第 1 页 共 4 页
2019～2020 学年度第一学期单元检测卷
高一数学参考答案
一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B B C D A A B A C C B
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13． 1
3
14． 8
3
15． 10
16．7
[阅卷教师注意]本试卷阅卷评分细则根据当地实际教学情况制定！
三、解答题：共 70分.
17．（1）原式= ? ? ? ? 89328110322110 23
6
3
1
2
1
4
3
43
1
3 ????????
?
?
??
?
?
????
?? ．
（2） 7
4
log 2
3
27log lg 25 lg 4 7
3
? ? ?
? ?
3
14
24
3 3
3 1 15log lg 25 4 2 log 3 lg10 2 2 2
3 4 4
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ．
18．（1）要使原函数有意义，需满足
1 0
1 0
x
x
? ??
? ? ??
，
解得–1
故函数的定义域为（–1，1）；
（2）∵f（–x）=lg（1–x）–lg（1+x）=–f（x）
∴f（x）为奇函数．
第 2 页 共 4 页
19．（1）由 1 2( )
2 2
? ? ，得
1
2
? ? ，
所以 ? ?f x x? ；
（2）函数 f（x）的定义域是[0，+∞），
设任意的 x2>x1≥0，
则 ? ? ? ? 2 12 1 2 1
2 1
x xf x f x x x
x x
?
? ? ? ?
?
，
∵ 2 1 2 10 0x x x x? ?＞ ， ＞ ，
∴f（x2）>f（x1），
函数 f（x）在定义域上是增函数．
20．（1）∵f（x）=loga（1+x）+loga（3–x），
∴f（1）=loga2+loga2=loga4=2，∴a=2；
又∵
1 0
3 0
x
x
? ??
? ? ??
，∴x∈（–1，3），
∴f（x）的定义域为（–1，3）．
（2）∵f（x）=log2（1+x）+log2（3–x）=log2[（1+x）（3–x）]=log2[–（x–1）2+4]，
∴当 x∈（–1，1]时，f（x）是增函数；
当 x∈（1，3）时，f（x）是减函数，
∴f（x）在[0， 3
2
]上的最大值是 f（1）=log24=2；
又∵f（0）=log23，f（
3
2
）=log2
15
4
=–2+log215，
∴f（0）2
）；
∴f（x）在[0， 3
2
]上的最小值是 f（0）=log23；
∴f（x）在区间[0， 3
2
]上的值域是[log23，2]．
21．（1）函数 ? ?f x 的定义域是R，因为 ? ? ? ? ? ?x x x xf x e e e e f x? ?? ? ? ? ? ? ? ? ，
即 ? ? ? ?f x f x? ? ? ，所以函数 ? ?f x 是奇函数.
（2）由（1）知函数 ? ?f x 是奇函数，所以 ? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1f m f m f m? ? ? ? ? ? ? .
因为 xy e? 是R上的增函数，
1
xy e
? ? 是R上的增函数，
则函数 ? ?f x 是R上的增函数.
第 3 页 共 4 页
所以1 2 1m m? ? ? ? ，解得 2??m .
故实数m的取值范围是 ? ?, 2?? ?
22．（1）函数 ? ?y f x? 为奇函数．
当 0a ? 时， ? ?f x x x x? ? ， x R? ，
∴ ? ? ? ? ? ?f x x x x x x x f x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，
∴函数 ? ?y f x? 为奇函数；
（2） ? ? ? ? ? ?? ?
2
2
1 ,
1 , ( )
x a x x a
f x
x a x x a
? ? ? ??? ?? ? ? ???
，
当 x a? 时， ? ?y f x? 的对称轴为： 1
2
ax ?? ；
当 x a? 时， ? ?y f x? 的对称轴为： 1
2
ax ?? ；
∴当
1 1
2 2
a aa? ?? ? 时， ? ?y f x? 在R上是增函数，
即 1 1a? ? ? 时，函数 ? ?y f x? 在R上是增函数；
（3）方程 ? ? ? ? 0f x tf a? ? 的解即为方程 ? ? ? ?f x tf a? 的解．
①当 1 1a? ? ? 时，函数 ? ?y f x? 在R上是增函数，
∴关于 x的方程 ? ? ? ?f x tf a? 不可能有三个不相等的实数根；
②当 1a ? 时，即
1 1
2 2
a aa ? ?? ? ，
∴ ? ?y f x? 在 1,
2
a ?? ???? ?
? ?
上单调增，在
1,
2
a a?? ?? ?
? ?
上单调减，在 ? ?,a ?? 上单调增，
∴当 ? ? ? ? 1
2
af a tf a f ?? ?? ? ? ?
? ?
时，关于 x的方程 ? ? ? ?f x tf a? 有三个不相等的实数根；即
? ?21
4
a
a ta
?
? ? ，即 ? ?24 ? 4 1a t a a? ? ? ，
∵ 1a ? ，∴
1 11 2
4
t a
a
? ?? ? ? ?? ?
