§1．2．2函数的表示法
一．教学目标
1．知识与技能
（1）明确函数的三种表示方法；
（2）会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数；
（3）通过具体实例，了解简单的分段函数及应用．
2．过程与方法：
学习函数的表示形式，其目的不仅是研究函数的性质和应用的需要，而且是为加深理解函数概念的形成过程．
3．情态与价值
让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法。
二．教学重点和难点
教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．
教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．
三．学法及教学用具
1．学法：学生通过观察、思考、比较和概括，从而更好地完成本节课的教学目标．
2．教学用具：圆规、三角板、投影仪．
四．教学思路
（一）创设情景，揭示课题．
我们在前两节课中，已经学习了函数的定义，会求函数的值域，那么函数有哪些表示的方法呢？这一节课我们研究这一问题．
（二）研探新知
1．函数有哪些表示方法呢？
（表示函数的方法常用的有：解析法、列表法、图象法三种）
2．明确三种方法各自的特点？
（解析式的特点为：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域．列表法的特点为：不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值、图像法的特点是：能直观形象地表示出函数的变化情况）
（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维．
例1．某种笔记本的单价是5元，买个笔记本需要元，试用三种表示法表示函数．
分析：注意本例的设问，此处“”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．
解：（略）
注意：
①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等；
②解析法：必须注明函数的定义域；
象法：是否连线；
④列④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表：
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
王 伟
98
87
91
92
88
95
张 城
90
76
88
75
86
80
赵 磊
68
65
73
72
75
82
班平均分
88.2
78.3
85.4
80.3
75.7
82.6
请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．
分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？
解：（略）
注意：
①本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点：
②本例能否用解析法？为什么？
例3．画出函数的图象
解：（略）
例4．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：
（1）乘坐汽车5公里以内，票价2元；
（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算），已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义，根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．
解：（略）
注意：
①本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义；
②象例3、例4中的函数，称为分段函数．
③分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
（四）巩固深化，反馈矫正．
（1）课本P23 练习第1，2，3题
（2）国内投寄信函（外埠），假设每封信函不超过20，付邮资80分，超过20而不超过40付邮资160分，每封（0＜≤100＝的信函应付邮资为（单位：分）
（五）归纳小结
理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法。
（六）设置问题，留下悬念．
（1）课本P24习题（A组）8，9；
（2）如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的边长为，面积为，把表示成的函数．
【A组】
1．已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t（小时）的函数表达式是（ D ） （ ）
A．x=60t B．x=60t+50t
C．x= D．x=
２．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是 （ Ｂ ）
３. ；若 .答案：０；４
【B组】
1．下列图中，画在同一坐标系中，函数与函数的图象只可能是 （ Ｂ ）
２．设，则 （ Ａ ）
A． B．0 C． D．
【C组】
１．已知f满足f(ab)=f(a)+ f(b)，且f(2)=，那么等于 （ Ｂ ）
A． B． C． D．
２．某地的中国移动“神州行”卡与中国联通130网的收费标准如下表：
网络
月租费
本地话费
长途话费
甲：联通130网
12元
每分钟0.36元
每6秒钟0.06元
乙：移动“神州行”卡
无
每分钟0.6元
每6秒钟0.07元
(注:本地话费以分钟为单位计费,长途话费以6秒钟为单位计费)
若某人每月拨打本地电话时间是长途电话时间的5倍,且每月通话时间(分钟)的范围在区间(60,70)内,则选择较为省钱的网络为 （ Ａ ）
A.甲 B.乙 C.甲乙均一样 D.分情况确定
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课时提升作业(九)
分段函数及映射
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2015·南阳高一检测)设集合A={2,4,6,8,10},B={1,9,25,49,81,100},下面的对应关系f能构成A到B的映射的是( )
A.f:x→(x-1)2 B.f:x→(2x-3)2
C.f:x→-2x-1 D.f:x→2x-3
【解析】选A.观察集合A与B中的元素,可知集合A中元素减1后的平方对应集合B中的元素.故选项A构成从A到B的映射.
2.(2015·天津高一检测)集合A的元素按对应关系“先乘再减1”和集合B中的元素对应,在这种对应所成的映射f:A→B,若集合B={1,2,3,4,5},那么集合A不可能是 ( )
A.{4,6,8} B.{4,6}
C.{2,4,6,8} D.{10}
【解析】选C.设x∈A,则f(x)=x-1,由f(x)=1得x=4,由f(x)=2,得x=6.由f(x)=3得x=8;由f(x)=4得x=10;由f(x)=5得x=12,据此可知,x≠2,故应选C.
3.已知A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},映射f:A→B(其中x∈A,y∈B)的对应关系可以是 ( )
①f:x→y=x-2;②f:x→y=x;
③f:x→y=;④f:x→y=|x-2|.
A.①② B.①③ C.①②③④ D.②③④
【解析】选D.按照①给出的对应关系,A中元素0在B中没有元素与之对应,按照②,③,④给出的对应关系,A中任何一个元素在B中都有元素与之对应且唯一.
4.(2015·西安高一检测)已知函数f(x)的图象是两条线段(如图,不含端点),则f(f)= ( )
A.- B. C.- D.
【解析】选B.由图象知,f(x)=
所以f=-1=-,
所以f(f)=f=-+1=.
5.(2014·济宁高一检测)已知f(x)=则f+f等
于 ( )
A.-2 B.4 C.2 D.-4
【解析】选B.f=2×=,f=f=f=f
=f=,故f+f=4.
【补偿训练】设f(x)=则f(5)的值是( )
A.24 B.21 C.18 D.16
【解析】选A.f(5)=f(f(10)),f(10)=f(f(15))=f(18)=21,f(5)=f(21)=24.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.函数f(x)=则函数的值域是 .
