13.4 尺规作图 课件（40张PPT）
文档属性
| 名称 | 13.4 尺规作图 课件（40张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-15 14:52:58 | ||
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文档简介
课件40张PPT。第13章 全等三角形13.4 尺规作图尺规作图作一条线段等于已知线段
作一个角等于已知角
作已知角的平分线
经过一已知点作已知直线的垂线
作已知线段的垂直平分线1知识点作一条线段等于已知线段1.尺规作图的定义：我们把只能使用圆规和没有刻度的直
尺这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图．
2．常见的五种基本作图：
(1)作一条线段等于已知线段；
(2)作一个角等于已知角；
(3)作已知角的平分线；
(4)经过一已知点作已知直线的垂线；
(5)作已知线段的垂直平分线．作一条线段等于已知线段的作法：
如图13.4-1所示，已知线段DE，作一条线段等于
已知线段DE.
图13.4-1
作法：如图13.4-1所示．
第一步：先作射线AB ；
第二步：再用圆规在射线AB上截取AC，使AC
＝DE，线段AC就是所要作的线段． 例1 下列说法正确的是( )
A．作直线AB＝CD B．延长直线AB
C．延长射线AB D．延长线段AB
导引：直线没有端点，可以向两方无限延伸，不可
测量．故A，B错误；射线只有一个端点，
可无限延伸，也可反向延长，故C错误；线
段有两个端点，不可以向两方无限延伸，可
以测量，故D正确．故选D.D 例2 如图13.4-2，已知线段a，b(a＞b)，求作一条线段AB，使AB＝2(a－b)．
图13.4-2
解：如图13.4-3，线段AB为所求．
图13.4-3?
作法：(1)作射线OP；
(2)在射线OP上顺次截取OM＝MB＝a；
(3)在线段OB上顺次截取ON＝NA＝b，则线段
AB就是所求作的线段．
点拨 解答此题的关键是能灵活运用线段的和、差转
化线段之间的数量关系．2知识点作一个角等于已知角1.作一个角等于已知角的作法：
如图13.4-4所示，已知∠AOB ，
作∠A′O′B′＝∠AOB.
作法：如图13.4-5所示．
第一步：作射线O′A′
第二步：以点O为圆心，
以适当长为半径作弧，交OA
于点C，交OB于点D；图13.4-4图13.4-5第三步：以点O′为圆心，以OC长为半径作弧，
交O′A′于点C′；
第四步：以点C′为圆心，以CD长为半径作弧，交
前一条弧于点D′；
第五步：经过点D′作射线O′B′，∠A′O′B′就是所
求的角，如图13.4-5.2．作一个角等于已知角的理论依据：作一个角
等于已知角的理论依据是全等三角形的判定方法——
“S.S.S.”．
理由如下：如图13.4-5所示，连结C′D′.
由作法的第二、三、四步知，OC＝OC′＝OD＝
OD′，CD＝C′D′.∴△OCD≌△O′C′D′ (S.S.S.)．
（来源于教材）我们在讨论三角形全等的条件时，曾利用上述两
种基本作图，已知两边和夹角、两角和夹边、三边分
别作出 相应的三角形.图13.4.3这是我们在七年级已经学习过的作一个角等于已知角的方法，你能用学过的知识说明为什么∠A′O′B′= ∠AOB吗？ 例3 如图13.4-6所示，已知∠α，∠β，求作∠AOB，使∠AOB＝∠α＋∠β .
图13.4-6图13.4-7解：作法：(1)分别以点E，P为圆心、以适当长为半径
画弧，交∠α的两边于点F，G，交∠β的两边于
点M，N；
(2)作射线OA，以点O为圆心，以EF长为半径画
弧l，交射线OA于点C；
(3)以点C为圆心，以GF的长为半径画弧，交弧l
于点H；以点H为圆心、以MN长为半径画弧，在
OA的同侧与弧l交于点Q；
(4)过点Q作射线OB，则∠AOB就是所求作的角，
如图13.4-7所示．总 结叙述作法时，要注意对方向的描述，以本题为例，
(3)应说明所画的弧与弧l的交点在OA的同侧还是异侧．1 任意画出两个角∠1和∠2,其中∠1 >∠2,再作一个角，使它等于∠1 -∠2.(中考·宁德)如图，用尺规作图：“过点C作CN∥
OA”，其作图依据是( )
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角相等，两直线平行
D．同旁内角互补，两直线平行
3知识点作已知角的平分线如图13.4.4，已知∠AOB ，为已知角，试按下列
步骤用直尺和圆规准确地作出∠AOB的平分线. （此讲解来源于教材）试一试想想看，如 何将∠AOB四等分？第一步：在射线OA、AB上，分别截取OD 、
OE.使 OD = OE；
第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长（大
于 线段DE长的一半）为半径作圆弧，在∠AOB内，
两弧交于点C;
第三步：作射线OC.