? ?
．
设 ? ? 1 1 2
4
h a a
a
? ?? ? ?? ?
? ?
，
第 4 页 共 4 页
∵存在 ? ?2,3a? ? 使得关于 x的方程 ? ? ? ?f x tf a? 有三个不相等的实数根，
∴ ? ?max1 t h a? ? ，又可证 ? ?
1 1 2
4
h a a
a
? ?? ? ?? ?
? ?
在 ? ?1,3 上单调增．
∴ ? ?max
4
3
h a ? ，∴
41
3
t? ? ；
③当 1a ? ? 时，即
1 1
2 2
a aa ? ?? ? ，
∴ ? ?y f x? 在 ? ?,a?? 上单调增，在 1,
2
aa ?? ?? ?
? ?
上单调减，在
1,
2
a ?? ???? ?
? ?
上单调增，
∴当 ? ? ? ?1
2
af tf a f a?? ? ? ?? ?
? ?
时，关于 x的方程 ? ? ? ?f x tf a? 有三个不相等的实数根；
即
? ?21
4
a
ta a
?
? ? ? ，∵ 1a ? ? ∴
1 11 2
4
t a
a
? ?? ? ? ? ?? ?
? ?
，
设 ? ? 1 1 2
4
g a a
a
? ?? ? ? ?? ?
? ?
∵存在 ? ?2,3a? ? 使得关于 x的方程 ? ? ? ?f x tf a? 有三个不相等的实数根，
∴ ? ?max1 t g a? ? ，又可证 ? ?
1 1 2
4
g a a
a
? ?? ? ? ?? ?
? ?
在? ?2, 1? ? 上单调减，∴ ? ?max
9
8
g a ?
∴
91
8
t? ? ；
综上：
41
3
t? ? ．
2019～2020学年度第一学期单元检测卷
高 一 数 学
考生注意：
1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3．本卷命题范围：必修①第二章 基本初等函数(I)
第I卷(选择题 共60分)
选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是
A． B．
C． D．
2．函数的单调递增区间为
A．（1，+∞） B．（0，+∞） C．（–∞，0） D．（–1，1）
3．函数的图象是
A． B． C． D．
4．已知R上的奇函数f（x）满足当x<0时，f（x）=log2（1–x），则f（f（1））=
A．–1 B．–2 C．1 D．2
5．指数函数y=ax与y=bx的图象如图所示，则
A．a<0，b<0 B．a<0，b>0 C．01
6．设lg2=a，lg3=b，则log1210=
A． B． C．2a+b D．a+2b
7．已知函数，则函数f（x）的减区间是
A．（–∞，2） B．（2，+∞） C．（5，+∞） D．（–∞，–1）
8．函数f（x）=ax（a>0，且a≠1）对于任意的实数x、y都有
A．f（xy）=f（x）?f（y） B．f（x+y）=f（x）?f（y）
C．f（xy）=f（x）+f（y） D．f（x+y）=f（x）+f（y）
9．设，则的大小关系是
A． B． C． D．
10．函数y=ax–2+2（a>0，a≠1）的图象必过定点
A．（1，2） B．（2，2） C．（2，3） D．（3，2）
11．小华同学作出的a=2，3，时的对数函数y=logax的图象如图所示，则对应于C1，C2，C3的a的值分别为
A．2，3， B．3，2， C．，2，3 D．，3，2
12．已知函数，则
A．存在x0∈R，使得f（x）<0
B．对于任意x∈[0，+∞），f（x）≥0
C．存在x1，x2∈[0，+∞），使得
D．对于任意x1∈[0，+∞），x2∈[0，+∞）使得f（x1）>f（x2）
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若=m，lg6=n，则102m–n=__________．
14．计算___________．
15．设2x=5y=m，且=2，则m的值是__________．
16．设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=__________．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演示步骤.
17．（本小题满分10分）（1）；
（2）．
18．（本小题满分12分）已知函数f（x）=lg（x+1）–lg（1–x）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性．
19．（本小题满分12分）已知幂函数f（x）=xα（α∈R），且．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）证明函数f（x）在定义域上是增函数．
20．（本小题满分12分）设f（x）=loga（1+x）+loga（3–x）（a>0，a≠1），且f（1）=2．
（1）求a的值及f（x）的定义域；
（2）求f（x）在区间[0，]上的值域．
21．（本小题满分12分）已知函数.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若，求实数的取值范围.
22．（本小题满分12分）已知函数，．
（1）若，判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；
（3）若存在实数，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．
高一数学·单元检测卷 第 1页(共 4页)
2019～2020 学年度第一学期单元检测卷
高 一 数 学
考生注意：
1．本试卷分第 I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分 150分，考试时间 120分钟。
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。第 I卷每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号涂黑；第Ⅱ卷请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书．．．．．．．
写的答案无效．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．。
3．本卷命题范围：必修①第二章 基本初等函数(I)
第 I 卷(选择题 共 60分)
一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求.
