§1.3.1函数的单调性
一、教学目标
1、知识与技能：
（1）建立增（减）函数的概念
通过观察一些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函
数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 . 掌握用定义证明函数单调性的步骤。
（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。
2、过程与方法
（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．
3、情态与价值，使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习
函数的紧迫感.
二、教学重点与难点
重点：函数的单调性及其几何意义．
难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．
三、学法与教学用具
1、从观察具体函数图象引入，直观认识增减函数，利用这定义证明函数单调性。通过练习、交流反馈，巩固从而完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、计算机.
四、教学思路：
（一）创设情景，揭示课题
观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
随x的增大，y的值有什么变化？
能否看出函数的最大、最小值？
函数图象是否具有某种对称性？
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
（1）f(x) = x
从左至右图象上升还是下降 ______?
在区间 ____________ 上，随着x的增
大，f(x)的值随着 ________ ．
（2）f(x) = -x+2
从左至右图象上升还是下降 ______?
在区间 ____________ 上，随着x的增
大，f(x)的值随着 ________ ．
（3）f(x) = x2
在区间 ____________ 上，
f(x)的值随着x的增大而 ________ ．
在区间 ____________ 上，f(x)的值随
着x的增大而 ________ ．
3、从上面的观察分析，能得出什么结论？
学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变
化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）。
（二）研探新知
1、y = x2的图象在y轴右侧是上升的，如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢？
学生通过观察、思考、讨论，归纳得出：
函数y = x2在（0，+∞）上图象是上升的，用函数解析式来描述就是：对于（0，+∞）上的任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有x12＜x22 . 即函数值随着自变量的增大而增大，具有这种性质的函数叫增函数。
2．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x13、从函数图象上可以看到，y= x2的图象在y轴左侧是下降的，类比增函数的定义，你能概括出减函数的定义吗？
注意：
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x14．函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：
（三）质疑答辩，发展思维。
根据函数图象说明函数的单调性．
例1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
解：略
例2 物理学中的玻意耳定律P=（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强P将增大。试用函数的单调性证明之。
分析：按题意，只要证明函数P=在区间（0，+∞）上是减函数即可。
证明：略
3．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
① 任取x1，x2∈D，且x1 ② 作差f(x1)－f(x2)；
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
巩固练习：
课本P38练习第1、2、3题；
证明函数在（1，+∞）上为增函数．
例3．借助计算机作出函数y =－x2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间．
解：（略）
思考：画出反比例函数的图象．
这个函数的定义域是什么？
它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．
（四）归纳小结
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
（五）设置问题，留下悬念
1、教师提出下列问题让学生思考：
①通过增（减）函数概念的形成过程，你学习到了什么？
②增（减）函数的图象有什么特点？如何根据图象指出单调区间？
③怎样用定义证明函数的单调性？
师生共同就上述问题进行讨论、交流，发表自己的意见。
2、书面作业：课本P39习题1、3题（A组）第1-5题。
课时提升作业(十)
函数的单调性
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.对于函数y=f(x),在给定区间上有两个数x1,x2,且x1A.一定是增函数 B.一定是减函数
C.可能是常数函数 D.单调性不能确定
【解析】选D.由单调性定义可知,不能用特殊值代替一般值.
【误区警示】本题易错选A,原因是对增函数概念理解不到位,用特殊值代替一般值,因而是错误的.
2.(2018·昆明高一检测)下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是 ( )
A.y=|x| B.y=3-x
C.y= D.y=-x2+4
【解析】选A.B在R上为减函数;C在(-∞,0)和(0,+∞)上为减函数;D在(-∞,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数.
【补偿训练】下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是 ( )
①y=-x+1;②y=-;③y=x2-4x+5;④y=.
A.① B.② C.③ D.④
【解析】选B.结合函数的图象可知②在区间(0,2)上为增函数,而①③④在区间(0,2)上均为减函数.
3.函数f(x)在区间(-2,3)上是增函数,则y=f(x+4)的递增区间是 ( )
A.(2,7) B.(-2,3)
C.(-6,-1) D.(0,5)
【解析】选C.函数y=f(x+4)是函数f(x)向左平移4个单位得到,
因为函数f(x)在区间(-2,3)上是增函数,
所以y=f(x+4)的增区间为(-2,3)向左平移4个单位,即增区间为(-6,-1).
