§1．3．1函数的最大（小）值
一．教学目标
1．知识与技能：
理解函数的最大（小）值及其几何意义．
学会运用函数图象理解和研究函数的性质．
2．过程与方法：
通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值，实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最值，有利于培养以形识数的解题意识．
3．情态与价值
利用函数的单调性和图象求函数的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，激发学生学习的积极性．
二．教学重点和难点
教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义
教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．
三．学法与教学用具
1．学法：学生通过画图、观察、思考、讨论，从而归纳出求函数的最大（小）值的方法和步骤．
2．教学用具：多媒体手段
四．教学思路
（一）创设情景，揭示课题．
画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？
① ②
③ ④
（二）研探新知
1．函数最大（小）值定义
最大值：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的，都有；
（2）存在，使得．
那么，称M是函数的最大值．
思考：依照函数最大值的定义，结出函数的最小值的定义．
注意：
①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在，使得；
②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的，都有．
2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法．
①配方法 ②换元法 ③数形结合法
（三）质疑答辩，排难解惑．
例1．（教材P30例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．
解（略）
例2．将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？
解：设利润为元，每个售价为元，则每个涨（－50）元，从而销售量减少
∴
＜100）
∴
答：为了赚取最大利润，售价应定为70元．
例3．求函数在区间[2，6] 上的最大值和最小值．
解：（略）
例4．求函数的最大值．
解：令
（四）巩固深化，反馈矫正．
（1）求函数的最大值和最小值．
（2）如图，把截面半径为25cm的图形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为，面积为，试将表示成的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？
（五）归纳小结
求函数最值的常用方法有：
（1）配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值．
（2）换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值．
（3）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值．
（六）设置问题，留下悬念．
1．课本P39（A组） 5.
2．求函数的最小值．
3．求函数．
① ② ③
A组
一、选择题：
1．若一次函数上是单调减函数，则点在直角坐标平面的（ ）
A．上半平面 B．下半平面 C．左半平面 D．右半平面
2．函数y=x2+x+2单调减区间是( )
A ．[－,+∞] B．（－1，+∞） C．（－∞，－） D．（－∞，+∞）
3．下列函数在（0，3）上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数在区间（-∞，4）上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥3 B．a≤-3 C．a≥-3 D．a≤5
5．设A=[1，b]（b＞1），，若f（x）的值域也是A，则b值是（ ）
A． B．2 C．3 D．
6．定义在R上的f（x）满足f（－x）＝f（x），且在（－∞，0）上是增函数，若，则a的取值范围是（ ）
A． B．|a|>2 C． D．
二、填空题：
7．若函数f(x)=(-k2+3k+4)x+2是增函数，则k 的范围是
8．定义在区间[a、b]上的增函数f（x），最大值是________，最小值是________。
定义在区间[c，d]上的减函数g（x），最大值是________，最小值是________。
9．一般地，家庭用电量y（千瓦）与气温x（℃）有函数关系。图（1）表示某年12个月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在12个月中每月的用电量. 试在数集是2.5的整数倍}中确定一个最小值和最大值，使上的增函数，则区间[，x2]= .
10．读图分析：设定义在的函数的图象
如图所示（图中坐标点都是实心点），请填写以下几个空格：
（1）若，，则___________。
（2）若的定义域为，则函数
的定义域为____________。
（3）该函数的单调增区间为__________、
__________、_________。
（4）方程（）的解个数为____(个)。
11．函数在区间[-3，a]上是增函数，则a的取值范围是________。
12．函数的单调递增区间是＿＿＿＿＿＿＿。
三、解答题：
13．画出函数的图象，并求出此函数的单调区间。
14．利用函数单调性定义，证明函数在（-1，1）上是增函数。
课时提升作业(十一)
函数的最大值、最小值
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.定义在R上的函数f(x)满足f(x)>4,则f(x)的最小值是 ( )
A.4 B.f(4) C.4.001 D.不能确定
【解析】选D.根据函数最小值的概念可知,此函数的最小值不能确定.
【误区警示】对于最小值概念理解不到位而错选A.
2.(2018·银川高一检测)函数f(x)=2-在区间[1,3]上的最大值是 ( )
A.2 B.3 C.-1 D.1
【解析】选D.易判断f(x)在区间[1,3]上是单调递增的,所以在区间[1,3]上的最大值是f(3)=1.
