14.1.1 直角三角形的三边关系 教学设计
文档属性
| 名称 | 14.1.1 直角三角形的三边关系 教学设计 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 33.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-15 14:05:51 | ||
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文档简介
第14章 勾股定理
14．1 勾股定理
第1课时 直角三角形三边的关系
●教学目标
知识与技能
1．经历勾股定理的探索过程，体会数形结合的思想．
2．理解直角三角形三边的关系，会应用勾股定理及其逆定理解决简单的数学问题．
过程与方法
1．经历观察——猜想——归纳——验证等一系列过程，体会数学定理发现的过程．
2．在观察、猜想、归纳、验证等过程中培养学生的数学语言表达能力和初步的逻辑推理能力．
3．在探索过程中，体会数形结合、由特殊到一般的数学思想方法．
情感、态度与价值观
1．通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情．
2．在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神．
●教学重点
重点
应用勾股定理及其逆定理解决简单的数学问题．
难点
勾股定理的探索过程以及勾股定理的验证．
●教学过程
一、创设情景，明确目标
相传两千多年前，古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯去朋友家做客．在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地发起呆来．原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他，谁知，毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了．原来，他发现了地砖上的三个正方形存在某种数学关系．
教师给出一个历史小故事，设置悬念，引发学生思考．
(学生对故事中的问题很感兴趣，能够激发学生的探究欲望．)
二、自主学习，指向目标
1．自学教材．
三、合作探究，达成目标
勾股定理
活动一：探究
问题1：你能发现下图中三个正方形面积之间有怎样的关系吗？
问题2：你能用等腰直角三角形的边长表示正方形的面积吗？由此猜想等腰直角三角形三边有怎样的关系？
问题3：让学生动手画一个直角三角形，其中一个直角边分别是6cm和8cm，用刻度尺测量出斜边的长度，根据测得的数据，探究直角三角形三边长度的平方之间存在的关系．
问题4：若将两直角边的长分别改为5cm和12cm，上述结论还成立吗？
活动二：
观察教材图14.1.1
提问：
(1)设每个小正方形的边长为1个单位，则小正方形P的面积＝________，小正方形Q的面积＝________，两者之和＝________，大正方形R的面积＝________．
(2)你发现了什么？
(3)你能把你的发现与△ABC的三边a、b、c联系起来吗？
由上述结论得出勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．用字母表示为：a2＋b2＝c2.
【展示点评】对于问题(1)、(2)，教师给学生足够的思考时间，然后让学生交流合作，得出结论．问题(2)可让学生在自己准备好的小方格上画出，并计算A、B、C三个正方形的面积，用字母表示三个正方形面积之间的数量关系，进而发现了等腰直角三角形三边的特殊关系．并在小组内交流，教师适当引导，深入学生当中，倾听他们的想法．
学生动手在网格纸上画直角三角形，测量斜边的长度，进行计算，教师及时点拨．
借助几何画板演示直角边为任意长的直角三角形三边关系，得出一般直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，从而发现了勾股定理．
(教师观察学生活动，指导与合作，让学生充分发表自己的见解，暴露他们的思维过程．计算正方形R的面积不易求出，教师及时点拨，同时借助多媒体动态演示．学生口述内容，教师及时加以指正．)
(通过设计问题串的目的，让探索过程由浅入深，循序渐进．经历观察、猜想、归纳这一数学学习过程，符合学生认知规律．探索面积证法的多样性，体现数学解决问题的灵活性，发展学生的合情推理能力．)
通过上述探究活动，学生已初步探究出直角边为整数的直角三角形三边关系．设计让学生动手画直角边是小数的情形，将探究活动进一步深化，从而扩展到更一般的情况．使学生体会数学探究由特殊到一般，再到更一般的过程．
(此环节设计让学生动手画一画，算一算，充分利用计算面积的不同方法，进一步体会数形结合思想，让学生经历从特殊到一般的过程，体会事物由特殊到一般的变化规律，发展学生的合情推理能力．)
应用加深理解
例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，
(1)已知：a＝6，b＝8，求c；
(2)已知：b＝5，c＝13，求a.
【展示点评】已知两边求的三边，在直接三角形中首先考虑勾股定理的应用．
【针对训练】
1：在Rt△ABC中，
(1)已知：∠A＝30°，a＝2，求b、c；
(2)已知：∠A＝45°，c＝2，求a、b.
