13.2.3 边角边 课件（26张PPT）

课件26张PPT。13.2 三角形全等的判定边角边判定两三角形全等的基本事实：边角边
“边角边”的简单应用1知识点判定两三角形全等的基本事实：边角边为了探索三角形全等的条件,现在我们考虑两个三 角形
有三组对应相等的元素，那么此时会出现几种可能 的情况
呢？
将六个元素（三条边、三个角）分类组合，可能出现：探索两边一角对应相等
; 你认为这些情况下，两个三角形会全等吗？
我们发现，可能出现下列四种情况：
两边一角对应相等; 两角一边对应相等; 三角对应相
等; 三边对应相等.
下面将对这四种情况分别进行讨论.
先让我们观察两个三角形有两条边和一个角分别 对
应相等的情况，这时这两个三角形一定全等吗？如图13. 2. 2所示，此时应该有两种情况：一种情况
是角夹在两条边的中间，形成两边夹一角；另一种情况
是 角不夹在两边的中间，形成两边一对角.
图13. 2. 2 边-角-边 边-边-角 如图13. 2. 3，已知两条线段和一个角，试画一个三
角形，使这两条线 段为其两边，这个角为这两边的夹角.
做一做步骤：
1.画一条线段AB，
使它等于3 cm;
2.画∠ MAB=45°；
3.在射线AM上截
取4C =2.5 cm;
4.连结BC.
△ABC即为所求.把你画的三角形与其他同学画的三角 形进行比较，
或将你画的三角形剪下，放到 其他同学画的三角形
上，看看是否完全重 合.所画的三角形都全等吗？
换两条线段和一个角，试试看，是否有同样的结论. 1.基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全
等，简记为S.A.S.(或边角边)
2. 证明书写格式：在△ABC和△A′B′C′中，
∵
∴△ABC≌△A′B′C′.
要点精析：(1)全等的元素：两边及这两边的夹角；
(2)在书写两个三角形全等的条件边角边时，要按边、角、
边的顺序来写，即把夹角相等写在中间，以突出两边及
其夹角对应相等．AB＝A′B′，
∠ABC＝∠A′B′C′，
BC＝B′C′，例1 如图13.2.5,已知线段AC、BD相交于点E，AE =
DE，BE = CE. 求证：△ABE≌△DCE.
证明：在△ABE和△DCE中，
∵AE=DE（已知），
∠AEB= ∠DEC (对顶角相等)，
BE=CE(已知)，
∴△ABE≌△DCE(S.A.S.).总 结(1)要证两个三角形全等，若已知两边相等，可
考虑证两边的夹角相等，如本题由条件BE∥DF可得角
的关系，故用“S.A.S.”证明．(2)证明两三角形全
等时，常要证边相等，而证边相等的方法有：①公共
边；②等线段加(减)等线段其和(差)相等，即等式性
质；③由中点得到线段相等；④同等于第三条线段的
两线段相等，即等量代换；⑤全等三角形的对应边相
等等．【例2】〈四川内江〉如图13.2--13，
△ABC和△ECD都是等腰
直角三角形，∠ACB＝
∠DCE＝90°，D为AB边
上一点．求证：AE＝BD. 图13.2--13
导引：要证边或角相等，只要证它们所在的三角形全等
即可；AE，BD所在的△ACE与△BCD中，由等
腰直角三角形可知有两边相等：AC＝BC，EC＝
DC，只要能证明它们的夹角相等即可．证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ECD＝∠ACB＝90°.
∴∠ECD－∠ACD＝∠ACB－∠ACD，
即∠ACE＝∠BCD.
在△ACE与△BCD中，
EC＝DC，
∠ACE＝∠BCD，
AC＝BC，
∴△ACE≌△BCD (S.A.S.)．
∴AE＝BD.
?总 结 本题运用了分析法寻找证明思路，分析法就是执
果索因，由未知看需知，思维方式上就是从问题入手，
找能求出问题所需要的条件或可行思路，若问题需要
的条件未知，则把所需条件当作中间问题，再找出解
决中间问题的条件．如本题先观察BD，AE所在的三
角形，若要全等需什么条件， 这 些条件怎样由已知
解决．如图13. 2. 7,已知两条线段和一个角，以长的线段为
已知角的邻边， 短的线段为已知角的对边， 画一个三
角形.
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，
所画的三角形都 全等吗？此时，符合条件的三角形有多
少种？做一做1 如图，a，b，c 分别是△ABC 的三边长，则下面与△ABC 一定全等的三角形是(　　)
　
　
2 (中考·贵阳)如图，点E，F在AC上，AD＝BC， DF ＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是(　　)
A．∠A＝∠C B．∠D＝∠B
C．AD∥BC D．DF∥BE
3 如图，已知AB＝AE，AC＝AD，下列条件中能判定△ABC≌△AED 的是(　　)
A．BC＝AE B．∠BAD＝∠EAC
C．∠B＝∠E D．∠C＝∠D
2知识点“边角边”的简单应用 例3 如图13. 2. 6,有一池塘.要测池塘两端A、B的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连结AC并延长到D，使CD =CA.连结BC并延长到E，使CE=CB.连DE，那么DE的长就是A、B的距 离.你知道其中的道理吗？已知: AD与BE相交于点C，CA = CD，CB =CE.
求证：AB =DE
证明：在△ACB和△DCE中，
∵CA =CD (已知)，
∠1=∠2(对顶角相等)，
CB = CE (已知)，
∴△ACB ≌△DCE (S.A.S.).
∴AB= DM(全等三角形的对应边相等). 总 结 在实际生活中，对于难以实地测量的距离，常常通
过构造两个全等三角形，将需要测量的距离转化到容易
测量的边或者已知边上来，进而求解． 例4 〈创新应用题〉如图13.2-16所示，在湖的两岸点A，B之间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接测量A，B两点之间的距离．请你用学过的数学知识按以下要求设计一个测量方案．
(1)画出测量示意图；
(2)写出测量步骤；
(3)计算点A，B之间的距离(写出求解或推理过程，结果用字母表示)．
图13.2-16导引：本题让我们了解了测量两点之间距离的一种方法，
设计时，只要需要测量的线段在陆地一侧可实施，
就可以达到目的．
解：(1)如图13.2-17：
(2)在湖岸上找到可以直接到
达点A，B的一点O，连结BO并
延长到点C，使OC＝OB；连结
AO并延长到点D，使OD＝OA，
连结CD，则测量出CD的长度即为AB的长度．
?
(3)设CD＝m.
∵OD＝OA，OC＝OB，∠COD＝∠BOA，
∴△COD ≌△BOA(S.A.S.)，
∴CD＝BA，即AB＝m.
?
总 结 解答本题的关键是构造全等三角形，巧妙地借助两
个三角形全等， 寻找所求线段与已知线段之间 的等量
关系．1 如图，AA′，BB′表示两根长度相同的
木条，若O是AA′，BB′的中点，经测量
AB＝9 cm，则容器的内径A′B′为(　　)
A．8 cm　　 B．9 cm　
C．10 cm　　 D．11 cm
2 (中考·青海)如图，点B，F，C，E在同
一直线上，BF＝CE，AB∥DE，请添加一
个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的
条件可以是__________．(只需写一个，
不添加辅助线) 应用“S.A.S.”判定两个三角形全等的“两点注意”：
对应：“S.A.S.”包含“边”“角”两种元素，一定
要注意元素的“对应”关系．
顺序：在应用时一定要按边→角→边的顺序排列条件，
绝不能出现边→边→角(或角→边→边)的错误，因为边边
角(或角边边)不能保证两个三角形全等．