13.3.1 等腰三角形的性质 课件（31张PPT）
文档属性
| 名称 | 13.3.1 等腰三角形的性质 课件（31张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 658.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-15 14:52:58 | ||
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文档简介
课件31张PPT。13.3 等腰三角形等腰三角形的性质第13章 全等三角形等腰三角形边角性质：等边对等角
等腰三角形的轴对称性：三线合一1知识点等腰三角形边角性质：等边对等角
等腰三角形的定义及有关概念：
1. 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
2. 有关概念：等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，
另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边
的夹角叫做底角．
例1 〈分类讨论题〉等腰三角形的周长为50 cm，一条边长是12 cm，求另两条边长．
导引：已知一条边长为12 cm，由于不确定已知的边
是腰还是底边，所以要分两种情况讨论．
解： 当腰长为12 cm时，设底边长为x cm，
∵x＋2×12＝50，∴x＝26.
当底边长为12 cm时，设腰长为y cm，
∵2y＋12＝50，∴y＝19.当腰长为12 cm时，
∵12＋12＝24＜26，∴不满足三角形任意两边之和大
于第三边．
当底边长为12 cm时，三角形三条边长分别为12 cm，
19 cm，19 cm，
满足三角形任意两边之和大于第三边，
∴这个等腰三角形另两条边长分别为19 cm，19 cm.归 纳 在等腰三角形中求某一条边长时，若已知的边
和所要求的边是腰还是底边不确定，则要运用分类
讨论思想，分情况讨论求解． 剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角
形的大小和形状可以不一样，如图13.3.2,把纸片对折，让
两腰AB、AC 重叠在一起， 折痕为AD 你能发现什么现象吗？做一做性质1：等腰三角形的两底角相等(简写成“等边
对等角”)．
要点精析：(1)适用条件：必须在同一个三角形
中．(2)应用格式：在△ABC中，因为AB＝AC，所
以∠B＝∠C. (3)作用：它是证明角相等常用的方
法， 它的应用可省去三角形全等的证明， 因而 更
简便．等腰三角形的性质等腰三角形的两底角相等.（简写成“等边对等角”）
已知: 如图 13. 3.3,在 △ABC中，AB＝AC.
求证： ∠B＝∠C.
分析：由上述操作可以得到启发，即添加
等腰三角 形的顶角平分线AD，然
后证明△ABD≌ △ACD.定理证明：证明：画∠ABC的平分线AD.
在 △ABD和 △ACD中，
∵ AB＝AC (已知），
∠ 1 = ∠ 2(角平分线的定义），
AD =AD (公共边），
∴ △ABD≌ △ACD(S.A.S.).
∴ ∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等）? 例2 已知：在△ABC中， AB＝AC ， ∠B =80°．求 ∠C和∠A的大小.
解： ∵ AB＝AC （已知），
∴ ∠C＝∠B ＝ 80°（等边对等角）.
又∵ ∠A + ∠B + ∠C ＝ 180°(三角形的内角和
等于 180 ° ），
∴ ∠A ＝ 180 ° － ∠B － ∠C (等式的性质）
＝ 180° － 80° － 80° ＝ 20°. 例3 (1) 在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝50°，求∠B；
(2)若等腰三角形的一个角为70°，求顶角的度数；
(3)若等腰三角形的一个角为90°，求顶角的度数．导引：给出的条件中，若底角、顶角已确定，可直接
运用三角形的内角和定理与等腰三角形的两底
角相等的性质求解；若给出的条件中底角、顶
角不确定，则要分两种情况求解．解：(1)∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.
(2)当底角为70°时，顶角为180°－70°×2＝40°.
当顶角为70°时，底角为 ＝55°.
因此顶角为40°或70°.(3)若顶角为90°，底角为 ＝45°.
