13.3.2 等腰三角形的判定 课件（23张PPT）
文档属性
| 名称 | 13.3.2 等腰三角形的判定 课件（23张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 539.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-15 14:52:58 | ||
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文档简介
课件23张PPT。第13章 全等三角形13.3 等腰三角形等腰三角形的判定等腰三角形的判定
等腰三角形的判定与性质 对于一个三角形，怎样判定它是不是等腰三
角形呢? 我们已经知道的方法是按定义，看它是
否有两条边相等. 现在再看看能否找到其他的判
定方法.1知识点等腰三角形的判定
我们知道，等腰三角形的两个底角相等.反过来，在一 个三角形
中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗？
画画看，你发现了什么？
我们可以发现，如果一个三角形中有两个角相等，那 么它就是
等腰三角形.即
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对 的边也相等.
（简写成“等角对等边”）（来源于教材）探索判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么
这两个角所对的边也相等．(简写成“等角对等边”)
应用格式：在△ABC中，∵∠B＝∠C, ∴AB＝AC.
定理 证明：
已知：如图13. 3. 6, △ABC中， ∠B＝∠C.
求证： AB＝AC.
分析：要证明AB＝AC ,可设法构造两
个全等三角 ，使 AB、AC分别
是这两个全等三角形的对应边，
于是 想到画∠BAC的平分线AD.证明：画∠BAC的平分线交BC于点D.
在△BAD和 △CAD中，
∵ ∠B＝∠C(已知），
∠ 1 = ∠ 2(角平分线的定义），
AD =AD (公共边），
∴ △BAD≌ △CAD (S.A.S.).
∴ AB＝AC全等三角形的对应边相等）.
想想看，还可以添加什么辅助线证明这一结论？ 例1 如图13.3.7, 在△ABC中， 已知∠A＝ 40° ，∠B ＝ 70°. 求证： AB＝AC .
证明：∵ ∠A + ∠B + ∠C ＝ 180°(三角形的
内角和等于 180 ° ），
∠A＝ 40° ，∠B ＝ 70°（已知），
∴ ∠C ＝ 180 ° － ∠A － ∠B (等式的
性质）
＝ 180° － 40° － 70° ＝ 70°.
∴ ∠C ＝ 180 ° － ∠A － ∠B （等量代换），
AB＝AC（等边对等角）. 例2 如图13.3--10，在△ABC中，∠ABC，∠CAB的平分线交于点P，过点P作DE∥AB，分别交BC，AC于点D，E.
求证：DE＝BD＋AE.图13.3--10导引：要证： DE＝BD＋AE ，而由图13.3--10知
DE＝DP＋PE.因此只需证：
BD＋AE＝DP＋PE即可．
即需证BD＝DP，AE＝PE，
而要证这两边相等，只需证明它们所对的角
相等；因此我们可以从证角相等作为切入口
进行证明．证明：∵DE∥AB，
∴∠ABP＝∠DPB, ∠BAP＝∠EPA.
∵∠ABC，∠CAB的平分线交于点P，
∴∠ABP＝∠DBP, ∠BAP＝∠EAP，
∴∠DBP＝∠DPB, ∠EAP＝∠EPA，
∴DP＝DB，EP＝EA，
∴DP＋EP＝DB＋EA，即DE＝BD＋AE.
归 纳 (1)本题运用平行线性质以及角平分线的定义，
证明角之间的相等关系，进而运用等腰三角形的判
定得出线段之间的长度关系，这是证几何题中常用
的方法．(2)如图13.3--10中角的一边与角的平分线及
角另一边的平行线所构成的三角形是等腰三角形，
这是一个基本的图形，在以后学习平行四边形中会
经常遇到．1 在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是( )
A．∠A＝50°，∠B＝70°
B．∠A＝70°，∠B＝40°
C．∠A＝30°，∠B＝90°
D．∠A＝80°，∠B＝60°2 如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形有( )
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个3 (中考·陕西)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
2知识点等腰三角形的判定与性质等腰三角形的判定与性质的异同
相同点：都是在一个三角形中；
区别：判定是由角到边，性质是由边到角．即：
等边 等角．性质
判定 例3 如图13.3--11，在△ABC中，AB＝AC，EF交 AB于点E，交AC的延长线于点F，交BC于点D，且BE＝CF. 求证：DE＝DF.
导引：要证DE＝DF，可构造以DE
和DF为对应边的全等三角形，
不妨过点E作EG∥AC交BC于
点G，则只要证明△EDG≌
△FDC即可，缺少的条件可
用等腰三角形的性质及判定得出．
?图13.3--11证明：过点E作EG∥AC交BC于点G，
如图13.3--12，则∠1＝∠F，∠2＝∠3.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠3(等边对等角)．
∴∠B＝∠2.∴BE＝EG(等角对等边)．
又∵BE＝CF，∴EG＝CF.
在△EDG和△FDC中，
∠4＝∠5，
∠1＝∠F，
EG＝FC，
∴△EDG≌△FDC.∴DE＝DF.图13.3--12总 结证明线段(或角)相等，以其中一边(或角)所在三角
形作为“基础三角形”在另一边(或角)上作与其全等的三
角形是常用的作辅助线的方法；如本例是以DF所在的
△DFC为“基础三角形”，以DE为边作与△DFC全等的
△DEG；若以DE所在的△DEB为“基础三角形”，以DF
为边作与△DEB全等的△DFG怎么作请读者试一试．1 (中考·泰安)如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF.给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共有( )
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个2 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝6，则线段MN的长为( )
A．6
B．7
C．8
D．93 在下列三角形中，若AB＝AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( ) 等腰三角形的两种判定方法：
(1)当三角形有两条边相等时，应用“有两条边相
等的三角形是等腰三角形”来判定．
(2)当三角形中有两个角相等时，应用“如果一个
三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”
来证明．
等腰三角形的判定与性质 对于一个三角形，怎样判定它是不是等腰三
角形呢? 我们已经知道的方法是按定义，看它是
否有两条边相等. 现在再看看能否找到其他的判
定方法.1知识点等腰三角形的判定
我们知道，等腰三角形的两个底角相等.反过来，在一 个三角形
中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗？
画画看，你发现了什么？
我们可以发现，如果一个三角形中有两个角相等，那 么它就是
等腰三角形.即
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对 的边也相等.
