13.2.4 角边角 课件（31张PPT）

课件31张PPT。13.2 三角形全等的判定角边角判定两三角形全等的基本事实：角边角
判定两三角形全等的定理：角角边1知识点判定两三角形全等的基本事实：角边角前面我们已经讨论，当两个三角形有两边一角对应
相等时，这两个三角形是否全等的两种情况，得到了全
等 三角形的一种判定方法.
现在，我们讨论两角一边的情况：如果两个三角形
有两个角、一条边分别对应相等，那么这两个三角形全
等吗？与两边一角类似，也会出现两种不同的情况：如图
13.2.8所示，一种情况是两个角及这两角的夹边;另一
种情况是两个角及其中一角的对边.
图 13.2.8 如图13.2.9,已知两个角和一条线段，试画一个三角形，
使这两个角 为其内角，这条线段为这两个角的夹边.
图 13.2.9
把你画的三角形与其他同学画
的三角形 进行比较，或将你画的三做一做步骤：
1．画一条线段AB，
使它等于3 cm;
2．画∠MAB=60°,
∠NBA=40°，MA与NB
交于点C.
△ABC即为所求.
角形剪下，放到其他 同学画的三角形上，看看是
否完全重合.所画 的三角形都全等吗？
换两个角和一条线段，试试看，是否有同样的
结论.

角边角
1.基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全
等，简记为A.S.A.(或角边角)
2. 证明书写格式：在△ABC和△A′B′C′中，
∵
∴△ABC≌△A′B′C′.
要点精析：(1)全等的元素：两角及两角夹边；(2)在书
写两个三角形全等的条件角边角时，一定要把夹边相等写
在中间，以突出角边角的位置以及对应关系．
∠A＝∠A′，
AB＝A′B′，
∠B＝∠B′， 例1 如图13.2.11，已知 ∠ABC = ∠DCB，∠ACB=
∠DBC.求证：△ABC≌△DCB，AB=DC.
证明：在△ABC和△DCB中，
∵ABC = ∠DCB (已知），
BC=CB(公共边），
∠ACB =∠DBC(已知）， 图13.2.11
∴△ABC≌△DCB (A.S.A.).
AB=DC(全等三角形的对应边相等）.(1)在证两三角形全等所需要的角相等时，通常
采用的目前所学过的方法有：(1)公共角、对顶角分
别相等；(2)等角加(减)等角，其和(差)仍相等，即
等式的性质；(3)同角或等角的余(补)角相等；(4)角
平分线得到相等角；(5)平行线的同位角、内错角相
等；(6)直角都相等；(7)全等三角形对应角相等；
(8)第三角代换，即等量代换等．1 如图，∠A=∠B, CA=CB，△CAD和△CBE全等吗？ CD和CE相等吗？试说明理由.
　
2 (中考·安顺)如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是(　　)
A．∠A＝∠C　 B．AD＝CB　
C．BE＝DF　 D．AD∥BC
3 (中考·宁波改编)如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，E，F是BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为(　　)
A．BE＝DF
B．BF＝DE
C．AE＝CF
D．∠1＝∠22知识点判定两三角形全等的定理：角角边
如图13.2. 12,如果两个三角形有
两个角分别对应 相等，且其中一组
相等的角的对边相等，那么这两个
三角 形是否一定全等？
分析：因为三角形的内角和等
于180°，因此有两个 角分别对应思考相等，那么第三个角必定对应相等，于是由 “角边
角”，便可证得这两个三角形全等.
1.定理：两角分别相等且其中一角的对边相等的两个
三角形全等，简记为A.A.S.(或角角边)
证明书写格式：在△ABC和△A′B′C′中，
∵