【补偿训练】函数f(x)=在区间[2,6]上的最大值和最小值分别是 ( )
A.,1 B.1, C.,1 D.1,
【解析】选B.函数f(x)=在[2,6]上单调递减,当x=2时,f(x)有最大值为1,当x=6时,有最小值为.
3.(2018·昆明高一检测)函数f(x)=则f(x)的最大值、最小值分别为 ( )
A.10,6 B.10,8 C.8,6 D.以上都不对
【解析】选A.函数f(x)在区间[-1,2]上是增函数,所以函数f(x)的最大值为f(2)=10,最小值为f(-1)=6.
【补偿训练】设定义在R上的函数f(x)=x|x|,则f(x) ( )
A.只有最大值
B.只有最小值
C.既有最大值又有最小值
D.既无最大值又无最小值
【解析】选D.f(x)=画出图象可知,函数f(x)既无最大值又无最小值.
4.已知函数f(x)=x2-4x+10,x∈[-1,m],并且f(x)的最小值为f(m),则实数m的取值范围是 ( )
A.(-1,2] B.(-1,+∞)
C.[2,+∞) D.(-∞,-1)
【解题指南】由条件可知f(x)在区间[-1,m]上单调递减,所在区间[-1,m]是f(x)在R上的减区间的子集,据此可求得m的范围.
【解析】选A.函数f(x)=x2-4x+10的对称轴为直线x=2,所以f(x)在(-∞,2]上单调递减,又f(x)在[-1,m]上的最小值是f(m),所以[-1,m]是f(x)的单调减区间,所以-1
5.已知f(x)=,则y=f(x+2)在区间[2,8]上的最小值与最大值分别为 ( )
A.与 B.与1
C.与 D.与
【解析】选A.因为f(x+2)=,x∈[2,8],易证f(x+2)=在[2,8]上是减少的,所以x=8时,ymin=;x=2时,ymax=,故选A.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.函数y=f(x)的定义域为[-4,6],且在区间[-4,-2]上递减,在区间(-2,6]上递增,且f(-4)【解析】因为y=f(x)在[-4,-2]上递减,在(-2,6]上递增,故当x=-2时f(x)取最小值f(-2),又因为f(-4)答案:f(-2) f(6)
7.函数f()=x-1的最小值是 .
【解析】设=t,t≥0,所以f(t)=t2-1,t≥0,
所以f(x)=x2-1,x≥0,
因为f(x)=x2-1在[0,+∞)上为增函数,
所以f(x)的最小值为-1.即f()=x-1的最小值是-1.
答案:-1
8.(2018·天津高一检测)若函数y=(k>0)在[2,4]上的最小值为5,则k的值为 .
【解析】因为k>0,所以函数y=在[2,4]上是减函数,所以当x=4时,ymin=,此时=5,所以k=20.
答案:20
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2018·日照高一检测)求函数f(x)=+x在[2,+∞)上的最小值.
【解析】设2≤x1则f(x1)-f(x2)=+x1--x2
=+(x1-x2)
=(x1-x2)<0.
所以f(x1)-f(x2)<0,f(x1)所以f(x)=+x在[2,+∞)上单调递增.
所以f(x)min=f(2)=+2.
10.(2018·天水高一检测)已知函数f(x),当x,y∈R时,恒有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求证:f(x)+f(-x)=0.
(2)若f(-3)=a,试用a表示f(24).
(3)如果x>0时,f(x)<0,且f(1)=-,试求f(x)在区间[-2,6]上的最大值和最小值.
【解析】(1)令x=y=0得f(0)=0,
再令y=-x得f(-x)=-f(x),
所以f(x)+f(-x)=0.
(2)因为f(-3)=a则f(3)=-a,
所以f(24)=8f(3)=-8a.
(3)设x∈(-∞,+∞),且x1则f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)+f(x2-x1),
又因为x2-x1>0,所以f(x2-x1)<0,
f(x1)+f(x2-x1)所以f(x2)所以f(x)max=f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,
f(x)min=f(6)=6f(1)=6×=-3.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2018·太原高一检测)若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是 ( )
A.2 B.-2 C.2或-2 D.0
【解题指南】分a大于0、小于0和等于0分别计算.
【解析】选C.当a=0时,不满足题意;当a>0时,y=ax+1在[1,2]上为增函数,所以2a+1-(a+1)=2,解得a=2;当a<0时,y=ax+1在[1,2]上为减函数,所以a+1-(2a+1)=2,解得a=-2,故a=±2.
