14.2 勾股定理的应用 课件（31张PPT）
文档属性
| 名称 | 14.2 勾股定理的应用 课件（31张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-15 15:13:45 | ||
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文档简介
课件31张PPT。第14章 勾股定理勾股定理的应用圆柱体表面上两点间的最短距离
正方体或长方体表面上两点间的最短距离
勾股定理的其他应用 勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因
此在现 实生活和数学中有着广泛的应用.1知识点圆柱体表面上两点间的最短距离(1)在平面上寻找两点之间的最短路线的依据：①两点之间线段
最短；②直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短．
(2)在立体图形中，由于受到物体和空间的阻隔，两点间的最短
路线长不一定是两点间的线段长．
(3)确定立体图形上的最短路线，需要先将立体图形展开成平面
图形，再构造直角三角形进行计算，最后通过比较得出最短
路线． 如图14. 2.1，一圆柱体的底面周长为20 cm, 高AB为4 cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短 路程.（精确到0.01 cm)例1 图14. 2.1蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如
果将这半个侧面展开（如图14. 2. 2)，得到长
方形ABCD， 根据“两点之间，线段最短”，
所求的最短路程就是这一 展开图——长方形
ABCD的对角线AC之长.分析： 图14. 2. 2如图14.2.2,在Rt△ABC中，BC=底面周长 的一
半=10 cm.由勾股定理，可得
AC =
=
= 10.77(cm).
答：爬行的最短路程约为10. 77 cm.解： 如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁爬到蜂蜜处的最短路线长为________cm(杯子厚度忽略不计)．例2 将圆柱侧面适当展开成平面图形，
再结合轴对称的知识求解．导引： 15如图，在圆柱的轴截面ABCD中，AB＝ ，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路程为( )
A．10
B．12
C．20
D．141如图，有一圆柱，其高为8 cm，它的底面周长为16 cm，在圆柱外侧距离下底面1 cm的A处有一蚂蚁，它想得到距上底面1 cm的B处的食物，则蚂蚁经过的最短路程为________．22知识点正方体或长方体表面上两点间的最短距离求长方体(或正方体)表面上两点间的最短路线长的
方法：
先将长方体(或正方体)的表面展开成平面图形，
展开时一般要考虑各种可能的情况．在各种可能的
情况中，分别确定两点的位置并连结成线段，再利
用勾股定理分别求其长度，最后进行比较，长度最
短的路线为最短路线．〈探究题〉如图，长方体的高为3厘米，底面是正方形，其边长为2厘米．现有一只蚂蚁从A处出发，沿长方体表面到达C处，则蚂蚁爬行的最短路线的长为( )
A．4厘米
B．5厘米
C．6厘米
D．7厘米例3 B考虑将长方体表面展开成平面图形的各种
情况，分析后可知，将该长方体的右侧面
翻折至前侧面，如图，连结AC，此时线段
AC的长度即为最短路线的长度．因为AC2
＝(2＋2)2＋32＝25，所以AC＝5(厘米)．导引： 解决有关立体图形中路线最短的问题，其关键是
把立体图形中的路线问题转化为平面上的路线问题．
如圆柱侧面展开图为长方形，圆锥侧面展开图为扇形，
长方体侧面展开图为长方形等．运用平面上两点间线
段最短的道理，利用勾股定理求解．如图，正方体的棱长为1，一只蚂蚁从正方体的一个顶点A爬行到另一个顶点B，则蚂蚁爬行的最短路程的平方是( )
A．2
B．3
C．4
D．51如图(单位：m)，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 m，3 m，2 m，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是________．23知识点勾股定理的其他应用1.在一些求高度、宽度、长度、距离等量的问题中，
首先要结合题意画出符合要求的直角三角形，也就
是把实际问题转化为数学问题，进而把要求的量看
成直角三角形的一条边，然后利用勾股定理进行求
解．
2．在日常生活中，判断一个角是否为直角时，除了
用三角板、量角器等测量角度的工具外，还可以
通过测量长度，结合勾股定理的逆定理来判断．一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽 1. 6米，要开进厂门形状如图14. 2.3所示的某工厂，问这辆 卡车能否通过该工厂的厂门(厂门上方为半圆形拱门)？例4 由于车宽1.6米，所以卡车能否通过，只要
比较距厂门中线0. 8米处的高度与车高即
可.如图 14. 2. 3所示，点D在离厂门中线
0. 8米处，且CD⊥AB， 与地面相交于点H.分析： 在Rt△OCD中，由勾股定理，可得
CD = =0.6，
CH = CD + DH = 0.6 + 2.3 = 2. 9 > 2. 5.
