12．5 因式分解
第1课时 提公因式法
●教学目标
知识与技能
能区分整式的乘法与因式分解，会根据因式分解的意义来判定一个等式从左到右的变形是否为因式分解；会运用提公因式法分解因式．
过程与方法
通过与算术中的因数分解相比较，渗透类比的数学思想方法；通过与多项式的乘法相比较，发展逆向思维能力．
情感、态度与价值观
通过因式分解在简化计算中的作用等，培养“用数学”的意识，增强求知欲和学好数学的自信心．
●教学重点
重点
因式分解的概念与提公因式法．
难点
理解因式分解与整式乘法的相互关系及灵活运用提公因式法分解因式．
●教学过程
一、创设情景，明确目标
1．完成下列各题：
(1)m(a＋b＋c)＝________；
(2)(a＋b)(a－b)＝________；
(3)(a＋b)2＝________．
2．根据上面的计算，你会做下面的填空吗？
(1)ma＋mb＋mc＝( )( )；
(2)a2－b2＝( )( )；
(3)a2＋2ab＋b2＝( )2.
观察以上两组题目有什么不同点？又有什么联系？(让学生讨论分析并回答．引导学生从等式的左右两边找异同点，学生不难发现第1题是多项式的乘法，而第2题是把一个多项式化成了几个整式的积，它们之间的运算是相反的．从而引出课题．)
二、自主学习，指向目标
1．自学教材．
三、合作探究，达成目标
因式分解的定义
活动一：
1．你能根据上面的分析和自学说出什么是因式分解吗？(定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这就是因式分解．)
多项式因式分解为整式乘法的形式(整式)(整式)……(整式)
【针对训练】
判断下列各题是否为因式分解：
(1)m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc；
(2)a2－b2＝(a＋b)(a－b)；
(3)a2－b2＋1＝(a＋b)(a－b)＋1.
提公因式法
活动一：试一试：请找出下列多项式中各项的相同因式(公因式)
(1)3a＋3b的公因式是：3；
(2)－24m2x＋16n2x公因式是：8x；
(3)2x(a＋b)＋3y(a＋b)的公因式是：(a＋b)；
(4)4ab－2a2b2的公因式是：2ab.
【小结归纳】
公因式的特征：(1)公因式中的系数是多项式中各项系数的最大公约数；(2)公因式中的字母(或因式)是多项式中各项的相同字母(或因式)；(3)公因式中字母(或因式)的指数取相同字母(或因式)的最小指数．
提公因式法的运用
活动三：
例1 把下列多项式分解因式：
(1)－5a2＋25a；(2)3a2－9ab.
【展示点评】：由公因式的几个特征，我们可以这样确定公因式：
1．定系数：系数－5和25的最大公约数为5，故公因式的系数为5；
2．定字母：两项中的相同字母是a，故公因式的字母取a；
3．定指数：相同字母a的最小指数为1，故a的指数取为1.
所以，－5a2＋25a的公因式为：5a.
解：(1)－5a2＋25a＝5a·(－a)＋5a·5＝5a(－a＋5)＝－5a(a－5)．
(2)3a2－9ab＝3a·a－3a·3b
＝3a(a－3b)．
【针对训练】
把下列多项式因式分解．
(1)3a＋3b；(2)5x－5y＋5z；(3)4a3b－2a2b2.