射线OC就是所要求作的∠AOB的平分线.我们可以证明这样作出来的射线是
符合要求的，即 ∠AOC＝∠BOC.
如图13.4.5,连结 EC、DC .
∵OD = OE，DC = EC，OC = OC，
∴△OCD≌△OCE(S.S.S.),
∴∠AOC＝∠BOC (全等三角
形的对应角相等）.
为简化推理格 式，今后只注明主 要依据，省略“已 知”、“等量代换” 等依据.1. 理论根据：作角平分线的理论根据是三角形全
等的判定方法：“S.S.S.”．
拓展：根据角平分线的作法还可以作已知角的四
等分线．
2. 易错警示：作角平分线的最后一步“过两点作
射线”时，不能简单地叙述为“连结两点”，连结两
点是线段，角平分线是射线而不是线段．
?图13.4-8图13.4-9例4?点 拨??A?4知识点经过一已知点作已知直线的垂线1.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线：
如图13.4-10所示，已知直线AB和AB上一点C，
作AB的垂线，使它经过点C.
?
图13.4-10 作法：如图13.4-11所示．
第一步：作平角ACB的平分线CF；
第二步：反向延长射线CF. 直线CF就是所要求
作的垂线． 图13.4-11?2．经过已知直线外一点作这条直线的垂线：
如图13.4-12所示，已知直线AB和AB外一点C，作AB的垂
线，使它经过点C.
?
?
作法：如图13.4-13所示．
第一步：以点C为圆心，作能与AB相交于D、E两点的弧；
第二步：作∠ DCE的平分线CF；
第三步：反向延长射线CF，则直线CF 就是所要 求 作 的
垂线．图13.4-12 图13.4-13 例5 利用直尺和圆规作一个等于45°的角.
作法：1. 作直线AB；
2. 过点A作直线AB的垂线AC ;
3. 作∠CAB 的平分线AD.
∠DAB就是要求作的角（如图13.4.8所示） 例6 如图13.4-14，已知点P和直线l，求作点P关于直线l的对称点P′.
?
?
解：如图13.4-15所示．
作法：(1)过点P作直线l的垂线，垂足为点O；
(2)在线段PO的延长线上截取OP′＝OP，则点P′就是
点P关于直线l的对称点． 图13.4-14 图13.4-151 如图，点P在∠O的一边上, 试过点P作角两边的垂线.P●O2 下列尺规作图：①过直线外一点C作直线AB的垂线，只要作∠ACB的平分线即可；②作△ABC的BC边上的高，只要过点A作直线BC的垂线即可；③作△ABC的中线AD，只要作边BC的中垂线即可．其中说法不正确的是( )
A．①
B．②③
C．①③
D．①②③5知识点作已知线段的垂直平分线如图13. 4. 9，已知直线l是线段
的垂直平分线， 则直线l是线段仙的
对称轴，对l上的任意两点C、D，通
过对折可以发现，总有
CA = CB，DA = DB.
由此，你能发现作垂直平分线的方法吗？思考图13. 4. 91.作已知线段的垂直平分线作法：如图13.4-16所
示，已知线段 AB, 求作线段 AB 的垂直平分线．
图13.4-16 图13.4-17
作法：如图13.4-17所示．
第一步：分别以点A和点B为圆心，大于AB 的长
为半径作圆弧，两弧相交于点C和点D；第二步：作直线CD. 直线CD就是要求作的线段
AB的垂直平分线．
2．作已知线段的垂直平分线的理论依据：作已
知线段的垂直平分线的理论依据是三角形全等的判定
方法——“S.S.S.”及等腰三角形的“三线合一”．理由如下：如图13.4-18所示，连结CA，CB，DA，DB.
∵AD＝BD，AC＝BC，CD＝CD，
∴△ACD≌△BCD(S.S.S.)．
∴∠ACD＝∠BCD(全等三角形的对应角相等)．
∴CD垂直平分线段AB(等腰三角形的“三线合一”)．图13.4-18 例7 如图13.4-19，已知钝角三
角形ABC，其中∠A是钝
角，求作AC边上的中线
BD和高BH.