4.如果函数f(x)在[a,b]上是增函数,对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),则下列结论中不正确的是 ( )
A.>0
B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0
C.f(a)D.>0
【解析】选C.由函数单调性的定义可知,若函数y=f(x)在给定的区间上是增函数,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A,B,D正确;对于C,若x15.(2018·荆门高一检测)函数f(x)=x2-2(a-1)x+1在区间[5,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是 ( )
A.[6,+∞) B.(6,+∞) C.(-∞,6] D.(-∞,6)
【解析】选C.函数f(x)的对称轴x=a-1,因为函数f(x)在[5,+∞)上是增函数,所以a-1≤5,所以a≤6.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.函数f(x)=的减区间是 .
【解题指南】本题可先作出函数图象,由图象观察减区间.
【解析】函数f(x)的图象如图所示.则减区间是(0,1].
答案:(0,1]
7.(2018·益阳高一检测)设函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈R都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则f(-3)与f(-π)的大小关系是 .
【解析】由(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,可知函数f(x)为增函数,又因为-3>-π,所以f(-3)>f(-π).
答案:f(-3)>f(-π)
8.(2018·呼和浩特高一检测)已知函数f(x)在R上是减函数,A(0,-2),B(-3,2)是其图象上的两点,那么不等式-2【解析】因为A(0,-2),B(-3,2)在函数y=f(x)的图象上,所以f(0)=-2,f(-3)=2,故-2答案:(-3,0)
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图分别为函数y=f(x)和y=g(x)的图象,试写出函数y=f(x)和y=g(x)的单调增区间.
【解题指南】根据函数的图象写出函数的单调区间,主要是观察图象,找到最高点或最低点的横坐标,便可得到一个单调区间,由图象的上升或下降的趋势确定是递增还是递减的区间.
【解析】由题意,确定函数y=f(x)和y=g(x)的单调增区间,即寻找图象中呈上升趋势的一段图象.
由图(1)可知,在[1,4)和[4,6)内,y=f(x)是单调递增的.
由图(2)可知,在和内,y=g(x)是单调递增的.
10.(2018·烟台高一检测)已知函数f(x)=.
(1)求f(x)的定义域.
(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并用单调性的定义加以证明.
【解析】(1)由x2-1≠0,得x≠±1,
所以函数f(x)=的定义域为{x∈R|x≠±1}.
(2)函数f(x)=在(1,+∞)上是减函数.
证明:任取x1,x2∈(1,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=-
=.
因为x2>x1>1,所以-1>0,-1>0,x2-x1>0,x2+x1>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以函数f(x)=在(1,+∞)上是减函数.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈(-∞,-2]时是减函数,x∈[-2,+∞)时是增函数,则f(1)等于 ( )
A.-3 B.13
C.7 D.由m而定的常数
【解析】选B.由题意知=-2,所以m=-8,所以f(x)=2x2+8x+3,f(1)=2+8+3=13.
2.(2018·开封高一检测)设函数f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,则 ( )
A.f(a)>f(2a) B.f(a2)C.f(a2+a)【解析】选D.因为a2+1-a=+>0,所以a2+1>a,又因为函数f(x)在
(-∞,+∞)上为减函数,所以f(a2+1)二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2018·南宁高一检测)函数y=在(-2,+∞)上为增函数,则a的取值范围是 .
【解析】因为y==1-,所以函数的单调增区间为(-∞,-a),(-a,+∞),要使函数在(-2,+∞)上为增函数,只要-2≥-a,即a≥2.
答案:a≥2
【拓展延伸】单调性中的参数问题
(1)根据函数的单调性研究参数的取值范围问题,往往会根据函数在某一区间上的增减性确定不等式,此时常需要将含参数的变量单独移到一侧,用变量的范围来推出参数的范围.
(2)含参数的问题经常需分类讨论,要求有很强的观察力,同时要特别注意定义域的限制.
4.(2018·三明高一检测)f(x)是定义在[0,+∞)上的减函数,则不等式f(x)【解析】依题意,得不等式组解得答案:
【误区警示】解答本题时易忽视函数定义域而出错.
