13.2.6 斜边直角边 课件（28张PPT）

课件28张PPT。13.2 三角形全等的判定斜边直角边判定两直角三角形全等的方法—斜边直角边
直角三角形全等的综合判定1知识点判定两直角三角形全等的方法—斜边直角边 我们已经知道，对于两个三角形，如果有“边边角”
分别对应相等，那么不能保证这两个三角形全等.
在两个直角三角形中，当斜边和一条直角边分别对
应相等时，也具有“边边角”对应相等的条件，这时这
两 个直角三角形是否全等呢？如图13.2. 18, 已知两条线段(这两条线段长不
相等），试画一个直角 三角形，使长的线段为其
斜边、短的线段为其一条直角边.做一做把你画的直角三角形与其他同 学画的直角三角形进行
比较，或将你 画的直角三角形剪下，放到其他同学画的
直角三角形上，看看是否完全重 合.所画的直角三角形都
全等吗？ 换两条线段，试试看，是否有同 样的结论？
步骤：
1. 画一条线段AB, 使它等 于 2 cm;
2. 画∠MAB=90°(用量角 器或三角尺）；
3. 以点B为圆心、3 cm长 为半径画圆弧，交射线AM
于 点C ;
4.连结BC.
△ABC即为所求. 1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角
形全等．简记为H.L.(或斜边直角边)．
2．(1)书写格式：如图13.2-30，在Rt△ABC和
Rt△A′B′C′中，

∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.
(2)注意点：书写时必须强调直角三角形.
AB＝A′B′，
AC＝A′C′ (或BC＝B′C′)，斜边直角边 例1 如图 13.2.19，已知AC＝FE， ∠C= ∠D= 90°. 求证：BC = AD.
证明：∵ ∠C= ∠D= 90° (已知)，
∴△ABC≌△BAD都是直角三
角形(直角三角形的定义) .
在 Rt△ABC 与 Rt△BAD 中，
∵ AB＝BA(公共边)，
AC＝BD(已知)，
∴在 Rt△ABC 与 Rt△BAD (H.L.).
∵ BC＝AD (全等三角形的对应边相等).
图 13.2.19总 结应用“H.L.”判定两个直角三角形全等，书写时，两个三角形符号前要加上“Rt”．1 如图，在△ABC 中，D为BC的中点， DE丄AB, DF丄AC,点E、F为垂足，DE= DF. 求证： △BDE≌△CFD.2 如图，OD⊥AB于D，OP⊥AC于P，且OD＝OP，则△AOD与△AOP全等的理由是(　　)
A．S.S.S.　
B．A.S.A.　
C．S.S.A.　
D．H.L.3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BD＝BC，若AC＝6 cm，则AE＋DE等于(　　)
A．4 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．7 cm2知识点直角三角形全等的综合判定 例2 如图13.2--33，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC ＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连结CD，EB.
求证：CF＝EF.图13.2--33导引：(思路1)证CF，EF所在的两个三角形全等．由
Rt△ABC≌Rt△ADE，可得边角相等关系，进
一步证得△ACD≌△AEB，进而证出
△CDF≌△EBF，所以可得CF＝EF.
(思路2)要证CF＝EF，可证BF＝DF.连结AF，
构造两个直角三角形，且AF是公共边，可证得
Rt△ABF≌Rt△ADF，进而得出BF＝DF.证明：(方法一)∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ACB＝∠AED，
∠CAB＝∠EAD.
∴∠CAB－∠DAB＝∠EAD－∠DAB，即
∠DAC＝∠BAE.
在△ACD和△AEB中，
AC＝AE，
∠DAC＝∠BAE，
AD＝AB，
∴△ACD≌△AEB(S.A.S.)．∴CD＝EB，∠ACD＝∠AEB.
又∵∠ACB＝∠AED，
∴∠ACB－∠ACD＝∠AED－∠AEB，
即∠DCF＝∠BEF.