若底角为90°，则三个内角的和将大于180°，
不符合三角形内角和定理．因此顶角为90°.总 结 (1)在等腰三角形中求角时，要看给出的角是否
确定为顶角或底角．若已确定，则直接利用三角形
的内角和定理求解；若没有指出所给的角是顶角还
是底角，要分两种情况讨论，并看是否符合三角形
内角和定理．(2)若等腰三角形中给出的一内角是直
角或钝角，则此角必为顶角．1 填空：
（1）如果等腰三角形的一个底角为50°，那么其余两个角的大小分别为 和 ；
（2）如果等腰三角形的顶角为80°，那么它的一个底角的大小为和 . 2 (中考·广西)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AB 的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D 、 E，则∠BAE＝( )
A．80° B．60° C．50° D．40 3 (中考·丹东)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC的延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线交于点D，则∠D的度数为( )
A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
?2知识点等腰三角形的轴对称性：三线合一由前面的“做一做”，你还可以发现什么结论？请
写 出你的发现：
；
；
.探索性质2：等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平
分线互相重合 (简称“三线合一”)．
要点解析：(1)含义：这是等腰三角形所特有的性
质，它实际是一组定理，应用过程中，在三角形是等腰
三角形前提下，“顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高” 只要知道其中 “一线 ”，就可以说明是其他 “两线”．
(2)作用：是证明线段相等、角相等、垂直等关系
的重要方法，应用广泛．(3)对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分
线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对
称轴．
(4)应用格式：如图13.3--1，在△ABC中，
①∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC(或BD＝CD)；
②∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC(或AD平分∠BAC)；
③∵AB＝AC，AD平分∠BAC， 图13.3--1
∴BD＝DC(或AD⊥BC)．总 结1. 等腰三角形“三线合一”的性质包含三层含义：
(1)已知等腰三角形底边上的中线，则它平分顶角，垂
直于底边；
(2)已知等腰三角形顶角的平分线，则它垂直平分底边；
(3)已知等腰三角形底边上的高，则它平分底边，平分
顶角．
2．等腰三角形“三线合一”的性质常常可以用来证明角相
等、线段相等和线段垂直．在遇到等腰三角形的问题时，
尝试作这条辅助线，常常会有意想不到的效果． 例4 如图 13.3.4，在△ABC中， AB＝AC ，D是BC 边上的中点， ∠B =30°．求 ：
（1）∠ADC的大小；
（2）∠1的大小.
解： （1）∵ AB＝AC ，BD＝DC （已知），
∴AD ⊥BC (等腰三角形的“三线合一”）
∠ADC＝∠ADB ＝ 90°.（2）∵ ∠1+ ∠B + ∠ ADB＝ 180°(三角形的内角和
等于 180 ° ），
∠B = 30 ° （已知），
∴ ∠1 = 180 ° －∠B －∠ ADB (等式的性质）
= 180° － 30° － 90° = 60°.
例5 如图13.3--2，在△ABC中，
AB＝AC，AD是BC边上
的中线．若∠BAD＝25°，
求∠C的度数．
解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠BAC＝2∠BAD＝50°.
∵AB＝AC，
∴ ∠C＝∠ABC ＝ ×(180°－∠A)＝
×(180°－50°)＝65°. 图13.3--2总 结等腰三角形的“三线合一”的性质是证明角相等、线
段相等和垂直关系的重要依据；因为题目的证明或
计算所求结果大多都是单一的，所以“三线合一”的
性质的应用也是单一的，一般得出一个结论，因此
应用要灵活．
(2) 在等腰三角形中，作“三线”中“一线”，利用“三线合
一”是解决有关等腰三角形问题常用的方法．1 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，点E在AD上，那么下列结论不一定正确的是( )
A．AD⊥BC
B．∠EBC＝∠ECB
C．∠ABE＝∠ACE
D．AE＝BE2 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②BD＝CD；③若点P在直线AD上，则PB＝PC.其中正确的是( )
A．①
B．②
C．①②
D．①②③3 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，连接AD，AE，如果只添加一个条件使∠DAB＝∠EAC，则添加的条件不能为( )
A．BD＝CE B．AD＝AE
C．DA＝DE D．BE＝CD1.等腰三角形的性质1：等边对等角.