解：如图13.4-20所示．图13.4-20图13.4-191 四等分已知线段AB.BA●●2 (中考·曲靖)如图，分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于B，D两点，连接BD，AB，BC，CD，DA，以下结论：
①BD垂直平分AC；②AC平分∠BAD；③AC＝BD；④四边形ABCD是中心对称图形．
其中正确的有( )
A．①②③
B．①③④
C．①②④
D．②③④1.基本作图的一般步骤：先明确已知、求作，然
后在此基础上进行草图分析，找出作图的步骤，准确
叙述作法，并完成作图．
2．利用尺规作图时，先根据题目要求，判断应该
运用五种基本作图中的哪一种或几种．
作一个角等于已知角
作已知角的平分线
经过一已知点作已知直线的垂线
作已知线段的垂直平分线1知识点作一条线段等于已知线段1.尺规作图的定义：我们把只能使用圆规和没有刻度的直
尺这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图．
2．常见的五种基本作图：
(1)作一条线段等于已知线段；
(2)作一个角等于已知角；
(3)作已知角的平分线；
(4)经过一已知点作已知直线的垂线；
(5)作已知线段的垂直平分线．作一条线段等于已知线段的作法：
如图13.4-1所示，已知线段DE，作一条线段等于
已知线段DE.
图13.4-1
作法：如图13.4-1所示．
第一步：先作射线AB ；
第二步：再用圆规在射线AB上截取AC，使AC
＝DE，线段AC就是所要作的线段． 例1 下列说法正确的是( )
A．作直线AB＝CD B．延长直线AB
C．延长射线AB D．延长线段AB
导引：直线没有端点，可以向两方无限延伸，不可
测量．故A，B错误；射线只有一个端点，
可无限延伸，也可反向延长，故C错误；线
段有两个端点，不可以向两方无限延伸，可
以测量，故D正确．故选D.D 例2 如图13.4-2，已知线段a，b(a＞b)，求作一条线段AB，使AB＝2(a－b)．
图13.4-2
解：如图13.4-3，线段AB为所求．
图13.4-3?
作法：(1)作射线OP；
(2)在射线OP上顺次截取OM＝MB＝a；
(3)在线段OB上顺次截取ON＝NA＝b，则线段
AB就是所求作的线段．
点拨 解答此题的关键是能灵活运用线段的和、差转
化线段之间的数量关系．2知识点作一个角等于已知角1.作一个角等于已知角的作法：
如图13.4-4所示，已知∠AOB ，
作∠A′O′B′＝∠AOB.
作法：如图13.4-5所示．
第一步：作射线O′A′
第二步：以点O为圆心，
以适当长为半径作弧，交OA
于点C，交OB于点D；图13.4-4图13.4-5第三步：以点O′为圆心，以OC长为半径作弧，
交O′A′于点C′；
第四步：以点C′为圆心，以CD长为半径作弧，交
前一条弧于点D′；
第五步：经过点D′作射线O′B′，∠A′O′B′就是所
求的角，如图13.4-5.2．作一个角等于已知角的理论依据：作一个角
等于已知角的理论依据是全等三角形的判定方法——
“S.S.S.”．
理由如下：如图13.4-5所示，连结C′D′.
由作法的第二、三、四步知，OC＝OC′＝OD＝
OD′，CD＝C′D′.∴△OCD≌△O′C′D′ (S.S.S.)．
（来源于教材）我们在讨论三角形全等的条件时，曾利用上述两
种基本作图，已知两边和夹角、两角和夹边、三边分
别作出 相应的三角形.图13.4.3这是我们在七年级已经学习过的作一个角等于已知角的方法，你能用学过的知识说明为什么∠A′O′B′= ∠AOB吗？ 例3 如图13.4-6所示，已知∠α，∠β，求作∠AOB，使∠AOB＝∠α＋∠β .
图13.4-6图13.4-7解：作法：(1)分别以点E，P为圆心、以适当长为半径
画弧，交∠α的两边于点F，G，交∠β的两边于
点M，N；
(2)作射线OA，以点O为圆心，以EF长为半径画
弧l，交射线OA于点C；
(3)以点C为圆心，以GF的长为半径画弧，交弧l
于点H；以点H为圆心、以MN长为半径画弧，在
OA的同侧与弧l交于点Q；
(4)过点Q作射线OB，则∠AOB就是所求作的角，
如图13.4-7所示．总 结叙述作法时，要注意对方向的描述，以本题为例，
(3)应说明所画的弧与弧l的交点在OA的同侧还是异侧．1 任意画出两个角∠1和∠2,其中∠1 >∠2,再作一个角，使它等于∠1 -∠2.(中考·宁德)如图，用尺规作图：“过点C作CN∥
OA”，其作图依据是( )
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角相等，两直线平行
D．同旁内角互补，两直线平行
3知识点作已知角的平分线如图13.4.4，已知∠AOB ，为已知角，试按下列
步骤用直尺和圆规准确地作出∠AOB的平分线. （此讲解来源于教材）试一试想想看，如 何将∠AOB四等分？第一步：在射线OA、AB上，分别截取OD 、
OE.使 OD = OE；
第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长（大
于 线段DE长的一半）为半径作圆弧，在∠AOB内，
两弧交于点C;
第三步：作射线OC.