【解析】因为f(x)=
所以函数的值域是{2,4,5}.
答案:{2,4,5}
7.设A=R,B={x|x≥1},映射f:A→B,且A中元素x与B中元素y=x2+1对应.当y=2时,则x= .
【解析】由x2+1=2,得x=±1.
答案:±1
8.设集合A=,B=,函数f(x)=若x0∈A,且f(f(x0))∈A,则x0的取值范围是 .
【解题指南】要求x0的取值范围,应先构造关于x0的不等式,然后解不等式得结论.
【解析】x0∈A时,f(x0)∈,
所以f(f(x0))=2=2∈A,
解得答案:三、解答题(每小题10分,共20分)
9.下列对应关系中,哪些是从集合A到集合B的映射?
(1)A=R,B={0,1},对应关系f:x→y=
(2)设A={矩形},B={实数},对应关系f:矩形的面积.
【解析】(1)对于集合A中任意一个非负数都唯一对应元素1,对于集合A中任意一个负数都唯一对应元素0,所以f是从集合A到集合B的映射.
(2)对于每一个矩形,它的面积是唯一确定的,所以f是从集合A到集合B的映射.
10.已知f(x)=
(1)画出f(x)的图象.
(2)求函数f(x)的定义域和值域.
【解析】(1)利用描点法,作出f(x)的图象,如图所示.
(2)由条件知,函数f(x)的定义域为R.
由图象知,当-1≤x≤1时,
f(x)=x2的值域为[0,1],
当x>1或x<-1时,f(x)=1,所以f(x)的值域为[0,1].
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.已知函数f(x)=若f(f(x))=2,则x的取值范围是 ( )
A.? B.[-1,1]
C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.{2}∪[-1,1]
【解析】选D.若x∈[-1,1],则有f(x)=2?[-1,1],所以f(2)=2;若x?[-1,1],则f(x)=x?[-1,1],所以f(f(x))=x,此时若f(f(x))=2,则有x=2.
【误区警示】本题易将x?[-1,1]的情况漏掉而错选B.
2.(2015·济南高一检测)某城市出租车起步价为10元,最长可租乘3km(含3km),以后每1km为1.6元(不足1km,按1km计费),若出租车行驶在不需等待的公路上,则出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图象大致为 ( )
【解析】选C.由题意,当0当3当n-1二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2015·宝鸡高一检测)已知集合A={a,b},B={c,d},则从A到B的不同映射有
个.
【解析】a→c,b→c;a→d,b→d;a→c,b→d;a→d,b→c,共4个.
答案:4
【拓展延伸】从集合A到集合B映射个数规律
从集合A到集合B的映射可采用列举法一一列举出来.一般有如下规律:若集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,那么从集合A到集合B的映射有nm个.
4.若定义运算a☉b=则函数f(x)=x☉(2-x)的值域是 .
【解析】由题意得f(x)=根据函数f(x)的图象得值域是(-∞,1].
答案:(-∞,1]
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.已知集合A=R,B={(x,y)|x,y∈R},f:A→B是从A到B的映射,f:x→(x+1,x2+1),求A中元素在B中的对应元素和B中元素在A中的对应元素.
【解析】将x=代入对应关系,可求出其在B中的对应元素为(+1,3).由得x=.所以在B中的对应元素为(+1,3),在A中的对应元素为.
6.如图是一个电子元件在处理数据时的流程图:
(1)试确定y与x的函数解析式.
(2)求f(-3),f(1)的值.
(3)若f(x)=16,求x的值.
【解题指南】弄清流程图的含义是解答本题的关键.
【解析】(1)y=
(2)f(-3)=(-3)2+2=11;f(1)=(1+2)2=9.
(3)若x≥1,则(x+2)2=16,解得x=2或x=-6(舍去).
若x<1,则x2+2=16,解得x=(舍去)或x=-.
综上,可得x=2或x=-.
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课时提升作业(八)
函数的表示法
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知f(x)是反比例函数,且f(-3)=-1,则f(x)的解析式为 ( )
A.f(x)=- B.f(x)=
C.f(x)=3x D.f(x)=-3x
【解析】选B.设f(x)=(k≠0),由f(-3)=-1得=-1,所以k=3.所以f(x)=.
2.函数y=f(x)的图象如图,则f(x)的定义域是 ( )
A.R
B.(-∞,1)∪(1,+∞)
C.(-∞,0)∪(0,+∞)
D.(-1,0)
【解析】选C.由图象知x≠0,即x∈(-∞,0)∪(0,+∞).
3.(2015·威海高一检测)已知f=2x+3,且f(m)=6,则m等于 ( )
A.- B. C. D.-
【解析】选A.令x-1=t,则x=2(t+1),所以f(t)=4(t+1)+3=4t+7,
所以f(x)=4x+7,由f(m)=6得4m+7=6,所以m=-.
【一题多解】选A.由2x+3=6得x=,所以m=x-1=×-1=-.
4.已知函数f(x)的定义域A={x|0≤x≤2},值域B={y|1≤y≤2},下列选项中,能表示f(x)的图象的只可能是 ( )
【解析】选D.根据函数的定义,观察图象,对于选项A,B,值域为{y|0≤y≤2},不符合题意,而C中当0≤x<2时,一个自变量x对应两个不同的y,不是函数.
5.如果f=,则当x≠0,1时,f(x)= ( )
A. B. C. D.-1
【解析】选B.令=t(t≠0,t≠1),所以x=.所以f(t)==·=,所以f(x)=(x≠0,x≠1).
【误区警示】用换元法求函数的解析式时,要注意新元的范围,否则易出错.
【补偿训练】已知x≠0,函数f(x)满足f=x2+,则f(x)的表达式
为 ( )
A.f(x)=x+ B.f(x)=x2+2
C.f(x)=x2 D.f(x)=
【解析】选B.因为x≠0,f=x2+=+2,所以f(x)=x2+2(x≠0).