2.等腰三角形的性质2：三线合一.
等腰三角形的轴对称性：三线合一1知识点等腰三角形边角性质：等边对等角
等腰三角形的定义及有关概念：
1. 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
2. 有关概念：等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，
另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边
的夹角叫做底角．
例1 〈分类讨论题〉等腰三角形的周长为50 cm，一条边长是12 cm，求另两条边长．
导引：已知一条边长为12 cm，由于不确定已知的边
是腰还是底边，所以要分两种情况讨论．
解： 当腰长为12 cm时，设底边长为x cm，
∵x＋2×12＝50，∴x＝26.
当底边长为12 cm时，设腰长为y cm，
∵2y＋12＝50，∴y＝19.当腰长为12 cm时，
∵12＋12＝24＜26，∴不满足三角形任意两边之和大
于第三边．
当底边长为12 cm时，三角形三条边长分别为12 cm，
19 cm，19 cm，
满足三角形任意两边之和大于第三边，
∴这个等腰三角形另两条边长分别为19 cm，19 cm.归 纳 在等腰三角形中求某一条边长时，若已知的边
和所要求的边是腰还是底边不确定，则要运用分类
讨论思想，分情况讨论求解． 剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角
形的大小和形状可以不一样，如图13.3.2,把纸片对折，让
两腰AB、AC 重叠在一起， 折痕为AD 你能发现什么现象吗？做一做性质1：等腰三角形的两底角相等(简写成“等边
对等角”)．
要点精析：(1)适用条件：必须在同一个三角形
中．(2)应用格式：在△ABC中，因为AB＝AC，所
以∠B＝∠C. (3)作用：它是证明角相等常用的方
法， 它的应用可省去三角形全等的证明， 因而 更
简便．等腰三角形的性质等腰三角形的两底角相等.（简写成“等边对等角”）
已知: 如图 13. 3.3,在 △ABC中，AB＝AC.
求证： ∠B＝∠C.
分析：由上述操作可以得到启发，即添加
等腰三角 形的顶角平分线AD，然
后证明△ABD≌ △ACD.定理证明：证明：画∠ABC的平分线AD.
在 △ABD和 △ACD中，
∵ AB＝AC (已知），
∠ 1 = ∠ 2(角平分线的定义），
AD =AD (公共边），
∴ △ABD≌ △ACD(S.A.S.).
∴ ∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等）? 例2 已知：在△ABC中， AB＝AC ， ∠B =80°．求 ∠C和∠A的大小.
解： ∵ AB＝AC （已知），
∴ ∠C＝∠B ＝ 80°（等边对等角）.
又∵ ∠A + ∠B + ∠C ＝ 180°(三角形的内角和
等于 180 ° ），
∴ ∠A ＝ 180 ° － ∠B － ∠C (等式的性质）
＝ 180° － 80° － 80° ＝ 20°. 例3 (1) 在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝50°，求∠B；
(2)若等腰三角形的一个角为70°，求顶角的度数；
(3)若等腰三角形的一个角为90°，求顶角的度数．导引：给出的条件中，若底角、顶角已确定，可直接
运用三角形的内角和定理与等腰三角形的两底
角相等的性质求解；若给出的条件中底角、顶
角不确定，则要分两种情况求解．解：(1)∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.
(2)当底角为70°时，顶角为180°－70°×2＝40°.
当顶角为70°时，底角为 ＝55°.
因此顶角为40°或70°.(3)若顶角为90°，底角为 ＝45°.