2.(2018·宿州高一检测)函数f(x)=的最大值是 ( )
A. B. C. D.
【解题指南】欲求最大值,可转化为求分母的最小值.
【解析】选D.分母1-x(1-x)=x2-x+1=+≥,显然0二、填空题(每小题5分,共10分)
3.函数y=|-x2+2x+3|在区间[0,4]上的最大值是 .
【解析】由y=知此函数在[0,3]上的最大值为4,在[3,4]上的最大值为5,所以在[0,4]上的最大值为5.
答案:5
4.(2018·济宁高一检测)定义在R上的函数f(x)对任意两个不等的实数x1,x2,总有>0成立,且f(-3)=a,f(-1)=b,则f(x)在[-3,-1]上的最大值是 .
【解析】由>0,得f(x)在R上是增函数,则f(x)在[-3,-1]上的最大值是f(-1)=b.
答案:b
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.某公司试销一种成本单价为50元/件的新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价,又不高于80元/件.经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看作一次函数y=kx+b的关系(如图所示).
(1)根据图象,求一次函数y=kx+b的解析式.
(2)设公司获得的利润为S元(利润=销售总价-成本总价;销售总价=销售单价×销售量,成本总价=成本单价×销售量).
①试用销售单价x表示利润S;
②试问销售单价定为多少时,该公司可获得最大利润?最大利润是多少?此时的销售量是多少?
【解析】(1)由图象知,当x=60时,y=40;
当x=70时,y=30,
代入y=kx+b中,得解得
所以y=-x+100(50≤x≤80).
(2)①由题意可知:
S=xy-50y=x(-x+100)-50(-x+100)
=-x2+150x-5000
=-(x-75)2+625(50≤x≤80).
②由①知S=-(x-75)2+625(50≤x≤80),当x=75时,利润S取得最大值625,
所以当销售单价为75元/件时,可获得最大利润625元,此时销售量为25件.
6.已知函数f(x)对任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-.
(1)求证:f(x)是R上的单调减函数.
(2)求f(x)在[-3,3]上的最小值.
【解析】(1)设x1和x2是任意的两个实数,且x10,因为x>0时,f(x)<0,
所以f(x2-x1)<0,又因为x2=(x2-x1)+x1,
所以f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1),
所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0,所以f(x2)所以f(x)是R上的单调减函数.
(2)由(1)可知f(x)在R上是减函数,
所以f(x)在[-3,3]上也是减函数,
所以f(x)在[-3,3]上的最小值为f(3).
而f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3×=-2.
所以函数f(x)在[-3,3]上的最小值是-2.
课件23张PPT。1.3.1 单调性与最大（小）值（第2课时）增函数：
如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1、x2，当 x1 (1) 这个函数的定义域是什么？
(2) 它在定义域 I 上的单调性怎样？证明你的结论． 三、练习巩固CACD以y=-x2-2x为例，函数的图象有一个最高点（-1，1），
(1)对于任意x∈R，都有其函数值 f(x) 1 ，
(2)存在x=_____，有 _____ =1，
我们就说f(x)有 。思考：请观察这三个图象，找出点A、B、C的共同特征。 观察比较以上三个图象，可以发现点A、B、C分别是三个函数图象的最高点。最大值为1二、新课讲解-1 f(-1)≤ 设函数 y=f(x) 的定义域为I，如果存在实数M满足:
(1)对于任意的 x∈I，都有 f(x) ≤ M；
(2)存在 x0∈I，使得 f(x0)=M .
那么，我们称 M 是函数 y=f(x)的最大值。记为： ymax= f(x0)注：两个条件缺一不可（“任意”，“存在”）。1、最大值：二、新课讲解二、新课讲解函数的图象有一个最高点（-1，1），
(1)对于任意x∈R，都有其函数值 f(x) ≤ 1，
(2)存在x=_____，有 _____ =1，
我们就说f(x)有 。最大值为1-1 f(-1)函数f(x)=x2的图象有一个最低点(0,0)，
(1)对于任意x∈R，都有 ，
(2)存在x = ___，有__________，
我们就说f(x)有 。f(x) ≥0最小值为00f(0) = 02、最小值：
设函数 y=f(x) 的定义域为I，如果存在实数N 满足:
(1)对于任意的 x∈I，都有 f(x) ≥ N；
(2)存在 x1∈I，使得f(x1)=N .
