课件20张PPT。第13章 全等三角形13.5 逆命题与逆定理角平分线——角平分线的性质角平分线的画法
角平分线的性质1知识点角平分线的画法图13.4--8 例1 如图13.4--8所示，已知∠AOB，
求作：∠AOM＝ ∠AOB.
导引：要作射线OM，使∠AOM＝
∠AOB，可作 ∠AOB的平分线．
图13.4--9解：作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径
画弧，交OA于点E，交OB于点F；
(2) 分别以点E，F为圆心，大于 EF
的长为半径画弧，两弧在∠AOB的
内部交于点C；
(3)画射线OC；
(4)同理，作∠AOC的平分线OM.
∠AOM即为所求(如图13.4--9所示)．总 结 作法中“以适当长为半径”的目的是为方便作
图，不能太大或太小；“大于 EF的长为半径画弧”
是因为若以小于或等于 EF的长为半径画弧时，
画出的两弧不能相交．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是( )
A．S.S.S.
B．A.S.A.
C．A.A.S.
D．角平分线上的点到角两边的距离相等2 (中考·玉林)根据图中尺规作图的痕迹，先判断得出结论：____________________，然后证明你的结论(不要求写已知、求证)
?2知识点角平分线的性质我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的
直 线是角的对称轴.如图13. 5. 4，OC是∠AOB的平分
线， P是OC上任一点，作PD丄OA，PE丄OB，垂足
分别为 点D和点E. 将∠AOB沿OC对折，我们发现PD
与PE 完全重合.由此即有：
角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边 的
距离相等.回忆1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距
离相等．
要点精析：(1)点一定要在角平分线上；(2)点到角两边的
距离是指点到角两边垂线段的长度；(3)角平分线的性质可用
来证明两条线段相等．
2．书写格式：如图13.5--12，∵OP平
分∠AOB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点
E, ∴PD＝PE.
3．易错警示：易找错距离，误以为角
平分线上的点到角的两边的距离就是角平分
线上的点与角两边上任意点间的距离．图13.5--12已知: 如图13. 5.4, OC是 ∠AOB的平分线,点P是 OC上的任意一点，PD丄OA, PE丄OB, 垂足分别为点 D和点E.
求证：PD=PE.
分析：图中有两个直角三角形PDO和PEO，只要 证明
这两个三角形全等，便可证得PD=PE.（此讲解来源于教材）请写出完整的证明过程. 例2 如图13.5--13，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，F在AC上，BE＝FC，求证：BD＝DF.
导引：要证BD＝DF，可考虑证两线
段所在的△BDE和△FDC全等，
两个三角形中已有一角和一边
相等，只要再证DE＝CD即可，
这可由AD平分∠CAB及垂直条件证得．图13.5--13证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，∠C＝90°，
∴DE＝DC.
在△BDE和△ FDC中，
ED＝CD，
∠DEB＝∠C，
BE＝FC，
∴△BDE≌△FDC,
∴BD＝DF.总 结由角平分线的性质不用证全等可以直接得线段相等，
这是证线段相等的一个简捷方法.
例3 如图13.5--14，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E. 若AB＝10 cm，求△DBE的周长．图13.5--14解：∵AD平分∠CAB，且∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DC＝DE.
又∵∠C＝∠DEA＝90°，AD＝AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC＝AE .
又∵AC＝BC，∴AC＝AE＝BC .
∴DE＋EB ＋ BD ＝ DC＋ EB ＋ BD ＝
BC ＋ EB ＝ AE ＋ EB ＝ AB.
又∵AB＝10 cm，
∴△DBE的周长为DB＋BE＋DE＝10 cm.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B .下列结论中不一定成立的是( )
A．PA＝PB
B．PO平分∠APB
C．OA＝OB
D．AB垂直平分OP2 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为( )
A．1
B．2
C．3
D．43 如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝50，DE＝14，则△BCE的面积等于________．角的平分线图形结构中的“两种
数量关系”：如图，OC平分∠AOB，
PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，DE交
OC于点F.