1．下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是
A．
1
2( ) ( 0)x x x? ? ? ? B．
1
26 3 ( 0)y y y? ?
C．
2 21 3
32 ( 0, 0)
y
x y x y
x
?
? ? ? D．
1
33 ( 0)x x x
?
? ? ?
2．函数 ? ? 211( )
2
xf x ?? 的单调递增区间为
A．（1，+∞） B．（0，+∞） C．（–∞，0） D．（–1，1）
3．函数
1
2
x
y ? ?? ? ?
? ?
的图象是
A． B． C． D．
4．已知 R 上的奇函数 f（x）满足当 x<0时，f（x）=log2（1–x），则 f（f（1））=
A．–1 B．–2 C．1 D．2
5．指数函数 y=ax与 y=bx的图象如图所示，则
高一数学·单元检测卷 第 2页(共 4页)
A．a<0，b<0 B．a<0，b>0 C．01
6．设 lg2=a，lg3=b，则 log1210=
A． 1
2a b?
B． 1
2a b?
C．2a+b D．a+2b
7．已知函数 ? ? ? ?21
2
log 4 5f x x x? ? ? ，则函数 f（x）的减区间是
A．（–∞，2） B．（2，+∞） C．（5，+∞） D．（–∞，–1）
8．函数 f（x）=ax（a>0，且 a≠1）对于任意的实数 x、y都有
A．f（xy）=f（x）?f（y） B．f（x+y）=f（x）?f（y）
C．f（xy）=f（x）+f（y） D．f（x+y）=f（x）+f（y）
9．设
2 3 2
5 5 53 2 2, ,
5 5 5
a b c? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
，则 , ,a b c的大小关系是
A． a c b? ? B．a b c? ? C． c a b? ? D．b c a? ?
10．函数 y=ax–2+2（a>0，a≠1）的图象必过定点
A．（1，2） B．（2，2） C．（2，3） D．（3，2）
11．小华同学作出的 a=2，3， 1
2
时的对数函数 y=logax的图象如图所示，则对应于 C1，C2，C3的 a
的值分别为
A．2，3， 1
2
B．3，2， 1
2
C． 1
2
，2，3 D． 1
2
，3，2
12．已知函数 ? ?
1
2f x x? ，则
A．存在 x0∈R，使得 f（x）<0
B．对于任意 x∈[0，+∞），f（x）≥0
C．存在 x1，x2∈[0，+∞），使得
? ? ? ?1 2
1 2
0
f x f x
x x
?
?
?
D．对于任意 x1∈[0，+∞），x2∈[0，+∞）使得 f（x1）>f（x2）
第Ⅱ卷(非选择题 共 90分)
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
高一数学·单元检测卷 第 3页(共 4页)
13．若 lg 2 =m，lg6=n，则 102m–n=__________．
14．计算
2
2 3 13 1( 8) ( ) 27
2
? ?? ? ? ? ___________．
15．设 2x=5y=m，且 1 1
x y
? =2，则 m的值是__________．
16．设常数 a∈R，函数 f（x）=1og2（x+a）．若 f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则 a=__________．
三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演示步骤.
17．（本小题满分 10分）（1）
2 2 2 2
2 2 2 2
3 3 3 3
x y x y
x y x y
? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
?
? ?
；
（2） 7
4
log 2
3
27log lg 25 lg 4 7
3
? ? ? ．
18．（本小题满分 12分）已知函数 f（x）=lg（x+1）–lg（1–x）．
（1）求函数 f（x）的定义域；
（2）判断函数 f（x）的奇偶性．
19．（本小题满分 12分）已知幂函数 f（x）=xα（α∈R），且 1 2
2 2
f ? ? ?? ?
? ?
．
（1）求函数 f（x）的解析式；
（2）证明函数 f（x）在定义域上是增函数．
高一数学·单元检测卷 第 4页(共 4页)
20．（本小题满分 12分）设 f（x）=loga（1+x）+loga（3–x）（a>0，a≠1），且 f（1）=2．
（1）求 a的值及 f（x）的定义域；
（2）求 f（x）在区间[0， 3
2
]上的值域．
21．（本小题满分 12分）已知函数 ? ? x xf x e e?? ? .
（1）判断函数 ? ?f x 的奇偶性；
（2）若 ? ? ? ?1 2 1 0f m f m? ? ? ? ，求实数m的取值范围.
22．（本小题满分 12分）已知函数 ( )f x x x a x? ? ? ，a R? ．
（1）若 0a ? ，判断函数 ( )y f x? 的奇偶性，并加以证明；
（2）若函数 ( )f x 在R上是增函数，求实数 a的取值范围；
（3）若存在实数 [ 2,3]? ?a ，使得关于 x的方程 ( ) ( ) 0f x tf a? ? 有三个不相等的实数根，求实数 t
的取值范围．