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.设函数f(x)是R上的单调增函数,F(x)=f(x)-f(2-x).
求证:函数F(x)在R上是单调增函数.
【证明】任取x1,x2∈R,且x1因为函数f(x)是R上的单调增函数,
所以f(x1)f(2-x2),
即f(x1)-f(x2)<0,f(2-x1)-f(2-x2)>0,
所以F(x1)-F(x2)=[f(x1)-f(2-x1)]-[f(x2)-f(2-x2)]=[f(x1)-f(x2)]+
[f(2-x2)-f(2-x1)]<0,即F(x1)-F(x2)<0,所以F(x1)所以函数F(x)在R上是单调增函数.
6.(2018·延边高一检测)定义在R上的函数f(x)满足:f(m+n)=f(m)+f(n)-2对任意m,n∈R恒成立.当x>0时,f(x)>2.
(1)证明f(x)在R上是增函数.
(2)已知f(1)=5,解关于t的不等式f(t-1)≤8.
【解析】(1)对任意x1,x2∈R,且x10,所以f(x2-x1)>2,f(x1)-
f(x2)=f(x1)-f(x2-x1+x1)=f(x1)-f(x2-x1)-f(x1)+2=2-f(x2-x1)<0,所以f(x1)(2)因为f(1)=5,所以f(2)=f(1)+f(1)-2=8,
由f(t-1)≤8得f(t-1)≤f(2).
因为f(x)在R上为增函数,所以t-1≤2,即t≤3,
故不等式的解集为{t|t≤3}.
课件20张PPT。1.3.1 单调性与最大（小）值 第1课时从直观上看，函数图象这种______________的变化趋势就是函数的一个重要性质——函数的_________。一、实例探究上升或下降单调性随着时间t 增大，f(t)____随着时间 t 增大，f(t)____随着时间 t 增大，f(t)______ 某盆地某日温度T与时间t的函数T=f(t)的图象思考：
图象从左到右变化趋势？气温随时间增加的变化规律？
随着t 的增大，相应的函数值的变化规律是什么?在区间 [0 , 4), 图象呈_____趋势；在区间 [4, 14), 图象呈____趋势；在区间 [14, 24], 图象呈____趋势；一、实例探究减小增大减小下降上升下降某盆地某日温度T与时间t的函数T=f(t)的图象一、实例探究从直观上看，函数图象这种上升或下降的变化趋势就是函数的一个重要性质——函数的单调性。从数值上看，在定义域I内某个区间D上随着自变量变大，函数值是变大或是变小——函数的单调性.y
f(x)=x2x012-1-2 二、基础知识讲解323241问题：观察这两个函数图象，
（1）函数定义域是什么？
（2）这两个函数图象升降变化有什么特点？
（3）随着自变量 x 的变化，函数值 f(x)大小 有什么变化规律?x012-11y
f(x)=x从左到右呈
“上升”趋势在 y 轴左侧呈“下降”趋势在 y 轴右侧呈“上升”趋势在 y 轴左侧呈“下降”趋势在 y 轴右侧呈“上升”趋势1、增函数: 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1、x2，当 x1 f(x2)，那么就说 f(x) 在这个区间D上是减函数.1、增函数: 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1、x2，当 x1 f(x2)，那么就说 f(x) 在这个区间D上是减函数.3、单调区间 :
如果函数 y=f(x) 在区间D上是增函数或减函数，那么就说 f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做 y=f(x) 的单调区间。 判断正误：(1)对于区间D内的任意两个自变量的值x1，x2，当 x1 f(x1)< f(x2)，f(x) 在区间D上才是增函数 ——强调“任意”(2)函数f(x)在区间A、B上均为增(减)函数，一般不能简单认为f(x)在A ∪ B上是增(减)函数 ——单调区间之间不能用“∪”(3)单调性是针对函数的定义域内的某个区间而言，不一定整个定义域内都具有单调性. ——在谈单调性时一定要强调区间(1)函数单调性是对定义域某个区间而言，单独一点，由于其函数值
是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题.例1、下图是定义在 [－5，5] 上的函数 y＝f(x) 的图象，根据图象说出 y＝ f(x) 的单调区间，以及在每一单调区间上， y＝ f(x) 是增函数还是减函数.看图判断单调区间解： y = f(x) 的单调减区间有：[-5,-2)，[1，3） 单调增区间有：[-2，1）, [3，5].其中 y= f(x) 在[-5，-2）， [1，3）上是减函数，在[-2，1）， [3，5）上是增函数.作图是发现函数单调性的方法之一.增函数：
如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1、x2，当 x1 (1) 这个函数的定义域是什么？