?(1)角的相等关系：
①∠AOC＝∠BOC＝∠PDF＝∠PEF；
②∠ODP＝∠OEP＝∠DFO＝∠EFO＝∠DFP＝
∠EFP＝90°；
③∠DPO＝∠EPO＝∠ODF＝∠OEF.
(2)线段的相等关系：OD＝OE，DP＝EP，DF＝EF .1．运用角平分线的性质解决与面积有关的问题
的方法：首先运用三角形的面积公式将面积关系转化
为线段关系，再结合角平分线的性质进一步转化为三
角形边长之间的关系，从而把两者建立起关系，结合
已知条件可解决问题．
2．过角平分线上一点作垂线是解决有关角平分
线问题最常用的作辅助线的方法．课件29张PPT。13.5 逆命题与逆定理角平分线——角平分线的判定角平分线的判定
三角形的角平分线1知识点角平分线的判定这一定理描述了角平分线的性质，那么反过来会有 什么结
果呢？
你一定发现到角两边距离相等的点的确在该角的 平分线上.
我们可以通过“证明”说明这一结论正确.探索 写出该定理与逆命题的条件与结论，想想看，其逆命题是否是一个真命题？角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离 相等
的点在角的平分线上．
(1)书写格式：如图13.5--15，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,
∴点P在∠AOB的平分线上(或
∠AOC＝∠BOC)．
(2)作用：运用角平分线的判定，
可以证明两个角相等或一条射线是角的平分线．图13.5--15已知：如图13.5.5，QD丄OA，QE丄OB，点D、E为垂足，QD = QE.
求证：点Q在∠AOB的平分线上.
分析：为了证明点Q在∠AOB的平分
线上，可以作射线OQ，然后
证明Rt △QDO≌ Rt △QEO,
从而得到 ∠AOQ = ∠BOQ.（此讲解来源于教材）图13.5.5证明：过点O、Q作射线OQ.
∵ QD⊥OA, QE⊥OB ，
∴ ∠QDO= ∠BOQ = 90°.
在 Rt △QDO和 Rt △QEO中，
∵ OQ = OQ，QD = QE，
∴ Rt △QDO≌ Rt △QEO, (H. L.),
∴ ∠DOQ= ∠EOQ(全等三角形的对应角相等).
∴点Q在∠AOB的平分线上.归 纳角平分线的判定定理与性
质定理的关系：(1)如图13.5--16，
都与距离有关：即条件PD⊥OA，
PE⊥OB都具备；(2)点在角平分线
上性质判定点到角两边的距离相等．图13.5--16 例1 如图13.5--16，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D.
求证：AD平分∠BAC.
导引：要证AD平分∠BAC，已知
条件中有两个垂直，即有
点到角的两边的距离，再
证这两个距离相等即可证
明结论，证这两条垂线段
相等，可通过证明△BDE和△CDF全等来完成．图13.5--16证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∠BDE＝∠CDF，
∠DEB＝∠DFC，
BE＝CF，
∴△BDE≌△CDF，
∴DE＝DF.
又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴AD平分∠BAC.?总 结判定角平分线的两步：
(1)找出与角的两边都垂直的垂线段；
(2)证明两条垂线段相等． 例2 如图13.5--17，在△ABC中，∠ABC＝100°，∠ACB＝20°，点E在∠ACB的平分线上，D是AC上一点，若∠CBD＝20°，求∠ADE的度数．
?图13.5--17解：如图13.5--17，作EN⊥CA于点N，EM⊥BD于点M，
EP⊥CB交CB的延长线于点P，
∵∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝100°－20°＝80°，
∠PBA＝180°－100°＝80°，∴∠PBA＝∠ABD.
∵EM⊥BD于点M，EP⊥CB于点P，∴EP＝EM.
又∵点E在∠ACB的平分线上，EN⊥CA，EP⊥CB，
∴EN＝EP，∴EN＝EM，∴DE平分∠ADB.