在△CDF和△EBF中，
∠DFC＝∠BFE，
∠DCF＝∠BEF，
CD＝EB，
∴△CDF≌△EBF(A.A.S.)．
∴CF＝EF.(方法二)连结AF.
∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴CB＝ED，AB＝AD.
在Rt△ADF和Rt△ABF中，
AF＝AF，
AD＝AB，
∴Rt△ADF≌Rt△ABF(H.L.)．
∴DF＝BF.
∴CB－BF＝ED－DF，即CF＝EF. 例3 如图13.2-34所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过点A的一条直线，且点B，C在AE的两侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E. 图13.2-35图13.2-34(1)求证：BD＝DE＋CE；
(2)若直线AE绕点A旋转到如图13.2-35①所示的位置(BD
＜CE)，其余条件不变，则BD与DE，CE的数量关系
如何？请证明．
(3)若直线AE绕A点旋转到如图13.2-35②所示的位置(BD
＞CE)，其余条件不变，则BD与DE，CE的数量关系
如何？请直接写出结论，不需证明；
(4)根据以上的结论，请用简洁的语言表达BD和DE，CE
的数量关系．导引：在(1)中，直接观察图形可以发现DE＋AD＝AE，
而要证明的结论是BD＝DE＋CE，这时如果能证
得AD＝CE， BD＝AE即可． 而要证AD＝CE，
BD＝AE，就需证△ABD≌△CAE.
(2)中结论的探索，完全可借助对图形的观察，从
中得到结论再予以证明．
(3)中的结论，可借助观察图形及(2)的结论，直接
给出．
(4)中BD与DE，CE的数量关系，应注意B，C与直
线AE的位置关系，分情况写出结论．?(1)证明：∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠ADB＝∠CEA＝90°.
∵∠ABD＋∠BAD＝∠CAE＋∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE.
在△ABD和△CAE中，
∠ADB＝∠CEA，
∠ABD＝∠CAE，
AB＝CA，
∴△ABD≌△CAE(A.A.S.)，
∴BD＝AE，AD＝CE，
∵AE＝DE＋AD，∴BD＝DE＋CE.(2)解：BD＝DE－CE.证明如下：
∵BD⊥AE, CE⊥AE，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°.∵∠BAC＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝∠CAE＋∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE.
在△ABD和△CAE中，
∠ADB＝∠CEA，
∠ABD＝∠CAE，
AB＝CA，
∴ △ABD≌△CAE(A.A.S.)，∴BD＝AE，AD＝CE，
∴BD＝AE＝DE－AD＝DE－CE.(3)解：BD＝DE－CE.
(4)解：归纳(1)(2)(3)可知，当B，C在AE的两侧时，
BD＝DE＋CE；
当B，C在AE的同侧时，BD＝DE－CE.
?归 纳本题属于图形变化过程中的结论探索性问题，解
这类问题要特别注意图形的变化，从图形的变化中找
出某些不变的特征，猜想其规律，再运用几何知识加
以证明．
归 纳判定直角三角形全等的方法：S.A.S. ， A.S.A. ，
A.A.S. ， S.S.S. ， H.L. , 其中H.L. 仅适用于直角三
角形。1 如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D为BC的中点，以下结论：①△ABD≌△ACD；②AB＝AC；
③∠B＝∠C；④AD是△ABC的角平分线．其中正确的有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
　?2 如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点 E，AD⊥CE于点D，下面四个结论：①∠ABE＝∠BAD；②△CEB≌△ADC；③AB＝CE； ④AD－BE＝DE.其中正确的是________．(将你认为正确结论的序号都写上)3 如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D在直线MN上，点B，C在直线PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝________. 判定直角三角形全等的“四种思路”：
(1)若已知条件中有一组直角边和一组斜边分别相等，
用“H.L.”判定．
(2)若有一组锐角和斜边分别相等，用“A.A.S.”判定．
(3)若有一组锐角和一组直角边分别相等，①直角边
是锐角的对边，用“A.A.S.”判定；②直角边是锐角
的邻边，用“A.S.A.”判定．
(4)若有两组直角边分别相等，用“S.A.S.”判定．