13.2.1-2 全等三角形及其性质 课件（37张PPT）
文档属性
| 名称 | 13.2.1-2 全等三角形及其性质 课件（37张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 859.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-15 14:52:58 | ||
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文档简介
课件37张PPT。13.2 三角形全等的判定全等三角形及其性质全等三角形
全等三角形的性质
全等变换
全等三角形的判定条件1知识点全等三角形1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫
做全等三角形．
2.全等三角形对应元素：把两个全等的三角形重合
到一起，(1)对应顶点：重合的顶点；(2)对应边：重合
的边；(3)对应角：重合的角．3．全等三角形的表示法：如图13.2--1，△ABC和
△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，符号“≌”读作
全等于．其中“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等
．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字.
母写在对应的位置上，如点A和点D，点B和点E ，
点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和
DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E ，∠C和∠F是
对应角．
图13.2--1 如图13. 2. 1，以直线l为对称轴，画出 的对称
图形，并指出它们的对应顶点、对应边和 对应角.
做一做 图13. 2. 1 例1 已知△ABC≌△EDC，指出其对应边和对应角．
导引：用“≌”表示两个三角形全等时，对应顶点的字母写在
对应的位置上，先把两个三角形顶点的字母按照同
样的顺序排成一排：A→B→C，E→D→C，然后按
照同样的顺序写出对应元素．
解：AB与ED，AC与EC，BC与DC是对应边；∠A与∠E，
∠B与∠D，∠ACB与∠ECD是对应角．
点拨：根据字母顺序找对应元素的前提条件是：用“≌”表示
两个三角形全等时，对应顶点的字母必须写在对应
的位置上．总 结对应元素的确定方法：
(1)字母顺序确定法：根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、
对应角，如△CAB≌△FDE，则AB与DE、AC与DF、BC与
EF 是对应边，∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F是对应角；
(2)图形位置确定法：①公共边一定是对应边，②公共角一
定是对应角；③对顶角一定是对应角；
(3)图形大小确定法：两个全等三角形的最大的边(角)是对
应边(角)，最小的边(角)是对应边(角)．
1 下列说法错误的是( )
A．全等三角形的对应边相等
B．全等三角形的角相等
C．全等三角形的周长相等
D．全等三角形的面积相等
2 如图，将△AOB 绕点0 旋转180°,得到△C0D，这时△AOB ≌△ .这两个三角形的对应边是：AO与 ，OB 与 ，BA与 ；对应角是： ∠AOB 与 ，∠OBA 与 ， ∠BAO 与 ，
2知识点全等三角形的性质 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
要点精析：(1)全等三角形的对应元素相等．其
中，对应元素包括：对应边、对应角；(2)在应用全
等三角形性质时，要先确定两个条件：①两个三角形
全等；②找对应元素；(3)全等三角形的性质是证明
线段、角相等的常用方法．我们很容易画出△ABC 的对称图形
△DEF .若已知 ∠A = 60°， ∠B =
80°，相信你一定可以求出△DEF的
各个角的大小：
∠D = ， ∠E = ，
∠E = ?写出解答的结果，并说明理由. 例2 如图13.2--5，已知点A，D，B，F在同一条直线△ABC≌△FDE，AB=8 cm，BD=6 cm.求FB的长．
图13.2--5
导引：由全等三角形的性质知AB=FD，由等式的性质可
得AD=FB，所以要求FB的长，只需求AD的长．解：∵△ABC≌△FDE，∴AB=FD，
∴AB－DB=FD－DB，即AD=FB.
∵AB=8 cm，BD=6 cm，
∴AD=AB－DB=8－6=2(cm)．
∴FB=AD=2cm.
?总 结(1)全等三角形的性质在几何证明和计算中起着重要作用，
当所求线段不是全等三角形的对应边时，可利用等式
的性质进行转换，从而找到所求线段与已知线段的关
系．
(2)本题运用转化思想，通过全等三角形的性质，
把线段AB转化成线段DF，再利用等式的性质把求线
段FB的长转化成求线段AD的长． 例3 如图13.2--6，Rt△ABC ≌
Rt△CDE，∠B＝∠D＝90°，
且B，C，D三点在一条直线
上，求∠ACE的度数． ?图13.2--6
导引：要求∠ACE，求∠ACB、∠ECD或∠ACB＋
∠ECD即可．由于∠ACB和∠ECD不易求出，因
此必须求∠ACB＋∠ECD.由Rt△ABC≌Rt△CDE，
可知∠BAC＝∠DCE，结合直角三角形两锐角互
余的性质，可求∠ACB与∠ECD的度数和，再根
据平角的定义可求∠ACE的度数．
解：∵Rt△ABC≌Rt△CDE，∴∠BAC＝∠DCE.
又∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴∠ACB＋∠BAC＝90°.
∴∠ACB＋∠ECD＝90°.
∴∠ACE＝180°－(∠ACB＋∠ECD)＝
180°－90°＝90°.总 结 (1)利用全等三角形的性质求角的度数的方法：利用
全等三角形的性质先确定两个三角形中角的对应关系，
由这种关系实现已知角和未知角之间的转换，从而求出
所要求的角的度数．(2)本题主要利用了全等三角形对应
角相等的性质，通过全等三角形把属于两个三角形的
∠ACB、∠ECD联系在一起，并将它们作为一个整体求
出其度数的和．1 若△ABC与△DEF全等，点A和点E，点B和点D分别是对应点，则下列结论错误的是( )
A．BC＝EF B．∠B＝∠D
C．∠C＝∠F D．AC＝EF
2 如图，△ABC≌△CDA，AC＝7 cm，AB＝5 cm，BC＝8 cm，则AD 的长是( )
A．7 cm B．5 cm
C．8 cm D．无法确定3 如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则有如下结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC.其中正确结论的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3知识点全等变换 例4 如图13.2--4，将△ABC绕其顶点B顺时针旋转一定角度后得到△DBE，请说出图中两个全等三角形的对应边和对应角．
图13.2--4导引：将△ABC绕其顶点B旋转得到△DBE，只改变了
图形的位置，而没有改变形状和大小，故
△ABC与△DBE全等，再写出对应边与对应角．
解：由题意得△ABC≌△DBE，AB与DB，AC与DE，
BC与BE是对应边，∠A与∠BDE，∠ABC与
∠DBE，∠C与∠E是对应角．总 结 旋转变换前后位置的边是对应边，前后位置的角是
对应角． 例5 图13.2--7，将长方形ABCD
沿AE折叠，使点D落在BC边
上的点F处，若∠BAF＝56°，
则∠DAE＝________°.
导引：因为△AEF是由△AED沿直线AE折叠而成的，
所以△ADE≌△AFE，所以∠DAE＝∠FAE.
因为∠BAF＝56°，∠BAD＝90°，
所以∠DAF＝90°－∠BAF＝90°－56°＝34°，
所以∠DAE＝ ∠DAF＝ ×34°＝17°.图13.2--717总 结 解决折叠问题的关键是弄清在折叠过程中发生的是
全等变换，即折叠前后的两个图形(本例是三角形)全等，
其折叠前后的对应边相等，对应角相等．类似的还有平
移和旋转问题．在此过程中，得出了全等三角形，然后
根据全等三角形的性质解题．如图，将△ABC沿BC所在的直线平移到
△A′B′C′的位置，则△ABC________
△A′B′C′，图中∠A与________ ，
∠B 与________，∠ACB与________是对
应角．
2 如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF.若AB＝1，BC＝2，则△ABE和△BC′F的周长之和为( )
A．3 B．4
C．6 D．8
4知识点全等三角形的判定条件 对于全等三角形，从它的边、角来看，我们知
道:若两个 三角形的三条边与三个角都分别对应相
等，那么这两个三 角形一定可以互相重合，即全等.
现在要探索的是，能否减少一些条件，找到更
为简便 的判定三角形全等的方法.显然，由于三角形的内角和等于180°，如果两
个角分别 对应相等，那么另一#必然也相等.这样，
若两个三角形的 三条边、两个^分别对应相等，则这
两个三角形仍然全等.
能否再减少一些条件？对两个三角形来说，六
个元 素（三条边、三个角）中至少要有几个元素分
别对应相 等，这两个三角形才全等呢？
如果两个三角形只有一组对应相等
的元素，那么会 出现几种情况？这两
个三角形会全等吗？
我们发现：
探索将你的发现填入表内，看是否与你同伴的发现一致.
如果两个三角形有两组对应相等的元素，那么
会出 现几种可能的情况呢？这时，这两个三角形会
全等吗？
由于一个三角形有三条边、三个角共六个元
素，所以 可能出现的情况会较多.可能的情况有：
两个角对应相等
;
在这些情况下，两个三角形会全等吗？探索 分别按照下面的条件，用刻度尺或量角器画三角
形， 并和周围的同学比较一下，所画的图形是否全等.
