程供学生对照．
四、总结梳理，内化目标
学会证明线段垂直平分线定理与逆定理，同时会运用它们．
五、达标检测，反思目标
见学生用书“基础练·巩固新知”部分．
●教学反思
本节课采用直观操作以及讨论交流的方式，有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知的理解和掌握，不足之处是学生对垂直平分线的判定的运用不够灵活．