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2015·郑州高一检测)已知g(x-1)=2x+6,则g(3)= .
【解析】因为g(x-1)=2x+6,
令x-1=t,则x=t+1,
所以g(t)=2(t+1)+6=2t+8,即g(x)=2x+8,
所以g(3)=2×3+8=14.
答案:14
【一题多解】本题还可用以下方法求解:
因为g(x-1)=2x+6,
所以g(3)=g(4-1)=2×4+6=14.
答案:14
【补偿训练】已知f(2x+1)=x2-2x,则f(5)= .
【解析】令2x+1=5,则x=2,代入已知条件可得f(5)=22-2×2=0.
答案:0
7.(2015·荆门高一检测)若f(x)是一次函数,f(f(x))=4x-1,则f(x)= .
【解析】设f(x)=kx+b,则f(f(x))=kf(x)+b=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=4x-1.
所以解得或
所以f(x)=2x-或f(x)=-2x+1.
答案:2x-或-2x+1
8.如图,函数f(x)的图象是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f的值等于 .
【解析】因为f(3)=1,所以=1,
所以f=f(1)=2.
答案:2
【补偿训练】已知f(x)=π(x∈R),则f(π2)等于 ( )
A.π2 B.π C. D.不确定
【解析】选B.由题意知函数f(x)为常函数,所以f(π2)=π.
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.求下列函数解析式:
(1)(2015·温州高一检测)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9,求f(x).
(2)已知f(x+1)=x2+4x+1,求f(x)的解析式.
【解析】(1)由题意,设函数为f(x)=ax+b(a≠0),
因为3f(x+1)-f(x)=2x+9,
所以3a(x+1)+3b-ax-b=2x+9,
即2ax+3a+2b=2x+9,
由恒等式性质,得所以a=1,b=3.
所以所求函数解析式为f(x)=x+3.
(2)设x+1=t,则x=t-1,
f(t)=(t-1)2+4(t-1)+1,即f(t)=t2+2t-2.
所以所求函数为f(x)=x2+2x-2.
10.作出下列函数的图象:
(1)y=1-x,x∈Z.
(2)y=x2-4x+3,x∈[1,3].
【解析】(1)因为x∈Z,所以图象为一条直线上的孤立点,如图(1)所示.
(2)y=x2-4x+3=(x-2)2-1,当x=1,3时,y=0;
当x=2时,y=-1,其图象如图(2)所示.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.定义域为R的函数f(x)满足f(x)+2f(-x)=2x+1,则f(x)= ( )
A.-2x+1 B.2x-
C.2x-1 D.-2x+
【解析】选D.由f(x)+2f(-x)=2x+1, ①
可得f(-x)+2f(x)=-2x+1, ②
②×2-①得,3f(x)=-6x+1,所以f(x)=-2x+.
2.函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的解析式为 ( )
A.f(x)=(x-a)2(b-x)
B.f(x)=(x-a)2(x+b)
C.f(x)=-(x-a)2(x+b)
D.f(x)=(x-a)2(x-b)
【解析】选A.由图象知,当x=b时,f(x)=0,故排除B,C;又当x>b时,f(x)<0,排除D.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.f(x)为一次函数,2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)的解析式为 .
【解题指南】设出一次函数f(x)的解析式f(x)=ax+b(a≠0),由2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,得关于a,b的方程组,解出即可.
【解析】设一次函数f(x)=ax+b(a≠0),
由2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,
得即
解得a=3,b=-2.
所以f(x)=3x-2.
答案:f(x)=3x-2
4.(2015·台州高一检测)函数f(x)满足f(x+1)=x(x+3),x∈R,则f(x)= .
【解析】令t=x+1,得x=t-1,则f(t)=(t-1)(t-1+3)=(t-1)(t+2).
所以f(x)=(x-1)·(x+2).
答案:·
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意的实数x,y,有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)的解析式.
【解题指南】对y赋值,得到关于f(0)的结论,利用条件f(0)=1,求出f(x)的解析式.
【解析】因为对任意实数x,y,有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),所以令y=x,
有f(0)=f(x)-x(2x-x+1),
即f(0)=f(x)-x(x+1),又f(0)=1,
所以f(x)=x(x+1)+1=x2+x+1,
即f(x)=x2+x+1.
【拓展延伸】赋值法求函数解析式
(1)适用范围:通常给出一个函数方程及一些特殊值的函数值,然后求出函数解析式.
(2)解决策略:根据需要给式子中的变量赋予特殊的意义,可以是特殊值,也可以是两个变量之间的某种特殊的关系,从而达成最终的目标.
6.画出二次函数f(x)=-x2+2x+3的图象,并根据图象回答下列问题:
(1)比较f(0),f(1),f(3)的大小.
(2)若x1(3)求函数f(x)的值域.
【解析】f(x)=-(x-1)2+4的图象,如图所示:
(1)f(0)=3,f(1)=4,f(3)=0,
所以f(1)>f(0)>f(3).
(2)由图象可以看出,当x1函数f(x)的函数值随着x的增大而增大,
所以f(x1)(3)由图象可知二次函数f(x)的最大值为f(1)=4,所以函数f(x)的值域为
(-∞,4].
【延伸拓展】利用函数的图象解决有关问题的注意点
函数的图象可以形象地反映函数的性质,通过观察图象可以确定图象的变化趋势,便于数形结合解决问题.利用图象时,要注意图象中标出的关键点.