例2 有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
【展示点评】把实际问题转化为几何问题解决，即用勾股定理来解决．
四、总结梳理，内化目标
(1)本节课你有哪些收获？
(2)本节课你发现自己还存在哪些不足？
教师引导学生从知识、过程、方法、情感、态度等方面发表看法，学生积极进行自我总结，相互补充，巩固探究成果．
学生通过对本节知识的提炼，归纳出有关知识与技能方面的一般结论以及在做数学活动中所遇到的困惑，感悟到古代数学家在探索新知的领域中所付出的艰辛，做学问有乐趣亦有苦趣，培养学生良好的个性和思维品质．
五、达标检测，反思目标
见学生用书“基础练·巩固新知”部分
●教学反思
本节课通过情景引入，激发学生学习兴趣，然后设计了动手操作和合作探究模块，让学生初步探究出直角三角形的三边关系，教学效果较好．
14．1 勾股定理
第1课时 直角三角形三边的关系
●教学目标
知识与技能
1．经历勾股定理的探索过程，体会数形结合的思想．
2．理解直角三角形三边的关系，会应用勾股定理及其逆定理解决简单的数学问题．
过程与方法
1．经历观察——猜想——归纳——验证等一系列过程，体会数学定理发现的过程．
2．在观察、猜想、归纳、验证等过程中培养学生的数学语言表达能力和初步的逻辑推理能力．
3．在探索过程中，体会数形结合、由特殊到一般的数学思想方法．
情感、态度与价值观
1．通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情．
2．在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神．
●教学重点
重点
应用勾股定理及其逆定理解决简单的数学问题．
难点
勾股定理的探索过程以及勾股定理的验证．
●教学过程
一、创设情景，明确目标
相传两千多年前，古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯去朋友家做客．在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地发起呆来．原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他，谁知，毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了．原来，他发现了地砖上的三个正方形存在某种数学关系．
教师给出一个历史小故事，设置悬念，引发学生思考．
(学生对故事中的问题很感兴趣，能够激发学生的探究欲望．)
二、自主学习，指向目标
1．自学教材．
三、合作探究，达成目标
勾股定理
活动一：探究
问题1：你能发现下图中三个正方形面积之间有怎样的关系吗？
问题2：你能用等腰直角三角形的边长表示正方形的面积吗？由此猜想等腰直角三角形三边有怎样的关系？
问题3：让学生动手画一个直角三角形，其中一个直角边分别是6cm和8cm，用刻度尺测量出斜边的长度，根据测得的数据，探究直角三角形三边长度的平方之间存在的关系．
问题4：若将两直角边的长分别改为5cm和12cm，上述结论还成立吗？
活动二：
观察教材图14.1.1
提问：
(1)设每个小正方形的边长为1个单位，则小正方形P的面积＝________，小正方形Q的面积＝________，两者之和＝________，大正方形R的面积＝________．
(2)你发现了什么？
(3)你能把你的发现与△ABC的三边a、b、c联系起来吗？
由上述结论得出勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．用字母表示为：a2＋b2＝c2.
【展示点评】对于问题(1)、(2)，教师给学生足够的思考时间，然后让学生交流合作，得出结论．问题(2)可让学生在自己准备好的小方格上画出，并计算A、B、C三个正方形的面积，用字母表示三个正方形面积之间的数量关系，进而发现了等腰直角三角形三边的特殊关系．并在小组内交流，教师适当引导，深入学生当中，倾听他们的想法．
学生动手在网格纸上画直角三角形，测量斜边的长度，进行计算，教师及时点拨．
借助几何画板演示直角边为任意长的直角三角形三边关系，得出一般直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，从而发现了勾股定理．
(教师观察学生活动，指导与合作，让学生充分发表自己的见解，暴露他们的思维过程．计算正方形R的面积不易求出，教师及时点拨，同时借助多媒体动态演示．学生口述内容，教师及时加以指正．)
(通过设计问题串的目的，让探索过程由浅入深，循序渐进．经历观察、猜想、归纳这一数学学习过程，符合学生认知规律．探索面积证法的多样性，体现数学解决问题的灵活性，发展学生的合情推理能力．)
通过上述探究活动，学生已初步探究出直角边为整数的直角三角形三边关系．设计让学生动手画直角边是小数的情形，将探究活动进一步深化，从而扩展到更一般的情况．使学生体会数学探究由特殊到一般，再到更一般的过程．
(此环节设计让学生动手画一画，算一算，充分利用计算面积的不同方法，进一步体会数形结合思想，让学生经历从特殊到一般的过程，体会事物由特殊到一般的变化规律，发展学生的合情推理能力．)
应用加深理解
例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，
(1)已知：a＝6，b＝8，求c；
(2)已知：b＝5，c＝13，求a.
【展示点评】已知两边求的三边，在直接三角形中首先考虑勾股定理的应用．
【针对训练】
1：在Rt△ABC中，
(1)已知：∠A＝30°，a＝2，求b、c；
(2)已知：∠A＝45°，c＝2，求a、b.
例2 有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
【展示点评】把实际问题转化为几何问题解决，即用勾股定理来解决．
四、总结梳理，内化目标
(1)本节课你有哪些收获？
(2)本节课你发现自己还存在哪些不足？
教师引导学生从知识、过程、方法、情感、态度等方面发表看法，学生积极进行自我总结，相互补充，巩固探究成果．
学生通过对本节知识的提炼，归纳出有关知识与技能方面的一般结论以及在做数学活动中所遇到的困惑，感悟到古代数学家在探索新知的领域中所付出的艰辛，做学问有乐趣亦有苦趣，培养学生良好的个性和思维品质．
五、达标检测，反思目标
见学生用书“基础练·巩固新知”部分
●教学反思
本节课通过情景引入，激发学生学习兴趣，然后设计了动手操作和合作探究模块，让学生初步探究出直角三角形的三边关系，教学效果较好．