13.5.3.角平分线 教学设计
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文档简介
第3课时 角平分线
●教学目标
知识与技能
掌握角平分线的性质定理和判定定理，能灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题．
过程与方法
让学生通过自主探索，运用逻辑推理的方法证明关于角平分线的重要结论，并体会感性认识与理性认识之间的联系与区别．
情感、态度与价值观
通过认识的升华，使学生进一步理解数学，也使学生关注数学、热爱数学．
●教学重点
重点
角平分线的性质定理和判定定理，能灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题．
难点
灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题．
●教学过程
一、创设情景，明确目标
通过上一节课我们知道，往往性质定理与其相应的判定定理是互为逆定理．这节课我们将探究角平分线性质定理的逆定理——角平分线判定定理的证明．
二、自主学习，指向目标
1．自学教材．
三、合作探究，达成目标
角平分线定理
我们知道角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，角平分线的这条性质是怎样得到的呢？
如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E.过去我们在验证这个定理的正确性时是在透明纸上描出了图，然后沿着射线OC对折，观察发现线段PD和PE完全重合，于是就说PD＝PE.
【展示点评】与等腰三角形的判定方法相类似，这个定理也可用逻辑推理的方法加以证明．图中有两个直角三角形：△PDO和△PEO，只要证明这两个三角形全等，便可证得PD＝PE.
(教师要求学生按格式要求写出证明，学生写出后教师板书供学生订正．)
定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
角平分线判定定理
提问：角平分线性质定理的逆命题是“到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上”．这个命题是否是真命题呢？
【展示点评】即到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？我们可以通过“证明”来解答这个问题．
教师写出已知、求证．
已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE.
求证：点Q在∠AOB的平分线上．
【展示点评】
为了证明点Q在∠AOB的平分线上，可以作射线OQ，然后证明Rt△DOQ≌Rt△EOQ，从而得到：∠AOQ＝∠BOQ.
(教师让学生自己书写证明过程，学生证明后，教师板书证明过程供学生对照．)
角平分线判定定理到一个角的两边距离相等的点．在这个角的平分线上．
三角形三条角平分线交于一点．
教师要求学生证明“三角形三条角平分线交于一点”这一命题，要求学生画图、已知、求证．
已知：如图所示，AD、BE分别是△ABC中∠A与∠B的平分线，AD、BE相交于O点．
求证：∠C的平分线也过O点．
【展示点评】要证明三条角平分线交于一点，只需证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了．
证明：连接CO，延长CO交AB于F，过O点作OH⊥AC于H，作OG⊥BC于G，作OI⊥AB于I.
∵AD是∠BAC的平分线，且O点在AD上，
∴OH＝OI(角平分线性质定理)，
∵BE是∠ABC的平分线，且O点在BE上，
∴OG＝OI(角平分线性质定理)，
∴OH＝OG.
又∵OH⊥AC，OG⊥BC，∴FC是∠ACB的平分线(角平分线判定定理)．
∴△ABC的三个内角平分线相交于一点O.
四、总结梳理，内化目标
学会了证明角平分线性质定理与判定定理，并会应用这个定理．会证明三角形三条角平分线相交于一点，并会运用这个命题．
五、达标检测，反思目标
见学生用书“基础练·巩固新知”部分
●教学反思
本节课主要有两个知识点，学生的目标完成情况较好，不足之处是学生见到角平分线这一条件时易忽略“距离”这一关键元素二导致出错．
●教学目标
知识与技能
掌握角平分线的性质定理和判定定理，能灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题．
过程与方法
让学生通过自主探索，运用逻辑推理的方法证明关于角平分线的重要结论，并体会感性认识与理性认识之间的联系与区别．
情感、态度与价值观
通过认识的升华，使学生进一步理解数学，也使学生关注数学、热爱数学．
●教学重点
重点
角平分线的性质定理和判定定理，能灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题．
难点
灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题．
●教学过程
一、创设情景，明确目标
通过上一节课我们知道，往往性质定理与其相应的判定定理是互为逆定理．这节课我们将探究角平分线性质定理的逆定理——角平分线判定定理的证明．
二、自主学习，指向目标
1．自学教材．
三、合作探究，达成目标
角平分线定理
我们知道角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，角平分线的这条性质是怎样得到的呢？
如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E.过去我们在验证这个定理的正确性时是在透明纸上描出了图，然后沿着射线OC对折，观察发现线段PD和PE完全重合，于是就说PD＝PE.
【展示点评】与等腰三角形的判定方法相类似，这个定理也可用逻辑推理的方法加以证明．图中有两个直角三角形：△PDO和△PEO，只要证明这两个三角形全等，便可证得PD＝PE.
(教师要求学生按格式要求写出证明，学生写出后教师板书供学生订正．)
定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
角平分线判定定理
提问：角平分线性质定理的逆命题是“到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上”．这个命题是否是真命题呢？
【展示点评】即到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？我们可以通过“证明”来解答这个问题．
教师写出已知、求证．
已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE.
求证：点Q在∠AOB的平分线上．
【展示点评】
为了证明点Q在∠AOB的平分线上，可以作射线OQ，然后证明Rt△DOQ≌Rt△EOQ，从而得到：∠AOQ＝∠BOQ.
(教师让学生自己书写证明过程，学生证明后，教师板书证明过程供学生对照．)
角平分线判定定理到一个角的两边距离相等的点．在这个角的平分线上．
三角形三条角平分线交于一点．
教师要求学生证明“三角形三条角平分线交于一点”这一命题，要求学生画图、已知、求证．
已知：如图所示，AD、BE分别是△ABC中∠A与∠B的平分线，AD、BE相交于O点．
求证：∠C的平分线也过O点．
【展示点评】要证明三条角平分线交于一点，只需证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了．
证明：连接CO，延长CO交AB于F，过O点作OH⊥AC于H，作OG⊥BC于G，作OI⊥AB于I.
∵AD是∠BAC的平分线，且O点在AD上，
∴OH＝OI(角平分线性质定理)，
∵BE是∠ABC的平分线，且O点在BE上，
∴OG＝OI(角平分线性质定理)，
∴OH＝OG.
又∵OH⊥AC，OG⊥BC，∴FC是∠ACB的平分线(角平分线判定定理)．
∴△ABC的三个内角平分线相交于一点O.
四、总结梳理，内化目标
学会了证明角平分线性质定理与判定定理，并会应用这个定理．会证明三角形三条角平分线相交于一点，并会运用这个命题．
五、达标检测，反思目标
见学生用书“基础练·巩固新知”部分
●教学反思
本节课主要有两个知识点，学生的目标完成情况较好，不足之处是学生见到角平分线这一条件时易忽略“距离”这一关键元素二导致出错．