那么，我们称 N 是函数y=f(x)的最小值。1、最大值：
设函数 y=f(x) 的定义域为I，如果存在实数M满足:
(1)对于任意的 x∈I，都有 f(x) ≤ M；
(2)存在 x0∈I，使得 f(x0)=M .
那么，我们称 M 是函数 y=f(x)的最大值。ymax=f(x0)二、新课讲解ymin=f(x1)-1-334(1)由左边函数图象可得：
函数最大值是____________；
函数最小值是____________.(2)由左边函数图象可得：
函数最大值是____________；
函数最小值是____________.可存在多个自变量的值，其函数值等于最大（小）值.函数的最值是“全局性质”二、新课讲解-1-334(3)由左边函数图象可得：
函数最大值是____________；
函数最小值是____________.(4)由左边函数图象可得：
函数最大值是____________；
函数最小值是____________.函数不一定都存在“最值”
存在最大值的同时也不一定存在最小值，反之亦然.3-3二、新课讲解分析：函数 的图象如右显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，
纵坐标就是这时距地面的高度。三、例题讲解P32-5、设 f(x) 是定义在区间[-6,11]上的函数。如果 f(x) 在区间[-6,-2]上递减，在区间[-2,11]上递增，画出 f(x) 的一个大致的图象，从图象上可以发现 f(-2) 是函数 f(x)的一个 . 四、练习归纳：三、例题讲解变式练习一般地，设函数 y=f(x) 的定义域为I，如果存在实数M满足:
(1)对于任意的 x∈I，都有 f(x) ≤M；
(2)存在 x0∈I，使得 f(x0)=M .
那么，我们称 M 是函数 y=f(x)的最大值。1、最大值/最小值3、若函数的最大值和最小值存在，则都是唯一的，但取最值时的自变量可以有多个。有些函数不一定有最值，有最值的不一定同时有最大值最小值。2、函数的最值是“全局性质”4、求单调函数在闭区间上的最值，关键是先判断函数的单调性。五、小结归纳1、（作业本）
P39 习题1.3 B组 第1题六、作业课件18张PPT。1.3.1 单调性与最大（小）值（第3课时）一般地，设函数 y=f(x) 的定义域为I，如果存在实数M满足:
(1)对于任意的 x∈I，都有 f(x) ≤M；
(2)存在 x0∈I，使得 f(x0)=M .
那么，我们称 M 是函数 y=f(x)的最大值。2、最大值/最小值复习回顾 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1增函数+增函数=增函数
减函数+减函数=减函数
增函数-减函数=增函数
减函数-增函数=减函数分析：函数 的图象如右显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，
纵坐标就是这时距地面的高度。三、例题讲解P32-5、设 f(x) 是定义在区间[-6,11]上的函数。如果 f(x) 在区间[-6,-2]上递减，在区间[-2,11]上递增，画出 f(x) 的一个大致的图象，从图象上可以发现 f(-2) 是函数 f(x)的一个 . 复习回顾归纳：三、例题讲解变式练习题型一：根据函数单调性求最值二次函数的单调性与最值题型二：由二次函数单调性求参数范围题型二：由二次函数单调性求参数范围一般地，设函数 y=f(x) 的定义域为I，如果存在实数M满足:
(1)对于任意的 x∈I，都有 f(x) ≤M；
(2)存在 x0∈I，使得 f(x0)=M .