四、总结梳理，内化目标
1．本节课你学到了什么？是否还有不明白的地方？
2．注意：在进行多项式的因式分解时，要先提取公因式．
3．如何确定几个多项式的公因式．
五、达标检测，反思目标
1．把下列多项式分解因式．
(1)2p3q2＋p2q3；
(2)xn－xny；
(3)a(x－y)－b(x－y)．
2．用简便方法计算．
(1)9992＋999；
(2)13.8×0.125＋86.2×18；
(3)259×30＋259×15＋259×715；
(4)已知a＋b＝5，ab＝3，求a2b＋ab2的值．
●教学反思
因式分解的意义学生易与整式乘法相混淆．因此本节课首先让学生明确什么是因式分解，然后明确提取公因式法分解因式法分解因式的方法和步骤，教学效果良好．
12．4 整式的除法
第2课时 公式法
●教学目标
知识与技能
1．了解用公式法分解因式的意义及其与整式的乘法之间的关系．
2．会用公式法(直接用公式不超过两次)进行因式分解(指数是正整数)．
过程与方法
通过了解用公式法分解因式的意义及其与整式的乘法之间的关系，从中体会事物之间可以相互转化的辩证思想．
情感、态度与价值观
培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度．
●教学重点
重点
用公式法分解因式．
难点
对公式的结构特征做出具体分析，掌握公式的特点，灵活运用公式法分解因式．
●教学过程
一、创设情景，明确目标
1．乘法公式有哪些？
(1)两数和乘以这两数的差的公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
(2)两数和的平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.
2．试计算．
(1)(a＋3)(a－3)；(2)(a－3b)2；(3)(a＋2b)2.
二、自主学习，指向目标
1．自学教材．
三、合作探究，达成目标
用公式法分解因式的意义及其与整式的乘法之间的关系
活动一：
1．根据上面得到的结果，你会做下面的填空吗？
(1)a2－6ab＋9b2＝( )；
(2)a2－9＝( )( )；
(3)a2＋4ab＋4b2＝( )．
活动二：观察复习与回顾的练习，你能发现它们之间的联系与区别吗？
(要求学生反复仔细观察、对比，找出其中的联系与区别．)
议一议：
1．由a(a＋1)(a－1)得到a3－a是什么运算？
2．由a3－a得到a(a＋1)(a－1)的变形与它有什么不同？
3．平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)
完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2
想一想：
利用a2－b2＝(a＋b)(a－b)和a2±2ab＋b2＝(a±b)2乘法公式对多项式进行因式分解，这种因式分解的方法就称为公式法．其中a、b可以表示单项式，也可以表示多项式．
【针对训练】
判断下列各式哪些是整式乘法，哪些是因式分解？
(1)x2－4y2＝(x－2y)(x＋2y)；
(2)2x(x－3y)＝2x2－6xy；
(3)(5a－1)2＝25a2－10a＋1；
(4)x2＋4x＋4＝(x＋2)2；
(5)(a＋3)(a－3)＝a2－9；
(6)m2－4＝(m＋2)(m－2)．
用公式法分解因式
活动三：例题精讲
例1 对下列多项式进行因式分解：
(1)x2＋4xy＋4y2；(2)25x2－16y2.
【展示点评】先由老师板书示范，然后再由学生独立完成，教师随时点评．把一个多项式因式分解，用乘法公式应正确选择，上例都只用一种因式分解的方法．
【针对训练】
例2 对下列多项式进行因式分解：
(1)4x3y＋4x2y2＋xy3；
(2)3x3－12xy2.
【展示点评】本题的因式分解，应先考虑提公因式法，而后考虑应用乘法公式进行分解．
【针对训练】
见学生用书“基础练·巩固新知”部分．
四、总结梳理，内化目标
1．在这节课中你学到了什么？
2．因式分解和整式乘法有何区别？
3．分解因式要注意几个问题？
4．常用的因式分解有几种方法？
五、达标检测，反思目标
议一议：993－99能被100整除吗？你是怎样想的，与同伴交流．
小明是这样想的：993－99＝99×992－99×1＝99×(992－1)＝99(99＋1)(99－1)＝99×100×98.
所以：993－99能被100整除．
你知道每一步的根据吗？想一想993－99还能被哪些整数整除？
●教学反思
运用公式法分解因式的前提是熟练掌握两个乘法公式积的结构特征，因此在教学新知时，应培养学生先分析多项式的结构特征，再选择所用公式，整体目标完成情况较好．