∵∠ADB＝∠ACB＋∠CBD＝40°，
∴∠ADE＝ ∠ADB＝ ×40°＝20°.
?总 结本题根据角的和差关系计算有关角的度数，利用角
平分线的性质定理证明EP＝EM和EN＝EP，得到EN＝
EM，由角平分线的判定判断DE平分∠ADB，便可求出
∠ADE的度数．
例3 如图13.5--18，在△ABC中，请证明：
(1)若AD为∠BAC的平分线，则S△ABD∶S△ACD＝
AB∶AC；
(2)设D为BC上的一点，连结AD，若S△ABD∶
S△ACD＝AB∶AC，则AD为∠BAC的平分线．图13.5--18证明：如图13.5--18，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
(1)∵AD平分∠BAC且DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
∴S△ABD∶S△ACD＝（ AB ?DE）∶（ AC ?DF）＝
AB∶AC.
(2)∵S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC，
∴ （ AB ?DE）∶（ AC ?DF） ＝AB∶AC，
∴DE＝DF.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD为∠BAC的平分线.
?总 结运用角平分线解与面积有关的问题的方法：
首先运用三角形的面积公式将面积关系转化为
线段关系，结合角平分线的性质进一步转化为三角
形边长之间的关系，从而把两者联系起来，结合已
知条件可解决问题．
在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是( )
A．点M
B．点N
C．点P
D．点Q
2 如图，在△ABC中，分别与∠ABC，∠ACB相邻的外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的是( )
A．AF平分BC
B．AF平分∠BAC
C．AF⊥BC
D．以上结论都正确3 如图，若点P到BE，BD，AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠B，∠DAC，∠ECA三条角平分线的交点．上述结论中，正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2知识点三角形的角平分线 三角形的角平分线的性质：三角形三个内角的平
分线交于一点且这个点到三边的距离相等．从图13. 5. 6中可以看出，要证明三角形的三条角 平分线交于
一点，只需证明其中的两条角平分线的交 点一定在第三条角平分线
上就可以了.其思路可表示 如下：
试试看，现在你会证明了吗？
图13.5-.6例4 如图13.5--20，CP，BP是△ABC两外角的平分线，PE⊥AC且与AC的延长线交于点E，PF⊥AB且与AB的延长线交于点F，试探究BC，CE，BF三条线段有什么关系？
导引：点P是两个角的平分线的
交点，因此先作PD⊥BC，
利用角平分线的性质找出
相等的线段，探究BC，
CE，BF三条线段的关系．图13.5--20解：如图13.5--20，作PD⊥BC，垂足为D.
∵CP平分∠BCE，PE⊥AC，∴PE＝PD，
在Rt△PDC和Rt△PEC中，
PD＝PE，
PC＝PC，
∴Rt△PDC ≌ Rt△PEC，
∴CD＝CE.同理可证BD＝BF.
∴CD＋BD＝CE＋BF，即BC＝CE＋BF.（此讲解来源于教材）总 结探究三条线段的关系，就是探究它们的和差关系，
一般是把较长的线段分成两段，利用全等三角形的对应
边相等得出它们之间的关系．1 如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝________________.2 到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的( )
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点
D．以上均不对
3 到三角形三边距离相等的点的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4 角的平分线的性质与判定定理的关系：
(1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备．
(2)点在角的平分线上 点到这个角两边的
距离相等．
(3)性质反映只要是角平分线上的点，到角两边的距离
就一定相等；判定定理反映只要是到角两边距离
相等的点，都应在角的平分线上． 1．运用角平分线的性质解决与面积有关的问题
的方法：首先运用三角形的面积公式将面积
关系转化为线段关系，再结合角平分线的性
质进一步转化为三角形边长之间的关系，从
而把两者建立起关系，结合已知条件可解决
问题．
2．过角平分线上一点作垂线是解决有关角平分
线问题最常用的作辅助线的方法．