那么，我们称 M 是函数 y=f(x)的最大值。1、最大值/最小值3、若函数的最大值和最小值存在，则都是唯一的，但取最值时的自变量可以有多个。有些函数不一定有最值，有最值的不一定同时有最大值最小值。2、函数的最值是“全局性质”4、求单调函数在闭区间上的最值，关键是先判断函数的单调性。五、小结归纳课题：§1.3.2函数的奇偶性
教学目的：（1）理解函数的奇偶性及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）学会判断函数的奇偶性．
教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．
教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式．
教学过程：
引入课题
1．实践操作：（也可借助计算机演示）
取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题：
以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形；
问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？
答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y轴对称；
（2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．
以y轴为折痕将纸对折，然后以x轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形：
问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？
答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称；
（2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，－f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数．
2．观察思考（教材P39、P40观察思考）
新课教学
（一）函数的奇偶性定义
象上面实践操作中的图象关于y轴对称的函数即是偶函数，操作中的图象关于原点对称的函数即是奇函数．
1．偶函数（even fun_ction）
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
（学生活动）：仿照偶函数的定义给出奇函数的定义
2．奇函数（odd fun_ction）
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
注意：
函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
（二）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；
奇函数的图象关于原点对称．
（三）典型例题
1．判断函数的奇偶性
例1．（教材P36例3）应用函数奇偶性定义说明两个观察思考中的四个函数的奇偶性．（本例由学生讨论，师生共同总结具体方法步骤）
解：（略）
总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
确定f(－x)与f(x)的关系；
作出相应结论：
若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
巩固练习：（教材P41例5）
例2．（教材P46习题1．3 B组每1题）
解：（略）
说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数．
2．利用函数的奇偶性补全函数的图象
（教材P41思考题）
规律：
偶函数的图象关于y轴对称；
奇函数的图象关于原点对称．
说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据．
巩固练习：（教材P42练习1）
3．函数的奇偶性与单调性的关系
（学生活动）举几个简单的奇函数和偶函数的例子，并画出其图象，根据图象判断奇函数和偶函数的单调性具有什么特殊的特征．
例3．已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数
解：(由一名学生板演，然后师生共同评析，规范格式与步骤)
规律：
偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；
奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．
归纳小结，强化思想
本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．
作业布置
书面作业：课本P46 习题1．3（A组） 第9、10题， B组第2题．
2．补充作业：判断下列函数的奇偶性：
；
；
（）
课后思考：
已知是定义在R上的函数，
设，
试判断的奇偶性；
试判断的关系；
由此你能猜想得出什么样的结论，并说明理由．
课题：§1.3.1函数的最大（小）值
教学目的：（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义．
教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．
教学过程：
引入课题
画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：
说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；
指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？
（1） （2）
（3） （4）
新课教学
（一）函数最大（小）值定义
1．最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）．
思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义．（学生活动）
注意：
函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；
函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．
2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法
利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
利用图象求函数的最大（小）值
利用函数单调性的判断函数的最大（小）值
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
（二）典型例题
例1．（教材P36例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．
解：（略）
说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．
巩固练习：如图，把截面半径为
25cm的圆形木头锯成矩形木料，
如果矩形一边长为x，面积为y
试将y表示成x的函数，并画出
函数的大致图象，并判断怎样锯
才能使得截面面积最大？
例2．（新题讲解）
旅 馆 定 价
一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：
房价（元）
住房率（%）
160
55
140
65
120
75
100
85
欲使每天的的营业额最高，应如何定价？
解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．
设为旅馆一天的客房总收入，为与房价160相比降低的房价，因此当房价为元时，住房率为，于是得
=150··．
由于≤1，可知0≤≤90．
因此问题转化为：当0≤≤90时，求的最大值的问题．
将的两边同除以一个常数0.75，得1=－2＋50＋17600．
由于二次函数1在=25时取得最大值，可知也在=25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．
所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）
例3．（教材P37例4）求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．
解：（略）
注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式．
巩固练习：（教材P38练习4）
归纳小结，强化思想
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
作业布置
书面作业：课本P45 习题1．3（A组） 第6、7、8题．
提高作业：快艇和轮船分别从A地和C地同时开出，如下图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45 km/h和15 km/h，已知AC=150km，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？
课件35张PPT。第2课时 函数的最大(小)值第一章 1.3.1 单调性与最大(小)值1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义；
2.会借助单调性求最值；
3.掌握求二次函数在闭区间上的最值.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一 函数的最大(小)值思考 在下图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多少？为什么不是最小值？答案答案 最大的函数值为4，最小的函数值为2.1没有A中的元素与之对应，不是函数值.一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值.
如果存在实数M满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最小值.知识点二 函数的最大(小)值的几何意义思考 函数y＝x2，x∈[－1,1]的图象如右：答案试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值.答案 x＝±1时，y有最大值1，对应的点是图象中的最高点，x＝0时，y有最小值0，对应的点为图象中的最低点.一般地，函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个.返回题型探究 重点难点 个个击破类型一 借助单调性求最值解析答案反思与感悟解析答案解 设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x10，(x1－1)(x2－1)>0，
于是f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2).反思与感悟即在x＝2时取得最大值，最大值是2，反思与感悟1.若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a).
2.若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b).