若底角为90°，则三个内角的和将大于180°，
不符合三角形内角和定理．因此顶角为90°.总 结 (1)在等腰三角形中求角时，要看给出的角是否
确定为顶角或底角．若已确定，则直接利用三角形
的内角和定理求解；若没有指出所给的角是顶角还
是底角，要分两种情况讨论，并看是否符合三角形
内角和定理．(2)若等腰三角形中给出的一内角是直
角或钝角，则此角必为顶角．1 填空：
（1）如果等腰三角形的一个底角为50°，那么其余两个角的大小分别为 和 ；
（2）如果等腰三角形的顶角为80°，那么它的一个底角的大小为和 . 2 (中考·广西)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AB 的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D 、 E，则∠BAE＝( )
A．80° B．60° C．50° D．40 3 (中考·丹东)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC的延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线交于点D，则∠D的度数为( )
A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
?2知识点等腰三角形的轴对称性：三线合一由前面的“做一做”，你还可以发现什么结论？请
写 出你的发现：
；
；
.探索性质2：等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平
分线互相重合 (简称“三线合一”)．
要点解析：(1)含义：这是等腰三角形所特有的性
质，它实际是一组定理，应用过程中，在三角形是等腰
三角形前提下，“顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高” 只要知道其中 “一线 ”，就可以说明是其他 “两线”．
(2)作用：是证明线段相等、角相等、垂直等关系
的重要方法，应用广泛．(3)对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分
线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对
称轴．
(4)应用格式：如图13.3--1，在△ABC中，
①∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC(或BD＝CD)；
②∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC(或AD平分∠BAC)；
③∵AB＝AC，AD平分∠BAC， 图13.3--1
∴BD＝DC(或AD⊥BC)．总 结1. 等腰三角形“三线合一”的性质包含三层含义：
(1)已知等腰三角形底边上的中线，则它平分顶角，垂
直于底边；
(2)已知等腰三角形顶角的平分线，则它垂直平分底边；
(3)已知等腰三角形底边上的高，则它平分底边，平分
顶角．
2．等腰三角形“三线合一”的性质常常可以用来证明角相
等、线段相等和线段垂直．在遇到等腰三角形的问题时，
尝试作这条辅助线，常常会有意想不到的效果． 例4 如图 13.3.4，在△ABC中， AB＝AC ，D是BC 边上的中点， ∠B =30°．求 ：
（1）∠ADC的大小；
（2）∠1的大小.
解： （1）∵ AB＝AC ，BD＝DC （已知），
∴AD ⊥BC (等腰三角形的“三线合一”）
∠ADC＝∠ADB ＝ 90°.（2）∵ ∠1+ ∠B + ∠ ADB＝ 180°(三角形的内角和
等于 180 ° ），
∠B = 30 ° （已知），
∴ ∠1 = 180 ° －∠B －∠ ADB (等式的性质）
= 180° － 30° － 90° = 60°.
例5 如图13.3--2，在△ABC中，
AB＝AC，AD是BC边上
的中线．若∠BAD＝25°，
求∠C的度数．
解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠BAC＝2∠BAD＝50°.
∵AB＝AC，
∴ ∠C＝∠ABC ＝ ×(180°－∠A)＝
×(180°－50°)＝65°. 图13.3--2总 结等腰三角形的“三线合一”的性质是证明角相等、线
段相等和垂直关系的重要依据；因为题目的证明或
计算所求结果大多都是单一的，所以“三线合一”的
性质的应用也是单一的，一般得出一个结论，因此
应用要灵活．
(2) 在等腰三角形中，作“三线”中“一线”，利用“三线合
一”是解决有关等腰三角形问题常用的方法．1 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，点E在AD上，那么下列结论不一定正确的是( )
A．AD⊥BC
B．∠EBC＝∠ECB
C．∠ABE＝∠ACE
D．AE＝BE2 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②BD＝CD；③若点P在直线AD上，则PB＝PC.其中正确的是( )
A．①
B．②
C．①②
D．①②③3 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，连接AD，AE，如果只添加一个条件使∠DAB＝∠EAC，则添加的条件不能为( )
A．BD＝CE B．AD＝AE
C．DA＝DE D．BE＝CD1.等腰三角形的性质1：等边对等角.
2.等腰三角形的性质2：三线合一.