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课件28张PPT。1.2.2 函数的表示方法 （第1课时）作业讲评P24 A组 第1题
（1）格式；
（2）定义域是一个集合随练一、复习回顾实例1：炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位:s)变化的规律是 ： h=130t-5t2实例2：南极上空臭氧空洞的面积从1979~2001年的变化情况：实例3：解析法图象法列表法⑶列表法：列出表格来表示两个变量的函数关系。
优点：不需要计算就可以直接看出与自变量相对应的函数值。⑵图象法：用函数图象表示两个变量之间的关系。
优点：直观形象地表示随着自变量的变化，相应函数值的
变化趋向。⑴解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。
优点：①简明、全面地概括了变量间的关系；
②可通过解析式求出每个自变量对应的函数值。二、基础知识讲解常用的函数的三种表示法各自的优点例3、某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元；试用函数的三种表示法表示函数 y=f (x) .分析： “y=f (x)”可以用哪三种方法表示?．三、例题分析它可以是解析式，可以是图象，也可以是表格.例3、某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元；试用函数的三种表示法表示函数 y=f (x) .解：
用解析法可将函数 y=f (x)表示为：
用列表法可将函数 y=f (x)表示为：
用图象法可将函数 y=f (x)表示为：, x∈{1 , 2 , 3 , 4 , 5 }笔记本数 x钱数 y1 2 3 4 5 5 10 15 20 25 三、例题分析y=5x思考1：
若例1中的函数y=f(x)的定义域改为 [1，5]，则其将图象会发生怎样的变化？
一条线段(1) 出生率与年份间的函数关系：能不能用解析法 ?能不能用图象法?并非所有的函数都能用这三种方法来表示！思考2：每一个函数都能用这三种方法表示吗？ 例4、下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表： 请你对这三个同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.解析：从表中可知每位同学在每次测试中的成绩，但不易分析每位同学的成绩变化情况。
若将“成绩”与“测试序号”之间的关系用函数图象表示出来,那么将……二、例题分析若将“成绩”与“测试序号”之间的关系用函数图象表示出来，直观反映成绩变化：分析上图:
王伟同学的数学成绩始终高于班平均水平, 学习情况较为稳定且成绩优秀;
张城同学数学成绩不稳定, 总在班平均水平上下波动,且波动幅度较大;
赵磊同学数学成绩低于班级平均水平, 但他的成绩呈上升趋势,表明他的成绩在稳步提高.虚线部分并不是图象的一部分解：
由绝对值的概念可得：
列表：
建立坐标系作出图象如右所示例5、画出函数 y = | x |的图象。二、例题分析0011-22-11列表描点连线思考2：
函数图象可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等；那么，如何判断在坐标平面中的图象是否为函数图象呢？随练：下列四个图象中，不是函数图象的是（ ）B←任意性、唯一性ABCD例6、某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
（1）5公里以内（含5公里），票价2元；
（2）5公里以上，每增加5公里票价增加1元（不足5公里
按5公里算).如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数图象。2543分段函数概念解：设里程为x公里，票价为y元，2543如何写出解析式？解：设里程为x公里，票价为y元，
则可得函数解析式为函数图象如右：分段函数概念1、分段函数：一、基础知识讲解在定义域中,对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数称为分段函数.1、分段函数：一、基础知识讲解(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“x取值范围”的并集，其值域是各段“y的取值范围”的并集。（定义域的区间端点需不重不漏！）(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值范围在哪一段，就用哪一段的解析式。(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，特别是画图象时，应先将各段函数图象画出，从而得到整个函数的图象。（注意端点“实心”还是“空心”）配套练习：画出函数 y = | x－3 |的图象。二、例题分析解：由绝对值的概念可得：
列表：
建立坐标系作出图象如右所示30411221课本P23
1. 如图,把截面半径为25 cm 的圆形木头锯成矩形木料,如果矩形的一边长为x, 面积为 y ,把 y表示为x的函数。必须注明
函数的定义域. 六、针对性练习2、下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好?请你为剩下的那个图象写一件事.
(1) 我离家不久, 发现自己把作业本放在家里了,于是返回家找到作业本再上学;
(2) 我骑着车一路匀速行驶, 只是再途中遇到一次交通堵塞, 耽搁了一些时间;
(3) 我出发后, 心情轻松, 缓缓行进, 后来为了赶时间开始加速.ABD思考题：画出下列函数的图象： 比较上面两个函数的图象，思考函数y=f(x)和y=|f(x)|图象的关系？A：澄中所有学生组成的集合B：澄中所有班级组成的集合f：学生找班级A B fC：澄中106班同学组成的集合D：澄中高一各班级组成的集合g：学生找班级C D g映射概念数集集合每一个数每一个元素唯一的数唯一的元素函数映射1、映射的概念 设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合A中的任意一个元素 x，在集合B中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f: A→B 为从集合A到集合B的一个映射。 函数与映射有什么关系呢？2、映射与函数关系函数一定是映射；映射不一定是函数！
映射是函数的推广，即是将函数中的两个数集推广为两个任意集合。函数：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作:
y=f(x) , x∈A映射概念A：澄中所有学生组成的集合B：澄中所有班级组成的集合f：学生找班级f : A B C：澄中107班同学组成的集合D：澄中高一各班级组成的集合g：学生找班级g : C D 映射映射多对一A={P | P是平面直角坐标系内的点}B={(x,y) | x ∈ R，y ∈ R}f’：平面直角坐标系内的点跟它的坐标对应f’ : E F 映射多对一一对一允许D中元素不存在对应元素映射概念1、下列对应中，能构成映射的有（ ）(1)(2)(3)非空集合、唯一确定的对应关系、任意x、唯一确定的y映射概念2、已知集合A＝{a ，b}，集合B＝{c，d}，由集合A到集合B的映射有哪些？解：设集合A到集合B之间的对应关系为f，则A到B之间的映射有以下几种情况：(1) f(a)=c， f(b)=c;
(2) f(a)=d， f(b)=d;
(3) f(a)=c， f(b)=d;
(4) f(a)=d， f(b)=c;映射概念练习：P24 A组 第10题
P23 练习4一、必做题
1、P24 习题1.2 A组 第7题
2、画图象并求值域：
六、作业思考题：P25 B组 第3题课件11张PPT。1.2.2 1.2.2 函数的表示方法（第2课时）四、函数解析式求法1、直接代入法函数解析式求法2、待定系数法1、直接代入法2、待定系数法函数解析式求法2、待定系数法1、直接代入法3、换元法：注意定义域2、待定系数法1、直接代入法3、换元法4、列方程组消元法2、待定系数法1、直接代入法3、换元法4、列方程组消元法四、新课讲解函数解析式求法（1）直接代入法（2）待定系数法（3）换元法：注意定义域（4）列方程组消元法一、明确函数的三种表示方法及各自的优点；
⑴列表法：不需要计算就可以直接看出与自变量相应的函数值。
⑵图象法：能直观形象地表示出函数的变化趋势。
⑶解析法：
①简明、全面地概括了变量间的关系；
②可通过解析式求出每个自变量对应的函数值 .