3.若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先决出各区间上的最值，再从各区间的最大值中决出总冠军，函数的最大(小)值是整个值域范围内最大或最小的.解析答案当x10，x1x2－1<0，f(x1)－f(x2)<0，f(x1)∴f(x)在(0,1]上单调递增；
当1≤x10，x1x2－1>0，f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在[1，＋∞)上单调递减.类型二 求二次函数的最值例2 (1)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函数f(x)的最值；解析答案解 ∵函数f(x)＝x2－2x－3开口向上，对称轴x＝1，
∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，且f(0)＝f(2).
∴f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3，
f(x)min＝f(1)＝－4.解析答案(2)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函数f(x)的最值；解 ∵对称轴x＝1，
①当1≥t＋2即t≤－1时，
f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，
f(x)min＝f(t＋2)＝t2＋2t－3.f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，
f(x)min＝f(1)＝－4.解析答案f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，
f(x)min＝f(1)＝－4.
④当11时，
f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，
f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.解析答案由(1)知y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上单调递减，
在[1，＋∞)上单调递增.
∴当t＝1即x＝1时，f(x)min＝－4，无最大值.解析答案(4)“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？(精确到1 m)反思与感悟解 作出函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18的图象(如图).
显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，
顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，
纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识，对于函数h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，于是，烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29 m.反思与感悟1.二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素.
2.图象直观，便于分析、理解；配方法说理更严谨，一般用于解答题.解析答案跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝x4－2x2－3，求函数f(x)的最值；解 设x2＝t(t≥0)，则x4－2x2－3＝t2－2t－3.
y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增.
∴当t＝1即x＝1时，f(x)min＝－4，无最大值.(2)求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值；解 ∵函数图象的对称轴是x＝a，
∴当a<2时，f(x)在[2,4]上是增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝6－4a.
当a>4时，f(x)在[2,4]上是减函数，
∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.
当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.解析答案解析答案类型三 函数最值的应用例3 已知ax2－x＋a>0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围.解析答案反思与感悟解析答案解 方法一 若a<0，抛物线y＝ax2－x＋a开口向下，y不可能恒大于0.
若a＝0，ax2－x＋a＝－x<0，不合题意.
若a>0，y＝ax2－x＋a开口向上，反思与感悟反思与感悟恒成立的不等式问题一般转化为最值问题来解决.解析答案跟踪训练3 已知ax2＋x≤1对任意x∈(0,1]恒成立，求实数a的取值范围.∴a≤0.返回123达标检测 45答案1.函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值，最大值分别是( )A.f(－2)，0 B.0,2
C.f(－2)，2 D.f(2)，2C12345答案C12345答案A123454.函数f(x)＝x2，x∈[－2,1]的最大值，最小值分别为( )
A.4,1 B.4,0
C.1,0 D.以上都不对答案B12345答案A(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得.即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a).返回2.二次函数在闭区间上的最值
探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得.第2课时 函数的最大(小)值
课时目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.体会函数的最大(小)值与单调性之间的关系.3.会求一些简单函数的最大(小)值．
1．函数的最大值、最小值
最值
最大值
最小值
条件
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有__________．
(2)存在x0∈I，使得__________.
(3)对于任意的x∈I，都有__________．
(4)存在x0∈I，使得__________．
结论
M是函数y＝f(x)的最大值
M是函数y＝f(x)的最小值
2.函数最值与单调性的联系
(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为________，最小值为________．
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为______，最小值为______．
一、选择题
1．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．a≤－3B．a≥－3
C．a≤5D．a≥3
2．函数y＝x＋( )
A．有最小值，无最大值
B．有最大值，无最小值
C．有最小值，最大值2
D．无最大值，也无最小值
3．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[0,2]
C．(－∞，2] D．[1,2]
4．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么( )
A．f(－2)C．f(2)5．函数y＝|x－3|－|x＋1|的( )
A．最小值是0，最大值是4
B．最小值是－4，最大值是0
C．最小值是－4，最大值是4
D．没有最大值也没有最小值
6．函数f(x)＝的最大值是( )
A.B.
C.D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．函数y＝的值域是________．
8．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a9．若y＝－，x∈[－4，－1]，则函数y的最大值为________．
三、解答题
10．已知函数f(x)＝x2－2x＋2.