(2) 它在定义域 I 上的单调性怎样？证明你的结论． 三、练习巩固CAC4、(1)二次函数 y=x2﹣2x+1 的单调递增区间是：(2)二次函数 y=﹣x2﹣2x+1 的单调递增区间是：(3)二次函数 y=x2﹣2ax+1 的单调递增区间是：(4)二次函数 y=ax2+bx+c 的单调递增区间是：[1,+∞)(-∞,1][a,+∞)三、练习巩固四、作业课题：§1.3.1函数的单调性
教学目的：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．
教学重点：函数的单调性及其几何意义．
教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．
教学过程：
引入课题
观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
随x的增大，y的值有什么变化？
能否看出函数的最大、最小值？
函数图象是否具有某种对称性？
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
1．f(x) = x
从左至右图象上升还是下降 ______?
在区间 ____________ 上，随着x的增
大，f(x)的值随着 ________ ．
2．f(x) = -2x+1
从左至右图象上升还是下降 ______?
在区间 ____________ 上，随着x的增
大，f(x)的值随着 ________ ．
3．f(x) = x2
在区间 ____________ 上，f(x)的值随
着x的增大而 ________ ．
在区间 ____________ 上，f(x)的值随
着x的增大而 ________ ．
新课教学
（一）函数单调性定义
1．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）
注意：
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x12．函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：
3．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
任取x1，x2∈D，且x1 作差f(x1)－f(x2)；
变形（通常是因式分解和配方）；
定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
（二）典型例题
例1．（教材P34例1）根据函数图象说明函数的单调性．
解：（略）
巩固练习：课本P38练习第1、2题
例2．（教材P34例2）根据函数单调性定义证明函数的单调性．
解：（略）
巩固练习：
课本P38练习第3题；
证明函数在（1，+∞）上为增函数．
例3．借助计算机作出函数y =－x2 +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间．
解：（略）
思考：画出反比例函数的图象．
这个函数的定义域是什么？
它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．
说明：本例可利用几何画板、函数图象生成软件等作出函数图象．
归纳小结，强化思想
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
作业布置
书面作业：课本P45 习题1．3（A组） 第1- 5题．
提高作业：设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)=f(x)+f(y)，
求f(0)、f(1)的值；
若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1的解集．
课件33张PPT。第1课时 函数的单调性第一章 1.3.1 单调性与最大(小)值1.理解单调区间、单调性等概念；
2.会划分函数的单调区间，判断单调性；
3.会用定义证明函数的单调性.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 函数单调性思考1 画出函数f(x)＝x、f(x)＝x2的图象，并指出f(x)＝x、f(x)＝x2的图象的升降情况如何？答案答案 两函数的图象如下：函数f(x)＝x的图象由左到右是上升的；
函数f(x)＝x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的.一般地，单调性是相对于区间来说的，函数图象在某区间上上升，则函数在该区间上为增函数，该区间称为增区间.反之则为减函数，相应区间称为减区间.思考2 用图象在某区间上上升(或下降)来描述函数单调性很直观，课本为什么还要用定义刻画单调性？答案答案 因为很多时候我们不知道函数图象是什么样的.一般地，设函数f(x)的定义域为I：
(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是 .答案增函数减函数知识点二 函数的单调区间答案一般地，有下列常识：
(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开.
(2)单调区间D?定义域I.