二、在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.五、课堂小结三、作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域.四、函数解析式求法：
直接代入法、待定系数法、换元法(注意函数定义域)作业1．设二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，
对于x∈R恒成立，且f(x)＝0的两个实数根的平方和为10，
f(x)的图象过点(0,3)，求f(x)的解析式．方法总结:(1)求定义域，是指求x的取值范围； (2)在对应关系相同的条件下，小括号内式子的
取值范围相同.七、思考题课件16张PPT。1.2.2 函数的表示方法 （第3课时）1、讲评作业
2、P25第3题1、映射的概念 设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 f，使对于集合A中的任意一个元素 x，在集合B中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f: A→B 为从集合A到集合B的一个映射。 函数与映射有什么关系呢？2、映射与函数关系函数一定是映射；映射不一定是函数！
映射是函数的推广，即是将函数中的两个数集推广为两个任意集合。函数：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作:
y=f(x) , x∈A映射概念A：澄中所有学生组成的集合B：澄中所有班级组成的集合f：学生找班级f : A B C：澄中107班同学组成的集合D：澄中高一各班级组成的集合g：学生找班级g : C D 映射映射多对一A={P | P是平面直角坐标系内的点}B={(x,y) | x ∈ R，y ∈ R}f’：平面直角坐标系内的点跟它的坐标对应f’ : E F 映射多对一一对一允许D中元素不存在对应元素映射概念1、下列对应中，能构成映射的有（ ）(1)(2)(3)非空集合、唯一确定的对应关系、任意x、唯一确定的y映射概念2、已知集合A＝{a ，b}，集合B＝{c，d}，由集合A到集合B的映射有哪些？解：设集合A到集合B之间的对应关系为f，则A到B之间的映射有以下几种情况：(1) f(a)=c， f(b)=c;
(2) f(a)=d， f(b)=d;
(3) f(a)=c， f(b)=d;
(4) f(a)=d， f(b)=c;映射概念练习：P24 A组 第10题
P23 练习4四、函数解析式求法1、直接代入法方法总结:(1)求定义域，是指求x的取值范围； (2)在对应关系相同的条件下，小括号内式子的
取值范围相同.思考题函数解析式求法2、待定系数法1、直接代入法2、待定系数法函数解析式求法2、待定系数法1、直接代入法3、换元法：注意定义域2、待定系数法1、直接代入法3、换元法4、方程组法2、待定系数法1、直接代入法3、换元法4、方程组法四、新课讲解函数解析式求法（1）直接代入法（2）待定系数法（3）换元法：注意定义域（4）方程组法作业1．设二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，
对于x∈R恒成立，且f(x)＝0的两个实数根的平方和为10，
f(x)的图象过点(0,3)，求f(x)的解析式．预习：1.3.1 单调性与最值课题：§1.2.2函数的表示法
教学目的：（1）明确函数的三种表示方法；
（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；
（4）纠正认为“y=f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识．
教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．
教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．
教学过程：
引入课题
复习：函数的概念；
常用的函数表示法及各自的优点：
（1）解析法；
（2）图象法；
（3）列表法．
新课教学
（一）典型例题
例1．某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．
分析：注意本例的设问，此处“y=f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．
解：（略）
注意：
函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；
解析法：必须注明函数的定义域；
图象法：是否连线；
列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
巩固练习：
课本P27练习第1题
例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表：
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
王 伟
98
87
91
92
88
95
张 城
90
76
88
75
86
80
赵 磊
68
65
73
72
75
82
班平均分
88．2
78．3
85．4
80．3
75．7
82．6
请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．
分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？
解：（略）
注意：
本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点；
本例能否用解析法？为什么？
巩固练习：
课本P27练习第2题
例3．画出函数y = | x | ．
解：（略）
巩固练习：课本P27练习第3题
拓展练习：
任意画一个函数y=f(x)的图象，然后作出y=|f(x)| 和 y=f (|x|) 的图象，并尝试简要说明三者（图象）之间的关系．
课本P27练习第3题
例4．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：
（1） 乘坐汽车5公里以内，票价2元；
（2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）．
已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义．根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．
解：设票价为y元，里程为x公里，同根据题意，
如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站（包括起点站和终点站），那么汽车行驶的里程约为19公里，所以自变量x的取值范围是{x∈N*| x≤19}．
由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：
()
根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：
注意：
本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义；
本题可否用列表法表示函数，如果可以，应怎样列表？
实践与拓展：
请你设计一张乘车价目表，让售票员和乘客非常容易地知道任意两站之间的票价．（可以实地考查一下某公交车线路）
说明：象上面两例中的函数，称为分段函数．
注意：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
归纳小结，强化思想
理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法．
作业布置
课本P28 习题1．2（A组） 第8—12题 （B组）第2、3题
课件33张PPT。第2课时 分段函数及映射第一章 1.2.2 函数的表示法1.会用解析法及图象法表示分段函数；
2.给出分段函数，能研究有关性质；
3.了解映射的概念.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 分段函数思考 设集合A＝R，B＝[0，＋∞).对于A中任一元素x，规定：若x≥0，则对应B中的y＝x；若x＜0，则对应B中的y＝－x.按函数定义，这一对应算不算函数？答案答案 算函数.因为从整体来看，A中任一元素x，在B中都有唯一确定的y与之对应.(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 的函数.
