14.1.3 反证法 教学设计
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文档简介
第3课时 反证法
●教学目标
知识与技能
让学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法．
过程与方法
通过画图、计算、说理掌握反证法．
情感、态度与价值观
通过培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力．
●教学重点
重点
反证法证题的步骤．
难点
理解反证法的推理依据及方法．
●教学过程
一、创设情景，明确目标
提问：
当我们正面说明一个事件有困难或不可能时，常常尝试用什么方法来解释？
二、自主学习，指向目标
1．自学教材．
三、合作探究，达成目标
反证法
师：通过预习我们知道反证法，什么叫做反证法？
生：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
师：本节将研究反证法证题的方法，反证法证题的步骤是什么？
生：共分三步：
(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
(2)从假设出发，经过推理，得出矛盾；
(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
【展示点评】反证法是一种间接证明命题的基本方法．在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明．
【针对训练】
在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，如果∠C＝90°，a、b、c三边有何关系？为什么？
【展示点评】由∠C＝90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知a2＋b2＝c2.
再探反证法
问题：
若将上面的条件改为“在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，∠C≠90°”，请问结论a2＋b2≠c2成立吗？请说明理由．
【展示点评】假设a2＋b2＝c2由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾．假设不成立，从而说明原结论a2＋b2≠c2成立．
这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确．像这样的证明方法叫做反证法．
反证法的步骤：
第一步：假设即假设命题的结论的反面为正确的．如证明命题“一个三角形中不可能有两个角是直角”即“假设能有两个角是直角不妨设”．
第二步：推理后发现矛盾．一般利用假设进行推理如继上可知发现这与三角形内角和定理相矛盾，所以假设不成立，故一个三角形中不能有两个角是直角，即为第三步：推翻假设，证明原命题成立．
抓住重点，突破难点
反证法的重点是能写出结论的反面，同时也是难点．如“写出线段AB，CD互相平分的反面”，线段AB，CD互相平分具体指：“AB平分CD且CD平分AB”．他的反面应包括以下三种情况：(1)AB平分CD但CD不平分AB；(2)CD平分AB但AB不平分CD；(3)AB不平分CD且CD不平分AB.统称为“AB，CD不互相平分”，而学生往往只考虑第(3)种情况，即AB，CD互相不平分．
注重规范
在用反证法证明的命题中经常会出现文字命题．如证明命题“梯形的对角线不能互相平分”时切记一定要先用数学语言写出“已知”和“求证”即已知：梯形ABCD中，AC，BD是对角线；求证：AC，BD不能互相平分．然后再按一般步骤证明．
应用新知
例1 在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C.
证明：假设，∠B＝∠C，则AB＝AC这与已知AB≠AC矛盾．假设不成立．∴∠B≠∠C.
反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确．
例2 已知有a、b、c三条直线，且a∥c，b∥c.求证：a∥b.
证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A.那么过点A就有两条直线a、b与直线c平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，假设不成立．∴a∥b.
根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾．
【针对训练】
1．求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
【展示点评】1.要抓住题中关键词句如：至少、至多、不小于、不大于等，写准确已知、求证.2.提出的反面观点要准确．
已知：△ABC，
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°.
则∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°∴∠A＋∠B＋∠C>60°＋60°＋60°＝180°.
即∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立．
∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
2．试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行．(学生完成，教师引导)
已知：________________________________________________________________________；
求证：________________________________________________________________________；
证明：假设____________________________，则可设它们相交于点A.那么过点A就有____________________________条直线与直线c平行，这与“过直线外一点____________________________”矛盾，则假设不成立．
∴________________________________________________________________________.