(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大.返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 求单调区间并判断单调性例1 (1)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？解析答案解 y＝f(x)的单调区间有[－5,－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y＝f(x)在区间[－5,－2]，[1 , 3]上是减函数，在区间[－2, 1]，[3, 5]上是增函数.解析答案(2)写出y＝x2－3|x|＋2的单调区间.画出草图：反思与感悟函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有.解析答案跟踪训练1 (1)根据下图说出函数在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数；解 函数在[－1,0]，[2,4]上是减函数，在[0,2]，[4,5]上是增函数.解析答案(2)写出y＝|x2－2x－3|的单调区间.所以y＝|x2－2x－3|的单调减区间是(－∞，－1]，[1,3]；
单调增区间是[－1,1]，[3，＋∞).类型二 证明单调性例2 (1)物理学中的玻意耳定律p＝ (k为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大.试用函数的单调性证明之；解析答案解析答案证明 根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，＋∞)上的任意两个实数，且V1＜V2，则由V1，V2∈(0，＋∞)，得V1V2>0.
由V10.
又k>0，于是p(V1)－p(V2)>0，即p(V1)>p(V2).所以，函数p＝ ，V∈(0，＋∞)是减函数，也就是说，当体积V减小时，压强p将增大.解析答案(2)已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x>0时，f(x)>1.求证：函数f(x)在R上是增函数.证明 方法一 设x1，x2是实数集上的任意两个实数，且x1>x2.令x＋y＝x1，y＝x2，则x＝x1－x2>0.
f(x1)－f(x2)＝f(x＋y)－f(y)＝f(x)＋f(y)－1－f(y)＝f(x)－1.∵x>0，∴f(x)>1，f(x)－1>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
∴函数f(x)在R上是增函数.
方法二 设x1>x2，则x1－x2>0，
从而f(x1－x2)>1，即f(x1－x2)－1>0.
f(x1)＝f[x2＋(x1－x2)]＝f(x2)＋f(x1－x2)－1>f(x2)，故f(x)在R上是增函数.反思与感悟运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1，x2且x10时，0∵当x＞0时，0＜f(x)＜1，∴f(1)≠0，∴f(0)＝1.
令m＝x＜0，n＝－x＞0，
则f(m＋n)＝f(0)＝f(－x)·f(x)＝1，∴f(x)f(－x)＝1，∴对任意实数x，f(x)恒大于0.
设任意x10，
∴0＝f(x2－x1)f(x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0，
∴f(x)在R上单调递减.类型三 用单调性解不等式例3 (1)已知函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，x1，x2∈(a，b)且f(x1)则由f(x)在区间(a，b)上是增函数，
得f(x1)≥f(x2)，与已知f(x1)∴x1f(1－a)A.f(x)在(－∞，－1)上是减函数
B.f(x)是减函数
C.f(x)是增函数
D.f(x)在(－∞，－1)上是增函数D12345答案C12345答案B123454.已知函数y＝f(x)满足：f(－2)>f(－1)，f(－1)A.函数y＝f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，在区间[－1,0]上单调递增
B.函数y＝f(x)在区间[－2，－1]上单调递增，在区间[－1,0]上单调递减
C.函数y＝f(x)在区间[－2,0]上的最小值是f(－1)
D.以上的三个结论都不正确答案D123455.设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1A.f(x1)f(x2)
C.f(x1)＝f(x2) D.不能确定答案D1.若f(x)的定义域为D，A?D，B?D，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在A∪B上单调递减.
2.对增函数的判断，当x14.若f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f(x)＋g(x)单调递增，f(x)－h(x)单调递增，②－f(x)单调递减，§1.3 函数的基本性质
1．3.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
课时目标 1.理解函数单调性的性质.2.掌握判断函数单调性的一般方法．
1．函数的单调性
一般地，设函数f(x)的定义域为I：
(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是__________．
(3)如果函数y＝f(x)在区间D上是________或________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有________________，区间D叫做y＝f(x)的__________．
2．a>0时，二次函数y＝ax2的单调增区间为________．
3．k>0时，y＝kx＋b在R上是____函数．
4．函数y＝的单调递减区间为__________________．
一、选择题
1．定义在R上的函数y＝f(x＋1)的图象如右图所示．
给出如下命题：
①f(0)＝1；
②f(－1)＝1；
③若x>0，则f(x)<0；
④若x<0，则f(x)>0，其中正确的是( )
A．②③B．①④
C．②④D．①③
2．若(a，b)是函数y＝f(x)的单调增区间，x1，x2∈(a，b)，且x1A．f(x1)C．f(x1)>f(x2) D．以上都可能
3．f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上( )
A．至少有一个根B．至多有一个根
C．无实根D．必有唯一的实根
4．函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上是( )
A．递减函数B．递增函数
C．先递减再递增D．先递增再递减
5．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中不正确的是( )
A.>0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．f(a)D.>0
6．函数y＝的单调递减区间为( )
A．(－∞，－3] B．(－∞，－1]
C．[1，＋∞) D．[－3，－1]
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．设函数f(x)是R上的减函数，若f(m－1)>f(2m－1)，则实数m的取值范围是______________．
8．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________.