射线OC就是所要求作的∠AOB的平分线.我们可以证明这样作出来的射线是
符合要求的，即 ∠AOC＝∠BOC.
如图13.4.5,连结 EC、DC .
∵OD = OE，DC = EC，OC = OC，
∴△OCD≌△OCE(S.S.S.),
∴∠AOC＝∠BOC (全等三角
形的对应角相等）.
为简化推理格 式，今后只注明主 要依据，省略“已 知”、“等量代换” 等依据.1. 理论根据：作角平分线的理论根据是三角形全
等的判定方法：“S.S.S.”．
拓展：根据角平分线的作法还可以作已知角的四
等分线．
2. 易错警示：作角平分线的最后一步“过两点作
射线”时，不能简单地叙述为“连结两点”，连结两
点是线段，角平分线是射线而不是线段．
?图13.4-8图13.4-9例4?点 拨??A?4知识点经过一已知点作已知直线的垂线1.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线：
如图13.4-10所示，已知直线AB和AB上一点C，
作AB的垂线，使它经过点C.
?
图13.4-10 作法：如图13.4-11所示．
第一步：作平角ACB的平分线CF；
第二步：反向延长射线CF. 直线CF就是所要求
作的垂线． 图13.4-11?2．经过已知直线外一点作这条直线的垂线：
如图13.4-12所示，已知直线AB和AB外一点C，作AB的垂
线，使它经过点C.
?
?
作法：如图13.4-13所示．
第一步：以点C为圆心，作能与AB相交于D、E两点的弧；
第二步：作∠ DCE的平分线CF；
第三步：反向延长射线CF，则直线CF 就是所要 求 作 的
垂线．图13.4-12 图13.4-13 例5 利用直尺和圆规作一个等于45°的角.
作法：1. 作直线AB；
2. 过点A作直线AB的垂线AC ;
3. 作∠CAB 的平分线AD.
∠DAB就是要求作的角（如图13.4.8所示） 例6 如图13.4-14，已知点P和直线l，求作点P关于直线l的对称点P′.
?
?
解：如图13.4-15所示．
作法：(1)过点P作直线l的垂线，垂足为点O；
(2)在线段PO的延长线上截取OP′＝OP，则点P′就是
点P关于直线l的对称点． 图13.4-14 图13.4-151 如图，点P在∠O的一边上, 试过点P作角两边的垂线.P●O2 下列尺规作图：①过直线外一点C作直线AB的垂线，只要作∠ACB的平分线即可；②作△ABC的BC边上的高，只要过点A作直线BC的垂线即可；③作△ABC的中线AD，只要作边BC的中垂线即可．其中说法不正确的是( )
A．①
B．②③
C．①③
D．①②③5知识点作已知线段的垂直平分线如图13. 4. 9，已知直线l是线段
的垂直平分线， 则直线l是线段仙的
对称轴，对l上的任意两点C、D，通
过对折可以发现，总有
CA = CB，DA = DB.
由此，你能发现作垂直平分线的方法吗？思考图13. 4. 91.作已知线段的垂直平分线作法：如图13.4-16所
示，已知线段 AB, 求作线段 AB 的垂直平分线．
图13.4-16 图13.4-17
作法：如图13.4-17所示．
第一步：分别以点A和点B为圆心，大于AB 的长
为半径作圆弧，两弧相交于点C和点D；第二步：作直线CD. 直线CD就是要求作的线段
AB的垂直平分线．
2．作已知线段的垂直平分线的理论依据：作已
知线段的垂直平分线的理论依据是三角形全等的判定
方法——“S.S.S.”及等腰三角形的“三线合一”．理由如下：如图13.4-18所示，连结CA，CB，DA，DB.
∵AD＝BD，AC＝BC，CD＝CD，
∴△ACD≌△BCD(S.S.S.)．
∴∠ACD＝∠BCD(全等三角形的对应角相等)．
∴CD垂直平分线段AB(等腰三角形的“三线合一”)．图13.4-18 例7 如图13.4-19，已知钝角三
角形ABC，其中∠A是钝
角，求作AC边上的中线
BD和高BH.
解：如图13.4-20所示．图13.4-20图13.4-191 四等分已知线段AB.BA●●2 (中考·曲靖)如图，分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于B，D两点，连接BD，AB，BC，CD，DA，以下结论：
①BD垂直平分AC；②AC平分∠BAD；③AC＝BD；④四边形ABCD是中心对称图形．
其中正确的有( )
A．①②③
B．①③④
C．①②④
D．②③④1.基本作图的一般步骤：先明确已知、求作，然
后在此基础上进行草图分析，找出作图的步骤，准确
叙述作法，并完成作图．
2．利用尺规作图时，先根据题目要求，判断应该
运用五种基本作图中的哪一种或几种．