（1）三角形的两个内角分别为30 °和70 °.
（2）三角形的两条边分别为3 cm和5 cm.
（3）三角形的一个内角为60°,—条边为3 cm.
（i）这条长3 cm的边是60°角的邻边；
（ii） 这条长3 cm的边是60°角的对边.试一试你一定会发现,如果只知道两个三角形有两组对应 相
等的元素，那么这两个三角形是否全等的情况为：
由以上的探索与发现，我们知道两个三角形只有一
组或两组对应相等的元素（边或角），那么这两个三角
形 不一定全等.将你的发现填入表内，看是否与你同伴的发现一致.如果两个三角形有三组对应相等的元素（边或
角）， 又会如何呢？思考归 纳1.全等三角形的判定条件：对于两个三角形的
六个元素(三角和三边)，至少需要三个元素(必有一
边)分别对应相等，这两个三角形才能全等．
2．易错警示：(1)如果两个三角形只有一组对
应相等的元素(边或角)，那么这两个三角形不一定
全等．
(2)如果两个三角形只有两组对应相等的元素
(边或角)，那么这两个三角形不一定全等． 例6 在△ACB和△A′C′B′中，已知∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，则△ACB和△A′C′B′________全等．(填一定或不一定)
导引：如：边长为1 cm的等边三角形ABC，与边长
为3 cm的等边三角形A′B′C′，虽然三个角都分
别对应相等，但两个三角形不能重合，即
△ACB和△A′C′B不全等，所以△ACB和
△A′C′B′不一定全等．不一定总 结三个角对应相等的两个三角形不一定全等．1 下列说法正确的是( )
A．三个角对应相等的两个三角形全等
B．判定两个三角形全等的条件中至少有一个是等边
C．面积相等的两个三角形全等
D．周长相等的两个三角形全等
2 下列说法正确的是( )
A．有两边对应相等的两三角形全等
B．有一边和一角对应相等的两三角形全等
C．有一边对应相等的两等腰三角形全等
D．有三边对应相等的两三角形全等全等三角形的性质的作用：
(1)求角的度数；
(2)说明两个角相等；
(3)求线段的长度；
(4)说明两条线段相等；
(5)判断两条直线的位置关系等．
全等三角形的性质
全等变换
全等三角形的判定条件1知识点全等三角形1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫
做全等三角形．
2.全等三角形对应元素：把两个全等的三角形重合
到一起，(1)对应顶点：重合的顶点；(2)对应边：重合
的边；(3)对应角：重合的角．3．全等三角形的表示法：如图13.2--1，△ABC和
△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，符号“≌”读作
全等于．其中“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等
．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字.
母写在对应的位置上，如点A和点D，点B和点E ，
点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和
DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E ，∠C和∠F是
对应角．
图13.2--1 如图13. 2. 1，以直线l为对称轴，画出 的对称
图形，并指出它们的对应顶点、对应边和 对应角.
做一做 图13. 2. 1 例1 已知△ABC≌△EDC，指出其对应边和对应角．
导引：用“≌”表示两个三角形全等时，对应顶点的字母写在
对应的位置上，先把两个三角形顶点的字母按照同
样的顺序排成一排：A→B→C，E→D→C，然后按
照同样的顺序写出对应元素．
解：AB与ED，AC与EC，BC与DC是对应边；∠A与∠E，
∠B与∠D，∠ACB与∠ECD是对应角．
点拨：根据字母顺序找对应元素的前提条件是：用“≌”表示
两个三角形全等时，对应顶点的字母必须写在对应
的位置上．总 结对应元素的确定方法：
(1)字母顺序确定法：根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、
对应角，如△CAB≌△FDE，则AB与DE、AC与DF、BC与
EF 是对应边，∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F是对应角；
(2)图形位置确定法：①公共边一定是对应边，②公共角一
定是对应角；③对顶角一定是对应角；
(3)图形大小确定法：两个全等三角形的最大的边(角)是对
应边(角)，最小的边(角)是对应边(角)．
1 下列说法错误的是( )
A．全等三角形的对应边相等
B．全等三角形的角相等
C．全等三角形的周长相等
D．全等三角形的面积相等
2 如图，将△AOB 绕点0 旋转180°,得到△C0D，这时△AOB ≌△ .这两个三角形的对应边是：AO与 ，OB 与 ，BA与 ；对应角是： ∠AOB 与 ，∠OBA 与 ， ∠BAO 与 ，
2知识点全等三角形的性质 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
要点精析：(1)全等三角形的对应元素相等．其
中，对应元素包括：对应边、对应角；(2)在应用全
等三角形性质时，要先确定两个条件：①两个三角形
全等；②找对应元素；(3)全等三角形的性质是证明
线段、角相等的常用方法．我们很容易画出△ABC 的对称图形
△DEF .若已知 ∠A = 60°， ∠B =
80°，相信你一定可以求出△DEF的
各个角的大小：
∠D = ， ∠E = ，
∠E = ?写出解答的结果，并说明理由. 例2 如图13.2--5，已知点A，D，B，F在同一条直线△ABC≌△FDE，AB=8 cm，BD=6 cm.求FB的长．
图13.2--5
导引：由全等三角形的性质知AB=FD，由等式的性质可
得AD=FB，所以要求FB的长，只需求AD的长．解：∵△ABC≌△FDE，∴AB=FD，
∴AB－DB=FD－DB，即AD=FB.