可见高度上有0. 4米的余量，因此卡车能通过厂门.解： 如图14. 2. 4,以Rt△ABC的三边为边分别向外作正方
形.在以BC为边所作的正方形中，点O是正方形 对角线的
交点，过点O作AB的平行线，交正方形于 M、N两点，
过点O作M N的垂线，交正方形于E、F两 点，这样把正
方形划分成四个形状与大小都一样的
四 边形.试将图中5个着色的图形拼入
到上方空白的大正方形中，填满整个
大正方形.如图14. 2.5,在3 ×3的方格图中，每个小 方格的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出 图形：
(1)画出所有从点A出发，另一个端点在格点
（即 小正方形的顶点）上，且长度为
的线段；
(2) 画出所有以题（1)中所
画线段为腰的等腰三 角形.例5 只需利用勾股定理看哪一条以格点为端点 的
线段满足要求.
(1)图14.2.6中，AB、AC、AE、AD的长度
均为
(2)图 14.2.6 中，△ABC、
△ABE 、 △ABD 、
△ACE、 △ACD、
△AED就是所要画的等
腰三角形.分析： 解： 如图 14. 2. 7，已知 CD= 6 m，AD= 8 m， ∠ADC= 90°，BC = 24 m, AB= 26 m.求图中着色部分 的面积.例6 在 Rt △ADC中，
∵AC2 = AD2 + CD2 (勾股定理）
=82 + 62 = 100,
∴AC = 10.
∵ AC2 + BC2 = 102 + 242 = 676 = 262 = AB2,
∴ △ACB为直角三角形（勾股定理的逆定理），
∴ S阴影部分= S△ACB － S △ACD
= ×10 ×24 － ×6 ×8
=96(m2).解： 如图所示，在正方形ABCD中，点E为AD的中点，点F在DC上，且DF＝ DC，连结BE，EF，BF，试判断BE与EF的位置关系，并说明理由．例7 由图可知线段BE与EF都在△BEF中，故可猜
想BE与EF的位置关系是BE⊥EF.于是可以说
明BE2＋EF2＝FB2，从而判定△BEF为直角三
角形，进而得到BE⊥EF.导引： BE与EF的位置关系是BE⊥EF，理由如下：
设正方形的边长为4k(k＞0)，则AE＝ED＝2k，DF＝k，
CF＝3k.
在Rt△ABE中，BE2＝AB2＋AE2＝(4k)2＋(2k)2＝20k2.
在Rt△DEF中，EF2＝ED2＋DF2＝(2k)2＋k2＝5k2.
在Rt△CFB中，FB2＝CF2＋CB2＝(3k)2＋(4k)2＝25k2.
