14.2 勾股定理的应用 教学设计
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文档简介
14．2 勾股定理的应用
●教学目标
知识与技能
能运用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题．
过程与方法
经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件．
情感、态度与价值观
培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学习热情．
●教学重点
重点
勾股定理及逆定理的应用．
难点
勾股定理的正确使用．
●教学过程
一、创设情景，明确目标
例1 问题情境：如图(1)所示，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米，在圆柱下底面的A点有一个蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(π的值取3)
(1)自制一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱侧面画出几条路线，你认为哪条路程最短呢？图(2)所示．
(2)如图(2)，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从A点到B点的最短线路是什么？你画对了吗？
图(1) 图(2)
(3)蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
【展示点评】引导学生尝试着在自制的圆柱侧面上寻找最短路线，提醒学生将圆柱侧面展开成长方形，此时学生发现了“两点之间的所有连线中，线段最短”这个结论较易解决问题．
教师活动：操作投影仪，启发、引导学生动手操作，通过感性认识来突破学生空间想象的难点．
学生活动：观察、拿出事先准备好的学具，边操作边讨论边理解，寻求解决问题的途径．
媒体使用：投影显示“问题情境”．
二、自主学习，指向目标
1．自学教材．
三、合作探究，达成目标
勾股定理的应用
例1 一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？
【展示点评】由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH.如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥AB，与地面交于H.
解：在Rt△OCD中，由勾股定理得
CD＝OC2－OD2＝12－0.82＝0.6米，
CH＝0.6＋2.3＝2.9(米)>2.5(米)．
因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．
【针对训练】
从地图上看(如图所示)，南京玄武湖东西向隧道与中央路北段及龙姗路大致成直角三角形．从B处到C处，如果直接走湖底隧道BC，将比绕道BA(约1.36km)和AC(约2.95km)减少多少行程(精确到0.1km)?
勾股定理的逆定理的应用
例2 若△ABC的三边a、b、c满足条件a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，请你判断△ABC的形状．
【展示点评】先由已知等式求得a、b、c、的值，在依据勾股定理的逆定理加以判断．
【针对训练】
如图(1)，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：(1)从点A出发画一条线段AB，使它的另一个端点B在格点(即小正方形的顶点)上，且长度为2；
(2)画出所有的以(1)中的AB为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数．
【展示点评】只需利用勾股定理看哪一个矩形的对角线满足要求．
解：(1)图(2)中AB长度为2.
(2)图(2)中△ABC、△ABD就是所要画的等腰三角形．
例3 如图所示，已知CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m，求图中阴影部分的面积．
【展示点评】图中阴影部分的面积是一个不规则的图形，因此我们首先应考虑如何转化为规则图形的和差形，这是方向，同学们记住，实际上S阴＝S△ABC－S△ACD，现在只要明确怎样计算S△ABC和S△ACD了．
解：在Rt△ADC中，
AC2＝AD2＋CD2＝62＋82＝100(勾股定理)，
∴AC＝10m.
∵AC2＋BC2＝102＋242＝676＝AB2
∴△ACB为直角三角形(如果三角形的三边长a、b、c有关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形)，∴S阴＝S△ACB－S△ACD
＝×10×24－×6×8
＝96(m2)．
这道题应总结出两种思想方法：一是求不规则图形的面积方法“将不规则图化成规则”，二是求面积中，要注意其特殊性．
四、总结梳理，内化目标
本节课主要探究了勾股定理及其逆定理的应用，要会寻找直角三角形和判断直角三角形，并能运用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题．
五、达标检测，反思目标
见学生用书“基础练·巩固新知”部分．
●课后自测
课后作业：《名师学案》“课后检测”部分．
●教学反思
本节课主要学习了勾股定理的应用的三个方面：①最短路径问题；②实际应用；③网格问题．内容相对较多，课时容量较大，教学目标完成的不是很好，有待于今后进一步巩固训练．
●教学目标
知识与技能
能运用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题．
过程与方法
经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件．
情感、态度与价值观
培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学习热情．
●教学重点
重点
勾股定理及逆定理的应用．
难点
勾股定理的正确使用．
●教学过程
一、创设情景，明确目标
例1 问题情境：如图(1)所示，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米，在圆柱下底面的A点有一个蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(π的值取3)
(1)自制一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱侧面画出几条路线，你认为哪条路程最短呢？图(2)所示．
(2)如图(2)，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从A点到B点的最短线路是什么？你画对了吗？
图(1) 图(2)
(3)蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
【展示点评】引导学生尝试着在自制的圆柱侧面上寻找最短路线，提醒学生将圆柱侧面展开成长方形，此时学生发现了“两点之间的所有连线中，线段最短”这个结论较易解决问题．
教师活动：操作投影仪，启发、引导学生动手操作，通过感性认识来突破学生空间想象的难点．
学生活动：观察、拿出事先准备好的学具，边操作边讨论边理解，寻求解决问题的途径．
媒体使用：投影显示“问题情境”．
二、自主学习，指向目标
1．自学教材．
三、合作探究，达成目标
勾股定理的应用
例1 一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？
【展示点评】由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH.如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥AB，与地面交于H.
解：在Rt△OCD中，由勾股定理得
CD＝OC2－OD2＝12－0.82＝0.6米，
CH＝0.6＋2.3＝2.9(米)>2.5(米)．
因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．
【针对训练】
从地图上看(如图所示)，南京玄武湖东西向隧道与中央路北段及龙姗路大致成直角三角形．从B处到C处，如果直接走湖底隧道BC，将比绕道BA(约1.36km)和AC(约2.95km)减少多少行程(精确到0.1km)?
勾股定理的逆定理的应用
例2 若△ABC的三边a、b、c满足条件a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，请你判断△ABC的形状．
【展示点评】先由已知等式求得a、b、c、的值，在依据勾股定理的逆定理加以判断．
【针对训练】
如图(1)，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：(1)从点A出发画一条线段AB，使它的另一个端点B在格点(即小正方形的顶点)上，且长度为2；
(2)画出所有的以(1)中的AB为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数．
【展示点评】只需利用勾股定理看哪一个矩形的对角线满足要求．
解：(1)图(2)中AB长度为2.
(2)图(2)中△ABC、△ABD就是所要画的等腰三角形．
例3 如图所示，已知CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m，求图中阴影部分的面积．
【展示点评】图中阴影部分的面积是一个不规则的图形，因此我们首先应考虑如何转化为规则图形的和差形，这是方向，同学们记住，实际上S阴＝S△ABC－S△ACD，现在只要明确怎样计算S△ABC和S△ACD了．
解：在Rt△ADC中，
AC2＝AD2＋CD2＝62＋82＝100(勾股定理)，
∴AC＝10m.
∵AC2＋BC2＝102＋242＝676＝AB2
∴△ACB为直角三角形(如果三角形的三边长a、b、c有关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形)，∴S阴＝S△ACB－S△ACD
＝×10×24－×6×8
＝96(m2)．
这道题应总结出两种思想方法：一是求不规则图形的面积方法“将不规则图化成规则”，二是求面积中，要注意其特殊性．
四、总结梳理，内化目标
本节课主要探究了勾股定理及其逆定理的应用，要会寻找直角三角形和判断直角三角形，并能运用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题．
五、达标检测，反思目标
见学生用书“基础练·巩固新知”部分．
●课后自测
课后作业：《名师学案》“课后检测”部分．
●教学反思
本节课主要学习了勾股定理的应用的三个方面：①最短路径问题；②实际应用；③网格问题．内容相对较多，课时容量较大，教学目标完成的不是很好，有待于今后进一步巩固训练．