∵AB=8 cm，BD=6 cm，
∴AD=AB－DB=8－6=2(cm)．
∴FB=AD=2cm.
?总 结(1)全等三角形的性质在几何证明和计算中起着重要作用，
当所求线段不是全等三角形的对应边时，可利用等式
的性质进行转换，从而找到所求线段与已知线段的关
系．
(2)本题运用转化思想，通过全等三角形的性质，
把线段AB转化成线段DF，再利用等式的性质把求线
段FB的长转化成求线段AD的长． 例3 如图13.2--6，Rt△ABC ≌
Rt△CDE，∠B＝∠D＝90°，
且B，C，D三点在一条直线
上，求∠ACE的度数． ?图13.2--6
导引：要求∠ACE，求∠ACB、∠ECD或∠ACB＋
∠ECD即可．由于∠ACB和∠ECD不易求出，因
此必须求∠ACB＋∠ECD.由Rt△ABC≌Rt△CDE，
可知∠BAC＝∠DCE，结合直角三角形两锐角互
余的性质，可求∠ACB与∠ECD的度数和，再根
据平角的定义可求∠ACE的度数．
解：∵Rt△ABC≌Rt△CDE，∴∠BAC＝∠DCE.
又∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴∠ACB＋∠BAC＝90°.
∴∠ACB＋∠ECD＝90°.
∴∠ACE＝180°－(∠ACB＋∠ECD)＝
180°－90°＝90°.总 结 (1)利用全等三角形的性质求角的度数的方法：利用
全等三角形的性质先确定两个三角形中角的对应关系，
由这种关系实现已知角和未知角之间的转换，从而求出
所要求的角的度数．(2)本题主要利用了全等三角形对应
角相等的性质，通过全等三角形把属于两个三角形的
∠ACB、∠ECD联系在一起，并将它们作为一个整体求
出其度数的和．1 若△ABC与△DEF全等，点A和点E，点B和点D分别是对应点，则下列结论错误的是( )
A．BC＝EF B．∠B＝∠D
C．∠C＝∠F D．AC＝EF
2 如图，△ABC≌△CDA，AC＝7 cm，AB＝5 cm，BC＝8 cm，则AD 的长是( )
A．7 cm B．5 cm
C．8 cm D．无法确定3 如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则有如下结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC.其中正确结论的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3知识点全等变换 例4 如图13.2--4，将△ABC绕其顶点B顺时针旋转一定角度后得到△DBE，请说出图中两个全等三角形的对应边和对应角．
图13.2--4导引：将△ABC绕其顶点B旋转得到△DBE，只改变了
图形的位置，而没有改变形状和大小，故
△ABC与△DBE全等，再写出对应边与对应角．
解：由题意得△ABC≌△DBE，AB与DB，AC与DE，
BC与BE是对应边，∠A与∠BDE，∠ABC与
∠DBE，∠C与∠E是对应角．总 结 旋转变换前后位置的边是对应边，前后位置的角是
对应角． 例5 图13.2--7，将长方形ABCD
沿AE折叠，使点D落在BC边
上的点F处，若∠BAF＝56°，
则∠DAE＝________°.
导引：因为△AEF是由△AED沿直线AE折叠而成的，
所以△ADE≌△AFE，所以∠DAE＝∠FAE.