∴△ABC≌△A′B′C′.
要点精析：(1)全等的元素：两角及其中一角的对边；
(2)用S.A.S. ，A.S.A. ，A.A.S. 证明全等时，要注意图
形中隐含的相等的角．例如：对顶角、公共角、同角的余∠A＝∠A′，
∠B＝∠B′，
BC＝B′C′，角(补角)都是相等的，虽然已知条件无涉及，但证明中
要特别注意挖掘这些重要条件．
(3)常见的全等三角形类型如图13.2--19所示．
　　
图13.2--19
2．已知两角和一边对应相等就可判定两三角形全
等，即“A.S.A.或A.A.S.”
下面我们证明这个定理：
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个
三角形全等.简记为A. A. S.(或角角边）.
已知：如图13. 2. 12, ∠A= ∠A′， ∠B= ∠B′ ，
BC = B′C′ .
求证： △ABC≌△A′B′C′ 证明：∵ ∠A= ∠A′， ∠B= ∠B′ ，（已知），
∠A ′ +∠B ′ + ∠C ′ = 180 ° （三角形的内角和等于
180°),
∴ ∠A +∠B + ∠C ′ = 180 ° （等量代换）.
又 ∵ ∠A +∠B + ∠C = 180 °（三角形的内角和等 于
180 °），
∴ ∠C= ∠C′ (等式的性质).
在△ABC 和A′B′C′中，
，
，
，
. 请补充完整证明过程. 例2 如图13.2.13，在△ABC中，D是边BC的中 点, 过点C 画直线CE, 使CE//AB, 交AD的延长线于点 E. 求证AD=ED.
证明：∵ CE//AB(已知），
∴ ∠ ABD = ∠ECD，∠BAD= ∠ CED(两直线
平行，内错角相等).
在△ ABD与△ ECD中，
∵
∴ △ ABD≌△ ECD (A.A.S.)，
∴ AD= ED (全等三角形的对应边相等）
∠ ABD = ∠ECD，
∠BAD= ∠ CED(已证)，
BD = CD(已知），要证明两条线段AD、ED相等，我们
发现它们分别 属于△ ABD与△ ECD ，
若能证明这两个三角形全等，便可 利
用全等三角形的对应边相等得到要证
明的结论.这就 是通常证明两条线段相
等的一个重要方法.
可以采用类似的方法证明两个角相等. 例3 求证:全等三角形对应边上的高相等.
已知：如图 13.2.14,
△ABC≌△A′B′C′ ，AD、A′D′分别是
△ABC的BC边和△A′B′C′的B′C′边上的
高.求证: AD = A′D′.
你发现AD、
A ′ D ′分别是哪两个三角形的边？这两个三角形全等吗？分析：从图13.2.14中可以看出，AD、 A′D分别属
于△ABD与△A′B′D′ ，要证AD = A′D′，只需
证明这两个三角形全等即可.
证明： ∵ △ABC≌△A′B′C′ (已知），
∴ AB=A′B′（全等三角形的对应边相等），
∵∠ B= ∠B′ （全等三角形的对应角相等）.
在△ABD和△A′B′D′中，
∵
∴ △ABD≌△A′B′D′（A.A.S）
∴AD = A′D′ (全等三角形的对应边相等).
∠ ADB= ∠A ′D′ B′ = 90 °（已知），
∠ B= ∠B′ （已证），
AB=A′B′（已证）， 判定两三角形全等，先根据已知条件或求证的结论
确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法看缺什
么条件，再去证什么条件，简言之：即综合利用分析法
和综合法寻找证明途径．
全等三角形对应边上的中线、对应角的平分线
又有 什么关系呢？你能说明其中的道理吗？思考 全等三角形除了对应边相等、对应角相等外，
还有以下几条性质：
(1)全等三角形的周长相等，面积相等；
(2)全等三角形的对应边上的中线相等、对应
边上的高线相等、对应角的角平分线相等．1 如图， ∠ 1= ∠2， ∠ C= ∠D. 求证：AC=AD.2 (中考·六盘水)如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是(　　)
A．∠A＝∠D
B．AB＝DC
C．∠ACB＝∠DBC
D．AC＝BD3 (中考·通辽)如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE.求证：△ABC与△DEC全等．
证明三角形全等的“三类条件”：
直接条件：即已知中直接给出的三角形的对应边或
对应角．
隐含条件：即已知没有给出，但通过读图得到的条
件，如公共边、公共角、对顶角．
间接条件：即已知中所给条件不是三角形的对应边
和对应角，需要进一步推理．