（简写成“等角对等边”）（来源于教材）探索判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么
这两个角所对的边也相等．(简写成“等角对等边”)
应用格式：在△ABC中，∵∠B＝∠C, ∴AB＝AC.
定理 证明：
已知：如图13. 3. 6, △ABC中， ∠B＝∠C.
求证： AB＝AC.
分析：要证明AB＝AC ,可设法构造两
个全等三角 ，使 AB、AC分别
是这两个全等三角形的对应边，
于是 想到画∠BAC的平分线AD.证明：画∠BAC的平分线交BC于点D.
在△BAD和 △CAD中，
∵ ∠B＝∠C(已知），
∠ 1 = ∠ 2(角平分线的定义），
AD =AD (公共边），
∴ △BAD≌ △CAD (S.A.S.).
∴ AB＝AC全等三角形的对应边相等）.
想想看，还可以添加什么辅助线证明这一结论？ 例1 如图13.3.7, 在△ABC中， 已知∠A＝ 40° ，∠B ＝ 70°. 求证： AB＝AC .
证明：∵ ∠A + ∠B + ∠C ＝ 180°(三角形的
内角和等于 180 ° ），
∠A＝ 40° ，∠B ＝ 70°（已知），
∴ ∠C ＝ 180 ° － ∠A － ∠B (等式的
性质）
＝ 180° － 40° － 70° ＝ 70°.
∴ ∠C ＝ 180 ° － ∠A － ∠B （等量代换），
AB＝AC（等边对等角）. 例2 如图13.3--10，在△ABC中，∠ABC，∠CAB的平分线交于点P，过点P作DE∥AB，分别交BC，AC于点D，E.
求证：DE＝BD＋AE.图13.3--10导引：要证： DE＝BD＋AE ，而由图13.3--10知
DE＝DP＋PE.因此只需证：
BD＋AE＝DP＋PE即可．
即需证BD＝DP，AE＝PE，
而要证这两边相等，只需证明它们所对的角
相等；因此我们可以从证角相等作为切入口
进行证明．证明：∵DE∥AB，
∴∠ABP＝∠DPB, ∠BAP＝∠EPA.
∵∠ABC，∠CAB的平分线交于点P，
∴∠ABP＝∠DBP, ∠BAP＝∠EAP，
∴∠DBP＝∠DPB, ∠EAP＝∠EPA，
∴DP＝DB，EP＝EA，
∴DP＋EP＝DB＋EA，即DE＝BD＋AE.
归 纳 (1)本题运用平行线性质以及角平分线的定义，
证明角之间的相等关系，进而运用等腰三角形的判
定得出线段之间的长度关系，这是证几何题中常用
的方法．(2)如图13.3--10中角的一边与角的平分线及
角另一边的平行线所构成的三角形是等腰三角形，
这是一个基本的图形，在以后学习平行四边形中会
经常遇到．1 在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是( )
A．∠A＝50°，∠B＝70°
B．∠A＝70°，∠B＝40°
C．∠A＝30°，∠B＝90°
D．∠A＝80°，∠B＝60°2 如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形有( )
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个3 (中考·陕西)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
2知识点等腰三角形的判定与性质等腰三角形的判定与性质的异同
相同点：都是在一个三角形中；
区别：判定是由角到边，性质是由边到角．即：
等边 等角．性质
判定 例3 如图13.3--11，在△ABC中，AB＝AC，EF交 AB于点E，交AC的延长线于点F，交BC于点D，且BE＝CF. 求证：DE＝DF.
导引：要证DE＝DF，可构造以DE
和DF为对应边的全等三角形，
不妨过点E作EG∥AC交BC于
点G，则只要证明△EDG≌
△FDC即可，缺少的条件可
用等腰三角形的性质及判定得出．
?图13.3--11证明：过点E作EG∥AC交BC于点G，
如图13.3--12，则∠1＝∠F，∠2＝∠3.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠3(等边对等角)．
∴∠B＝∠2.∴BE＝EG(等角对等边)．
又∵BE＝CF，∴EG＝CF.
在△EDG和△FDC中，
∠4＝∠5，
∠1＝∠F，
EG＝FC，
∴△EDG≌△FDC.∴DE＝DF.图13.3--12总 结证明线段(或角)相等，以其中一边(或角)所在三角
形作为“基础三角形”在另一边(或角)上作与其全等的三
角形是常用的作辅助线的方法；如本例是以DF所在的
△DFC为“基础三角形”，以DE为边作与△DFC全等的
△DEG；若以DE所在的△DEB为“基础三角形”，以DF
为边作与△DEB全等的△DFG怎么作请读者试一试．1 (中考·泰安)如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF.给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共有( )
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个2 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝6，则线段MN的长为( )
A．6
B．7
C．8
D．93 在下列三角形中，若AB＝AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( ) 等腰三角形的两种判定方法：
(1)当三角形有两条边相等时，应用“有两条边相
等的三角形是等腰三角形”来判定．
(2)当三角形中有两个角相等时，应用“如果一个
三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”
来证明．