因为∠BAF＝56°，∠BAD＝90°，
所以∠DAF＝90°－∠BAF＝90°－56°＝34°，
所以∠DAE＝ ∠DAF＝ ×34°＝17°.图13.2--717总 结 解决折叠问题的关键是弄清在折叠过程中发生的是
全等变换，即折叠前后的两个图形(本例是三角形)全等，
其折叠前后的对应边相等，对应角相等．类似的还有平
移和旋转问题．在此过程中，得出了全等三角形，然后
根据全等三角形的性质解题．如图，将△ABC沿BC所在的直线平移到
△A′B′C′的位置，则△ABC________
△A′B′C′，图中∠A与________ ，
∠B 与________，∠ACB与________是对
应角．
2 如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF.若AB＝1，BC＝2，则△ABE和△BC′F的周长之和为( )
A．3 B．4
C．6 D．8
4知识点全等三角形的判定条件 对于全等三角形，从它的边、角来看，我们知
道:若两个 三角形的三条边与三个角都分别对应相
等，那么这两个三 角形一定可以互相重合，即全等.
现在要探索的是，能否减少一些条件，找到更
为简便 的判定三角形全等的方法.显然，由于三角形的内角和等于180°，如果两
个角分别 对应相等，那么另一#必然也相等.这样，
若两个三角形的 三条边、两个^分别对应相等，则这
两个三角形仍然全等.
能否再减少一些条件？对两个三角形来说，六
个元 素（三条边、三个角）中至少要有几个元素分
别对应相 等，这两个三角形才全等呢？
如果两个三角形只有一组对应相等
的元素，那么会 出现几种情况？这两
个三角形会全等吗？
我们发现：
探索将你的发现填入表内，看是否与你同伴的发现一致.
如果两个三角形有两组对应相等的元素，那么
会出 现几种可能的情况呢？这时，这两个三角形会
全等吗？
由于一个三角形有三条边、三个角共六个元
素，所以 可能出现的情况会较多.可能的情况有：
两个角对应相等
;
在这些情况下，两个三角形会全等吗？探索 分别按照下面的条件，用刻度尺或量角器画三角
形， 并和周围的同学比较一下，所画的图形是否全等.
（1）三角形的两个内角分别为30 °和70 °.
（2）三角形的两条边分别为3 cm和5 cm.
（3）三角形的一个内角为60°,—条边为3 cm.
（i）这条长3 cm的边是60°角的邻边；
（ii） 这条长3 cm的边是60°角的对边.试一试你一定会发现,如果只知道两个三角形有两组对应 相
等的元素，那么这两个三角形是否全等的情况为：
由以上的探索与发现，我们知道两个三角形只有一
组或两组对应相等的元素（边或角），那么这两个三角
形 不一定全等.将你的发现填入表内，看是否与你同伴的发现一致.如果两个三角形有三组对应相等的元素（边或
角）， 又会如何呢？思考归 纳1.全等三角形的判定条件：对于两个三角形的
六个元素(三角和三边)，至少需要三个元素(必有一
边)分别对应相等，这两个三角形才能全等．
2．易错警示：(1)如果两个三角形只有一组对
应相等的元素(边或角)，那么这两个三角形不一定
全等．
(2)如果两个三角形只有两组对应相等的元素
(边或角)，那么这两个三角形不一定全等． 例6 在△ACB和△A′C′B′中，已知∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，则△ACB和△A′C′B′________全等．(填一定或不一定)
导引：如：边长为1 cm的等边三角形ABC，与边长
为3 cm的等边三角形A′B′C′，虽然三个角都分
别对应相等，但两个三角形不能重合，即
△ACB和△A′C′B不全等，所以△ACB和
△A′C′B′不一定全等．不一定总 结三个角对应相等的两个三角形不一定全等．1 下列说法正确的是( )
A．三个角对应相等的两个三角形全等
B．判定两个三角形全等的条件中至少有一个是等边
C．面积相等的两个三角形全等
D．周长相等的两个三角形全等
2 下列说法正确的是( )
A．有两边对应相等的两三角形全等
B．有一边和一角对应相等的两三角形全等
C．有一边对应相等的两等腰三角形全等
D．有三边对应相等的两三角形全等全等三角形的性质的作用：
(1)求角的度数；
(2)说明两个角相等；
(3)求线段的长度；
(4)说明两条线段相等；
(5)判断两条直线的位置关系等．