(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的 ；各段函数的定义域的交集是 .
(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象.答案对应关系并集空集知识点二 映射思考 设A＝{三角形}，B＝R，对应关系f：每个三角形对应它的周长.这个对应是不是函数？它与函数有何共同点？答案答案 因为A不是非空数集，故该对应不是函数.但满足“A中任一元素，在B中有唯一确定的元素与之对应”.答案映射的概念：
设A，B是两个非空的 ，如果按某一个确定的 f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中 确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的 .
函数一定是映射，映射不一定是函数.集合对应关系都有唯一一个映射返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 分段函数模型例1 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，
底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC
(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象.解析答案反思与感悟解 过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，
垂足分别是G，H.
因为四边形ABCD是等腰梯形，所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm，
又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm.解析答案反思与感悟图象如图所示.反思与感悟当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画.解析答案跟踪训练1 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算).
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.解 设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20].函数图象如图所示：类型二 研究分段函数的性质例2 已知函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|.
(1)求f(x)的值域；解析答案解 若x≤－1，则x－3<0，x＋1≤0，
f(x)＝－(x－3)＋(x＋1)＝4；
若－10，
f(x)＝－(x－3)－(x＋1)＝－2x＋2；
若x>3，则x－3>0，x＋1>0，
f(x)＝(x－3)－(x＋1)＝－4.解析答案－1∴f(x)的值域为[－4,4)∪{4}∪{－4}＝[－4,4].解析答案(2)解不等式：f(x)>0；解①得x≤－1，解②得－1所以f(x)>0的解集为(－∞，－1]∪(－1,1)∪?＝(－∞，1).解析答案反思与感悟(3)若直线y＝a与f(x)的图象无交点，求实数a的取值范围.解 f(x)的图象如下：由图可知，当a∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，直线y＝a与f(x)的图象无交点.研究分段函数，要牢牢抓住两个要点：
(1)分段研究.
(2)合并表达.因为分段函数无论分成多少段，仍是一个函数，对外是一个整体.解析答案解 利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示.解析答案(3)求f(x)的值域.解 由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1.
所以f(x)的值域为[0,1].类型三 映射的概念例3 以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？
(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；解析答案解 按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射.解析答案(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；解 按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射.解析答案(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；解 由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射.解析答案反思与感悟(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生.解 新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B不是从集合A到集合B的一个映射.映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：映射是有次序的，一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的；(2)唯一性：集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，可以是：一对一，多对一，但不能一对多.解析答案跟踪训练3 设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤4}，则下述对应关系f中，不能构成从A到B的映射的是( )
A.f：x→y＝x2
B.f：x→y＝3x－2
C.f：x→y＝－x＋4
D.f：x→y＝4－x2解析 对于D，当x＝2时，由对应关系y＝4－x2得y＝0，在集合B中没有元素与之对应，所以D选项不能构成从A到B的映射.D返回123达标检测 45答案1.如图中所示的对应：其中构成映射的个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6A123452.f(x)的图象如图所示，其中0≤x≤1时是一段顶点在坐标原点的抛物线，则f(x)的解析式是( )答案B123453.函数y＝|x＋1|的图象是( )答案A12345答案C12345答案B1.对分段函数的理解
(1)分段函数是一个函数而非几个函数.
分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集.
(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况.返回2.函数与映射的关系
映射f：A→B，其中A、B是两个“非空集合”；而函数y＝f(x)，x∈A为“非空的实数集”，其值域也是实数集.于是，函数是数集到数集的映射.
由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射.课件30张PPT。第1课时 函数的表示法第一章 1.2.2 函数的表示法1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点；
2.掌握求函数解析式的常见方法；
3.尝试作图和从图象上获取有用的信息.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 解析法思考 一次函数如何表示？答案答案 y＝kx＋b(k≠0).一般地，解析法是指：用 表示两个变量之间的对应关系.数学表达式知识点二 图象法思考 要知道林黛玉长什么样，你觉得一个字的描述和一张二寸照片哪个更直观？答案答案 一图胜千言.一般地，图象法是指：用 表示两个变量之间的对应关系；这样可以直观形象地表示两变量间的变化趋势.图象知识点三 列表法思考 在街头随机找100人，请他们依次随意地写一个数字.设找的人序号为x，x＝1,2,3，…，100.第x个人写下的数字为y，则x与y之间是不是函数关系？能否用解析式表示？答案答案 对于任一个x的值，都有一个他写的数字与之对应，故x，y之间是函数关系，但因为人是随机找的，数字是随意写的，故难以用解析式表示.这时可以制作一个表格来表示x的值与y的值之间的对应关系.返回答案一般地，列表法是指：列出 来表示两个变量之间的对应关系.
函数三种表示法的优缺点：表格题型探究 重点难点 个个击破类型一 解析式的求法例1 根据下列条件，求f(x)的解析式.
(1)f [f (x)]＝2x－1，其中f(x)为一次函数；解析答案解 由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵f [f (x)]＝af(x)＋b＝a[ax＋b]＋b
＝a2x＋ab＋b＝2x－1，解析答案∴f(x)＝x2－2.∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).反思与感悟解析答案(3)f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x.解 ∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，
将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x，
∴联立以上两式消去f(－x)，得3f(x)＝x2－6x，1.如果已知函数类型，可以用待定系数法.