(1)求f(x)在区间[，3]上的最大值和最小值；
(2)若g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上是单调函数，求m的取值范围．
11．若二次函数满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
能力提升
12．已知函数f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，构造函数F(x)，定义如下：当f(x)≥g(x)时，F(x)＝g(x)；当f(x)A．有最大值3，最小值－1
B．有最大值3，无最小值
C．有最大值7－2，无最小值
D．无最大值，也无最小值
13．已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1，其中a≥0，a∈R.
(1)若a＝1，作函数f(x)的图象；
(2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．
1．函数的最大(小)值
(1)定义中M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0，注意对“存在”的理解．
(2)对于定义域内任意元素，都有f(x)≤M或f(x)≥M成立，“任意”是说对每一个值都必须满足不等式．
拓展 对于函数y＝f(x)的最值，可简记如下：
最大值：ymax或f(x)max；最小值：ymin或f(x)min.
2．函数的最值与值域、单调性之间的联系
(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有
最值，如函数y＝.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．
(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得．即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．
3．二次函数在闭区间上的最值
探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．
第2课时 函数的最大(小)值
知识梳理
1．(1)f(x)≤M (2)f(x0)＝M (3)f(x)≥M (4)f(x0)＝M
2．(1)f(b) f(a) (2)f(a) f(b)
作业设计
1．A [由二次函数的性质，可知4≤－(a－1)，
解得a≤－3.]
2．A [∵y＝x＋在定义域[，＋∞)上是增函数，
∴y≥f()＝，即函数最小值为，无最大值，选A.]
3．D [由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2知，
当x＝1时，y的最小值为2，
当y＝3时，x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝2.
由y＝x2－2x＋3的图象知，当m∈[1,2]时，能保证y的最大值为3，最小值为2.]
4．D [依题意，由f(1＋x)＝f(－x)知，二次函数的对称轴为x＝，因为f(x)＝x2＋bx＋c开口向上，且f(0)＝f(1)，f(－2)＝f(3)，由函数f(x)的图象可知，[，＋∞)为f(x)的增区间，
所以f(1)5．C [y＝|x－3|－|x＋1|＝.
因为[－1,3)是函数y＝－2x＋2的减区间，
所以－46．D [f(x)＝≤.]
7．(0,2]
解析 观察可知y>0，当|x|取最小值时，y有最大值，
所以当x＝0时，y的最大值为2，即0故函数y的值域为(0,2]．
8．－2 0
解析 y＝－(x－3)2＋18，∵a∴函数y在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，
得b＝0(b＝6不合题意，舍去)
－a2＋6a＋9＝－7，得a＝－2(a＝8不合题意，舍去)．
9．2
解析 函数y＝－在[－4，－1]上是单调递增函数，
故ymax＝－＝2.
10．解 (1)∵f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[，3]，
∴f(x)的最小值是f(1)＝1，又f()＝，f(3)＝5，
所以，f(x)的最大值是f(3)＝5，
即f(x)在区间[，3]上的最大值是5，最小值是1.
(2)∵g(x)＝f(x)－mx＝x2－(m＋2)x＋2，
∴≤2或≥4，即m≤2或m≥6.
故m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．
11．解 (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，∴c＝1，
∴f(x)＝ax2＋bx＋1.
∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴2ax＋a＋b＝2x，
∴，∴，∴f(x)＝x2－x＋1.
(2)由题意：x2－x＋1>2x＋m在[－1,1]上恒成立，
即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立．
令g(x)＝x2－3x＋1－m＝(x－)2－－m，
其对称轴为x＝，
∴g(x)在区间[－1,1]上是减函数，
∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0，∴m<－1.
12．C [画图得到F(x)的图象：
射线AC、抛物线及射线BD三段，
联立方程组
得xA＝2－，
代入得F(x)的最大值为7－2，
由图可得F(x)无最小值，从而选C.]
13．解 (1)当a＝1时，f(x)＝x2－|x|＋1＝.
作图(如右所示)．
(2)当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2－x＋2a－1.
若a＝0，则f(x)＝－x－1在区间[1,2]上是减函数，
g(a)＝f(2)＝－3.
若a>0，则f(x)＝a(x－)2＋2a－－1，
f(x)图象的对称轴是直线x＝.
当0<<1，即a>时，f(x)在区间[1,2]上是增函数，
g(a)＝f(1)＝3a－2.
当1≤≤2，即≤a≤时，
g(a)＝f()＝2a－－1，
当>2，即0g(a)＝f(2)＝6a－3.
综上可得g(a)＝