在△BEF中，BE2＋EF2＝20k2＋5k2＝25k2，
所以BE2＋EF2＝FB2，
所以△BEF为直角三角形，且∠BEF是直角，即
BE⊥EF.解： 运用勾股定理的逆定理，根据三角形三边的数量
关系，判定两条线段所在的三角形为直角三角形，进
而说明两条线段互相垂直．本题综合运用了参数法和
数形结合思想解题．1(中考?厦门)已知A，B，C三地位置如图所示，∠C＝90°，A，C两地的距离是4 km，B，C两地的距离是3 km，则A，B两地的距离是______
km；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的________方向．2如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，将长方形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在BC边上的点F处，若AE＝5，BF＝3，则CD的长是( )
A．7
B．8
C．9
D．10 应用勾股定理解决实际问题的一般思路：将实际
问题转化为数学模型，然后利用勾股定理列出方程，
再解方程求解．由于勾股定理反映了直角三角形三边
之间的关系，因此往往与方程进行联系．即应用时要
注意两点：(1)在解决实际问题时，注意从“形”到
“数”的转化；(2)在解决实际问题时，注意构造直角
三角形模型，结合方程进行求解．
正方体或长方体表面上两点间的最短距离
勾股定理的其他应用 勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因
此在现 实生活和数学中有着广泛的应用.1知识点圆柱体表面上两点间的最短距离(1)在平面上寻找两点之间的最短路线的依据：①两点之间线段
最短；②直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短．
(2)在立体图形中，由于受到物体和空间的阻隔，两点间的最短
路线长不一定是两点间的线段长．
(3)确定立体图形上的最短路线，需要先将立体图形展开成平面
图形，再构造直角三角形进行计算，最后通过比较得出最短
路线． 如图14. 2.1，一圆柱体的底面周长为20 cm, 高AB为4 cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短 路程.（精确到0.01 cm)例1 图14. 2.1蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如
果将这半个侧面展开（如图14. 2. 2)，得到长
方形ABCD， 根据“两点之间，线段最短”，
所求的最短路程就是这一 展开图——长方形
ABCD的对角线AC之长.分析： 图14. 2. 2如图14.2.2,在Rt△ABC中，BC=底面周长 的一
半=10 cm.由勾股定理，可得
AC =
=
= 10.77(cm).
答：爬行的最短路程约为10. 77 cm.解： 如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁爬到蜂蜜处的最短路线长为________cm(杯子厚度忽略不计)．例2 将圆柱侧面适当展开成平面图形，
再结合轴对称的知识求解．导引： 15如图，在圆柱的轴截面ABCD中，AB＝ ，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路程为( )
A．10
B．12
C．20
D．141如图，有一圆柱，其高为8 cm，它的底面周长为16 cm，在圆柱外侧距离下底面1 cm的A处有一蚂蚁，它想得到距上底面1 cm的B处的食物，则蚂蚁经过的最短路程为________．22知识点正方体或长方体表面上两点间的最短距离求长方体(或正方体)表面上两点间的最短路线长的
方法：
先将长方体(或正方体)的表面展开成平面图形，
展开时一般要考虑各种可能的情况．在各种可能的
情况中，分别确定两点的位置并连结成线段，再利
用勾股定理分别求其长度，最后进行比较，长度最
短的路线为最短路线．〈探究题〉如图，长方体的高为3厘米，底面是正方形，其边长为2厘米．现有一只蚂蚁从A处出发，沿长方体表面到达C处，则蚂蚁爬行的最短路线的长为( )
A．4厘米
B．5厘米
C．6厘米
D．7厘米例3 B考虑将长方体表面展开成平面图形的各种
情况，分析后可知，将该长方体的右侧面
翻折至前侧面，如图，连结AC，此时线段
AC的长度即为最短路线的长度．因为AC2
＝(2＋2)2＋32＝25，所以AC＝5(厘米)．导引： 解决有关立体图形中路线最短的问题，其关键是
把立体图形中的路线问题转化为平面上的路线问题．
如圆柱侧面展开图为长方形，圆锥侧面展开图为扇形，
长方体侧面展开图为长方形等．运用平面上两点间线
段最短的道理，利用勾股定理求解．如图，正方体的棱长为1，一只蚂蚁从正方体的一个顶点A爬行到另一个顶点B，则蚂蚁爬行的最短路程的平方是( )
A．2
B．3
C．4
D．51如图(单位：m)，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 m，3 m，2 m，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是________．23知识点勾股定理的其他应用1.在一些求高度、宽度、长度、距离等量的问题中，
首先要结合题意画出符合要求的直角三角形，也就
是把实际问题转化为数学问题，进而把要求的量看
成直角三角形的一条边，然后利用勾股定理进行求
解．
2．在日常生活中，判断一个角是否为直角时，除了
用三角板、量角器等测量角度的工具外，还可以
通过测量长度，结合勾股定理的逆定理来判断．一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽 1. 6米，要开进厂门形状如图14. 2.3所示的某工厂，问这辆 卡车能否通过该工厂的厂门(厂门上方为半圆形拱门)？例4 由于车宽1.6米，所以卡车能否通过，只要
比较距厂门中线0. 8米处的高度与车高即
可.如图 14. 2. 3所示，点D在离厂门中线
0. 8米处，且CD⊥AB， 与地面相交于点H.分析： 在Rt△OCD中，由勾股定理，可得
CD = =0.6，
CH = CD + DH = 0.6 + 2.3 = 2. 9 > 2. 5.