2.如果已知f(g(x))的表达式，想求f(x)的解析式，可以设 t＝g(x)，然后把f(g(x))中每一个x都换成t.
3.如果条件是一个关于f(x)、f(－x)的方程，我们可以用x的任意性进行赋值.如把每一个x换成－x，其目的是再得到一个关于f(x)、f(－x)的方程，然后消元消去f(－x).解析答案跟踪训练1 根据下列条件，求f(x)的解析式.
(1)f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；解 由题意，设函数为f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，
∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，
即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，∴a＝1，b＝3.
∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.解析答案(2)f(x＋1)＝x2＋4x＋1；解 设x＋1＝t，则x＝t－1，
f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1，
即f(t)＝t2＋2t－2.
∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2.解析答案类型二 图象的画法及应用解 由1－x2≥0解得函数定义域为[－1,1].
当x＝±1时，y有最小值0.当x＝0时，y有最大值1.解析答案反思与感悟画图时一般很难把所有点都描出来，故为了使画出来的图能反映变量间的变化规律，我们要尽量选择关键点：最高点、最低点和与x，y轴的交点.解析答案跟踪训练2 一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水.则正确论断的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3解析 由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；
从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；
当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错.故选B.
答案 B类型三 函数表示法的选择例3 下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.解析答案(1)选择合适的方法表示测试序号与成绩的关系；解 不能用解析法表示，用图象法表示为宜.
在同一个坐标系内画出这四个函数的图象如下：解析答案反思与感悟(2)根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析.解 王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀.张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大.赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高.函数的三种表示方法都有各自的优点，有些函数能用三种方法表示，有些只能用其中的一种来表示.解析答案跟踪训练3 画出y＝2x2－4x－3，x∈(0,3]的图象，并求出y的最大值，最小值.解 y＝2x2－4x－3(0由y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，
∴当x＝1时，y有最小值－5.返回123达标检测 45答案1.已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于( )A.1 B.2 C.3 D.4A12345答案2.如果二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是( )
A.f(x)＝x2－1
B.f(x)＝－(x－1)2＋1
C.f(x)＝(x－1)2＋1
D.f(x)＝(x－1)2－1D123453.已知正方形的边长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为( )答案A123454.某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是( )答案C12345答案B1.如何作函数的图象
一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图象，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等.返回2.如何求函数的解析式
求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域.主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法).1.2.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
课时目标 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．
函数的三种表示法
(1)解析法——用____________表示两个变量之间的对应关系；
(2)图象法——用______表示两个变量之间的对应关系；
(3)列表法——列出______来表示两个变量之间的对应关系．
一、选择题
1．一个面积为100cm2的等腰梯形，上底长为xcm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为( )
A．y＝50x(x>0) B．y＝100x(x>0)
C．y＝(x>0) D．y＝(x>0)
2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( )
A．0B．1C．2D．3
3．如果f()＝，则当x≠0时，f(x)等于( )
A.B.
C.D.－1
4．已知f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)等于( )
A．2x＋1B．2x－1
C．2x－3D．2x＋7
5．若g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝，则f()的值为( )
A．1B．15C．4D．30
6．在函数y＝|x|(x∈[－1,1])的图象上有一点P(t，|t|)，此函数与x轴、直线x＝－1及x＝t围成图形(如图阴影部分)的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为( )
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．一个弹簧不挂物体时长12cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3kg物体后弹簧总长是13.5cm，则弹簧总长y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式为________________________________________________________________________．
8．已知函数y＝f(x)满足f(x)＝2f()＋x，则f(x)的解析式为____________．
9．已知f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，则f(x)的解析式为__________________．
三、解答题
10．已知二次函数f(x)满足f(0)＝f(4)，且f(x)＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，求f(x)的解析式．
11．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；
(2)若x1(3)求函数f(x)的值域．
能力提升
12．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )
A．y＝[] B．y＝[]
C．y＝[] D．y＝[]
13．设f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式．
1．如何作函数的图象
一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式(可能有的要表示为分段函数)，再列表描出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等．
2．如何求函数的解析式
求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．
1．2.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
知识梳理
(1)数学表达式 (2)图象 (3)表格
作业设计
1．C [由·y＝100，得2xy＝100.
∴y＝(x>0)．]
2．B [由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．]
3．B [令＝t，则x＝，代入f()＝，
则有f(t)＝＝，故选B.]
4．B [由已知得：g(x＋2)＝2x＋3，令t＝x＋2，则x＝t－2，代入g(x＋2)＝2x＋3，则有g(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1，故选B.]
5．B [令1－2x＝，则x＝，
∴f()＝＝15.]
6．B [当t<0时，S＝－，所以图象是开口向下的抛物线，顶点坐标是(0，)；当t>0时，S＝＋，开口是向上的抛物线，顶点坐标是(0，)．所以B满足要求．]
7．y＝x＋12
解析 设所求函数解析式为y＝kx＋12，把x＝3，y＝13.5代入，得13.5＝3k＋12，k＝.
所以所求的函数解析式为y＝x＋12.
8．f(x)＝－(x≠0)
解析 ∵f(x)＝2f()＋x，①
∴将x换成，得f()＝2f(x)＋.②
由①②消去f()，得f(x)＝－－，
即f(x)＝－(x≠0)．
9．f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8
解析 设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a2x＋ab＋b.
∴，解得或.
10．解 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由f(0)＝f(4)知
得4a＋b＝0.①
又图象过(0,3)点，
所以c＝3.②
设f(x)＝0的两实根为x1，x2，
则x1＋x2＝－，x1·x2＝.
所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－)2－2·＝10.