四、总结梳理，内化目标
本节重点研究了反证法证题的一般步骤及反证法证明命题的应用．对于反证法的熟练掌握还需在今后随着学习的深入，逐步加强和提高．
五、达标检测，反思目标
见学生用书“基础练·巩固新知”部分．
●教学反思
反证法是数学证明的一种重要方法，通过本节课的学习，学生初步掌握了反证法的一般步骤，能基本运用该方法解决一些简单的证明，但过程的书写有待进一步规范．
●教学目标
知识与技能
让学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法．
过程与方法
通过画图、计算、说理掌握反证法．
情感、态度与价值观
通过培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力．
●教学重点
重点
反证法证题的步骤．
难点
理解反证法的推理依据及方法．
●教学过程
一、创设情景，明确目标
提问：
当我们正面说明一个事件有困难或不可能时，常常尝试用什么方法来解释？
二、自主学习，指向目标
1．自学教材．
三、合作探究，达成目标
反证法
师：通过预习我们知道反证法，什么叫做反证法？
生：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
师：本节将研究反证法证题的方法，反证法证题的步骤是什么？
生：共分三步：
(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
(2)从假设出发，经过推理，得出矛盾；
(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
【展示点评】反证法是一种间接证明命题的基本方法．在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明．
【针对训练】
在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，如果∠C＝90°，a、b、c三边有何关系？为什么？
【展示点评】由∠C＝90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知a2＋b2＝c2.
再探反证法
问题：
若将上面的条件改为“在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，∠C≠90°”，请问结论a2＋b2≠c2成立吗？请说明理由．
【展示点评】假设a2＋b2＝c2由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾．假设不成立，从而说明原结论a2＋b2≠c2成立．
这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确．像这样的证明方法叫做反证法．
反证法的步骤：
第一步：假设即假设命题的结论的反面为正确的．如证明命题“一个三角形中不可能有两个角是直角”即“假设能有两个角是直角不妨设”．
第二步：推理后发现矛盾．一般利用假设进行推理如继上可知发现这与三角形内角和定理相矛盾，所以假设不成立，故一个三角形中不能有两个角是直角，即为第三步：推翻假设，证明原命题成立．
抓住重点，突破难点
反证法的重点是能写出结论的反面，同时也是难点．如“写出线段AB，CD互相平分的反面”，线段AB，CD互相平分具体指：“AB平分CD且CD平分AB”．他的反面应包括以下三种情况：(1)AB平分CD但CD不平分AB；(2)CD平分AB但AB不平分CD；(3)AB不平分CD且CD不平分AB.统称为“AB，CD不互相平分”，而学生往往只考虑第(3)种情况，即AB，CD互相不平分．
注重规范
在用反证法证明的命题中经常会出现文字命题．如证明命题“梯形的对角线不能互相平分”时切记一定要先用数学语言写出“已知”和“求证”即已知：梯形ABCD中，AC，BD是对角线；求证：AC，BD不能互相平分．然后再按一般步骤证明．
应用新知
例1 在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C.
证明：假设，∠B＝∠C，则AB＝AC这与已知AB≠AC矛盾．假设不成立．∴∠B≠∠C.
反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确．
例2 已知有a、b、c三条直线，且a∥c，b∥c.求证：a∥b.
证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A.那么过点A就有两条直线a、b与直线c平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，假设不成立．∴a∥b.
根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾．
【针对训练】
1．求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
【展示点评】1.要抓住题中关键词句如：至少、至多、不小于、不大于等，写准确已知、求证.2.提出的反面观点要准确．
已知：△ABC，
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°.
则∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°∴∠A＋∠B＋∠C>60°＋60°＋60°＝180°.
即∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立．
∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
2．试证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行．(学生完成，教师引导)
已知：________________________________________________________________________；
求证：________________________________________________________________________；
证明：假设____________________________，则可设它们相交于点A.那么过点A就有____________________________条直线与直线c平行，这与“过直线外一点____________________________”矛盾，则假设不成立．
∴________________________________________________________________________.
四、总结梳理，内化目标
本节重点研究了反证法证题的一般步骤及反证法证明命题的应用．对于反证法的熟练掌握还需在今后随着学习的深入，逐步加强和提高．
五、达标检测，反思目标
见学生用书“基础练·巩固新知”部分．
●教学反思
反证法是数学证明的一种重要方法，通过本节课的学习，学生初步掌握了反证法的一般步骤，能基本运用该方法解决一些简单的证明，但过程的书写有待进一步规范．