三、解答题
9．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．
10．已知f(x)，g(x)在(a，b)上是增函数，且a求证：f(g(x))在(a，b)上也是增函数．
11．已知f(x)＝，试判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明．
能力提升
12．定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0(1)试求f(0)的值；
(2)判断f(x)的单调性并证明你的结论．
13．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.
(1)求f(2)的值；
(2)解不等式f(m－2)≤3.
1．函数的单调区间必须是定义域的子集．因此讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域．
2．研究函数的单调性，必须注意无意义的特殊点，如函数f(x)＝在(－∞，0)和(0，
＋∞)上都是减函数，但不能说函数f(x)＝在定义域上是减函数．
3．求单调区间的方法：(1)图象法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性．
4．用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤：
即“取值——作差变形——定号——判断”这四个步骤．
若f(x)>0，则判断f(x)的单调性可以通过作比的方法去解决，即“取值——作比变形——与1比较——判断”．
§1.3 函数的基本性质
1．3.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
知识梳理
1．(1)增函数 (2)减函数 (3)增函数 减函数 (严格的)单调性 单调区间 2.[0，＋∞) 3.增 4.(－∞，0)和(0，＋∞)
作业设计
1．B
2．A [由题意知y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数，因为x2>x1，对应的f(x2)>f(x1)．]
3．D [∵f(x)在[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，
∴①当f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)<0，f(b)>0，
②当f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)>0，f(b)<0，
由①②知f(x)在区间[a，b]上必有x0使f(x0)＝0且x0是唯一的．]
4．C [如图所示，该函数的对称轴为x＝3，根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增的．]
5．C [由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上是增函数，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A、B、D正确；对于C，若x16．A [该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数f(x)＝x2＋2x－3的对称轴为x＝－1，由函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数．]
7．m>0
解析 由f(m－1)>f(2m－1)且f(x)是R上的减函数得m－1<2m－1，∴m>0.
8．－3
解析 f(x)＝2(x－)2＋3－，
由题意＝2，∴m＝8.
∴f(1)＝2×12－8×1＋3＝－3.
9．解 y＝－x2＋2|x|＋3
＝＝.
函数图象如图所示．
函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，
函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．
∴函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，
单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
10．证明 设a∵g(x)在(a，b)上是增函数，∴g(x1)且a∴f(g(x1))∴f(g(x))在(a，b)上是增函数．
11．解 函数f(x)＝在[1，＋∞)上是增函数．
证明如下：
任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1则f(x2)－f(x1)＝－
＝＝.
∵1≤x1∴x2＋x1>0，x2－x1>0，＋>0.
∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
故函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
12．解 (1)在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，
令m＝1，n＝0，得f(1)＝f(1)·f(0)．
因为f(1)≠0，所以f(0)＝1.
(2)函数f(x)在R上单调递减．
任取x1，x2∈R，且设x1在已知条件f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，
若取m＋n＝x2，m＝x1，
则已知条件可化为f(x2)＝f(x1)·f(x2－x1)，
由于x2－x1>0，所以0在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，
令m＝x，n＝－x，则得f(x)·f(－x)＝1.
当x>0时，01>0，
又f(0)＝1，所以对于任意的x1∈R均有f(x1)>0.
所以f(x2)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0，
即f(x2)13．解 (1)∵f(4)＝f(2＋2)＝2f(2)－1＝5，
∴f(2)＝3.
(2)由f(m－2)≤3，得f(m－2)≤f(2)．
∵f(x)是(0，＋∞)上的减函数，
∴，解得m≥4.
∴不等式的解集为{m|m≥4}．