可见高度上有0. 4米的余量，因此卡车能通过厂门.解： 如图14. 2. 4,以Rt△ABC的三边为边分别向外作正方
形.在以BC为边所作的正方形中，点O是正方形 对角线的
交点，过点O作AB的平行线，交正方形于 M、N两点，
过点O作M N的垂线，交正方形于E、F两 点，这样把正
方形划分成四个形状与大小都一样的
四 边形.试将图中5个着色的图形拼入
到上方空白的大正方形中，填满整个
大正方形.如图14. 2.5,在3 ×3的方格图中，每个小 方格的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出 图形：
(1)画出所有从点A出发，另一个端点在格点
（即 小正方形的顶点）上，且长度为
的线段；
(2) 画出所有以题（1)中所
画线段为腰的等腰三 角形.例5 只需利用勾股定理看哪一条以格点为端点 的
线段满足要求.
(1)图14.2.6中，AB、AC、AE、AD的长度
均为
(2)图 14.2.6 中，△ABC、
△ABE 、 △ABD 、
△ACE、 △ACD、
△AED就是所要画的等
腰三角形.分析： 解： 如图 14. 2. 7，已知 CD= 6 m，AD= 8 m， ∠ADC= 90°，BC = 24 m, AB= 26 m.求图中着色部分 的面积.例6 在 Rt △ADC中，
∵AC2 = AD2 + CD2 (勾股定理）
=82 + 62 = 100,
∴AC = 10.
∵ AC2 + BC2 = 102 + 242 = 676 = 262 = AB2,
∴ △ACB为直角三角形（勾股定理的逆定理），
∴ S阴影部分= S△ACB － S △ACD
= ×10 ×24 － ×6 ×8
=96(m2).解： 如图所示，在正方形ABCD中，点E为AD的中点，点F在DC上，且DF＝ DC，连结BE，EF，BF，试判断BE与EF的位置关系，并说明理由．例7 由图可知线段BE与EF都在△BEF中，故可猜
想BE与EF的位置关系是BE⊥EF.于是可以说
明BE2＋EF2＝FB2，从而判定△BEF为直角三
角形，进而得到BE⊥EF.导引： BE与EF的位置关系是BE⊥EF，理由如下：
设正方形的边长为4k(k＞0)，则AE＝ED＝2k，DF＝k，
CF＝3k.
在Rt△ABE中，BE2＝AB2＋AE2＝(4k)2＋(2k)2＝20k2.
在Rt△DEF中，EF2＝ED2＋DF2＝(2k)2＋k2＝5k2.
在Rt△CFB中，FB2＝CF2＋CB2＝(3k)2＋(4k)2＝25k2.
在△BEF中，BE2＋EF2＝20k2＋5k2＝25k2，
所以BE2＋EF2＝FB2，
所以△BEF为直角三角形，且∠BEF是直角，即
BE⊥EF.解： 运用勾股定理的逆定理，根据三角形三边的数量
关系，判定两条线段所在的三角形为直角三角形，进
而说明两条线段互相垂直．本题综合运用了参数法和
数形结合思想解题．1(中考?厦门)已知A，B，C三地位置如图所示，∠C＝90°，A，C两地的距离是4 km，B，C两地的距离是3 km，则A，B两地的距离是______
km；若A地在C地的正东方向，则B地在C地的________方向．2如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，将长方形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在BC边上的点F处，若AE＝5，BF＝3，则CD的长是( )
A．7
B．8
C．9
D．10 应用勾股定理解决实际问题的一般思路：将实际
问题转化为数学模型，然后利用勾股定理列出方程，
再解方程求解．由于勾股定理反映了直角三角形三边
之间的关系，因此往往与方程进行联系．即应用时要
注意两点：(1)在解决实际问题时，注意从“形”到
“数”的转化；(2)在解决实际问题时，注意构造直角
三角形模型，结合方程进行求解．