即b2－2ac＝10a2.③
由①②③得a＝1，b＝－4，c＝3.所以f(x)＝x2－4x＋3.
11．解 因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，列表：
x
…
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
－5
0
3
4
3
0
－5
…
连线，描点，得函数图象如图：
(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(3)(2)根据图象，容易发现当x1(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．
12．B [方法一 特殊取值法，若x＝56，y＝5，排除C、D，若x＝57，y＝6，排除A，所以选B.
方法二 设x＝10m＋α(0≤α≤9)，0≤α≤6时，
[]＝[m＋]＝m＝[]，
当6<α≤9时，[]＝[m＋]＝m＋1＝[]＋1，
所以选B.]
13．解 因为对任意实数x，y，有
f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，
所以令y＝x，
有f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)，
即f(0)＝f(x)－x(x＋1)．又f(0)＝1，
∴f(x)＝x(x＋1)＋1＝x2＋x＋1.
第2课时 分段函数及映射
课时目标 1.了解分段函数的概念，会画分段函数的图象，并能解决相关问题.2.了解映射的概念．
1．分段函数
(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的____________的函数．
(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的______；各段函数的定义域的交集是空集．
(3)作分段函数图象时，应_____________________________________．
2．映射的概念
设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中____________确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的__________．
一、选择题
1．已知，则f(3)为( )
A．2B．3C．4D．5
2．下列集合A到集合B的对应中，构成映射的是( )
3．一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：
每间房定价
100元
90元
80元
60元
住房率
65%
75%
85%
95%
要使每天的收入最高，每间房的定价应为( )
A．100元B．90元C．80元D．60元
4．已知函数，使函数值为5的x的值是( )
A．－2B．2或－
C．2或－2D．2或－2或－
5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为( )
A．13立方米B．14立方米
C．18立方米D．26立方米
6．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列不能表示从P到Q的映射的是( )
A．f：x→y＝xB．f：x→y＝x
C．f：x→y＝xD．f：x→y＝
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．已知，则f(7)＝____________.
8．设则f{f[f(－)]}的值为________，f(x)的定义域是______________．
9．已知函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的解析式是__________________．
三、解答题
10．已知，
(1)画出f(x)的图象；
(2)求f(x)的定义域和值域．
11．如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C、D、A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式．
能力提升
12．设f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B一定是( )
A．?B．?或{1}
C．{1}D．?
13．在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d是车速v(公里/小时)的平方与车身长S(米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d关于v的函数关系式(其中S为常数)．
1．全方位认识分段函数
(1)分段函数是一个函数而非几个函数．
分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．
(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况．
2．对映射认识的拓展
映射f：A→B，可理解为以下三点：
(1)A中每个元素在B中必有唯一的元素与之对应；
(2)对A中不同的元素，在B中可以有相同的元素与之对应；
(3)A中元素与B中元素的对应关系，可以是：一对一、多对一，但不能一对多．
3．函数与映射的关系
映射f：A→B，其中A、B是两个“非空集合”；而函数y＝f(x)，x∈A为“非空的实数集”，其值域也是实数集，于是，函数是数集到数集的映射．
由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．
第2课时 分段函数及映射
知识梳理
1．(1)对应关系 (2)并集 (3)分别作出每一段的图象
2．都有唯一 一个映射
作业设计
1．A [∵3<6，
∴f(3)＝f(3＋2)＝f(5)＝f(5＋2)＝f(7)＝7－5＝2.]
2．D
3．C [不同的房价对应着不同的住房率，也对应着不同的收入，因此求出4个不同房价对应的收入，然后找出最大值对应的房价即可．]
4．A [若x2＋1＝5，则x2＝4，又∵x≤0，∴x＝－2，
若－2x＝5，则x＝－，与x>0矛盾，故选A.]
5．A [该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝
由y＝16m，可知x>10.
令2mx－10m＝16m，解得x＝13(立方米)．]
6．C [如果从P到Q能表示一个映射，根据映射的定义，对P中的任一元素，按照对应关系f在Q中有唯一元素和它对应，选项C中，当x＝4时，y＝×4＝?Q，故选C.]
7．6
解析 ∵7<9，
∴f(7)＝f[f(7＋4)]＝f[f(11)]＝f(11－3)＝f(8)．
又∵8<9，∴f(8)＝f[f(12)]＝f(9)＝9－3＝6.
即f(7)＝6.
8. {x|x≥－1且x≠0}
解析 ∵－1<－<0，
∴f(－)＝2×(－)＋2＝.
而0<<2，
∴f()＝－×＝－.
∵－1<－<0，∴f(－)＝2×(－)＋2＝.
因此f{f[f(－)]}＝.
函数f(x)的定义域为{x|－1≤x<0}∪{x|09．f(x)＝
解析 由图可知，图象是由两条线段组成，
当－1≤x<0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1,0)，(0,1)
代入解析式，则∴
当0则k＝－1.
10.
解 (1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．
(2)由条件知，
函数f(x)的定义域为R.
由图象知，当－1≤x≤1时，
f(x)＝x2的值域为[0,1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1，
所以f(x)的值域为[0,1]．
11．解 当点P在BC上运动，
即0≤x≤4时，y＝×4x＝2x；
当点P在CD上运动，即4当点P在DA上运动，即8y＝×4×(12－x)＝24－2x.
综上可知，f(x)＝
12．B [由题意可知，集合A中可能含有的元素为：当x2＝1时，x＝1，－1；当x2＝2时，x＝，－.
所以集合A可为含有一个、二个、三个、四个元素的集合．
无论含有几个元素，A∩B＝?或{1}．故选B.]
13．解 根据题意可得d＝kv2S.
∵v＝50时，d＝S，代入d＝kv2S中，
解得k＝.
∴d＝v2S.
当d＝时，可解得v＝25.
∴d＝.
