课件26张PPT。第14章 勾股定理14.1 勾股定理直角三角形三边的关系
---认识勾股定理勾股定理
勾股定理与面积的关系 你知道2002年在北京召开的国际数学家大会（ICM-
2002)吗?在这次大 会上，到处可以看到一个简洁优美、
远看像旋转的纸风车的图案，它就是大 会的会标.
会标采用了 1700多年前中国古代数学家赵爽用来证
明勾股定理的弦图.1知识点勾股定理 本章导图中的弦图隐含着直角三角形三边之间的 一种奇妙关
系，让我们首先观察下面的正方形瓷砖铺成 的地面.
图14. 1. 1是正方形瓷砖铺成的地 面，观察图中着色的三个正方形,显
然，两个小正方形P、Q的面积之和等于大正方形R的面积.即
AC2 + BC2 = AB2,
这说明，在等腰直角三角形中，两直角边的平
方和 等于斜边的平方.那么在一般的直角三角形中，
两直角边 的平方和是否等于斜边的平方呢？试一试观察图14. 1. 2,如果每一小方格表示1平
方厘米， 那么可以得到：
正方形P的面积= 平方厘米；
正方形Q的面积= 平方厘米；
正方形R的面积= 平方厘米.
我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是
.
由此，我们得出Rt△ABC的三边长度之间存在的关 系
是 .做一做 画出两条直角边分别为5 cm、12 cm的直角三角形，
然后用刻度尺量 出斜边的长，并验证上述关系对这个直角
三角形是否成立.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的
平方；
数学表达式：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，
AC＝b，BC＝a，则a2＋b2＝c2.
要点精析：(1)勾股定理适用于任何一个直角三角形；
(2)勾股定理的内容描述的是直角三角形三边之间的数
量关系，已知其中任意两边可以求出第三边；
(3)勾股定理的变形公式：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2；
(4)运用勾股定理时要分清斜边、直角边． 利用勾股定理求直角三角形边长的方法：一般
都要经过“一分二代三化简”这三步：即一分：分
清哪条边是斜边、哪些是直角边；二代：代入a2＋b2
＝c2及两边之间的关系式；三化简．在Rt△ABC中，已知∠B＝90°, AB=6,BC=8.
求AC.
根据勾股定理，
可得
AB2 + BC2 = AC2.
所以 AC =例1 解： 应用勾股定理，由直角三角形任意两边的长度，可以求出第三边的长度.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.
(1)已知a＝b＝6，求c；
(2)已知c＝3，b＝2，求a；
(3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b.例2 分清斜边和直角边．因为a，b，c分别是
Rt△ABC的三边，所以可以用勾股定理解决
问题．导引： (1)∵∠C＝90°，a＝b＝6，
∴由勾股定理，得c＝
(2)∵∠C＝90°，c＝3，b＝2，
∴由勾股定理，得a＝
(3)∵a∶b＝2∶1，∴a＝2b.
又∵∠C＝90°，c＝5，
∴由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52，解得b＝ 解： 已知直角三角形的两边长分别为3，4，求第三边的长．例3 第三边的长为错解： 由于习惯了“勾三股四弦五”的说法，因此
将题意理解为两直角边长分别为3和4，于是
斜边长为5.但这一理解的前提是3，4为直角
边长，而题中并没有任何说明，因而所求的
第三边长可能为斜边长，也可能为直角边
长．所以需要分情况求解．错解分析： (1)当两直角边长分别为3和4时，第三边的长
为
(2)当斜边长为4，一直角边长为3时，第三边
的长为正确解法： 运用勾股定理求第三边的长时，一般都要经过
“一分二代三化简”这三步；若通过题目中的条件
找不到斜边，则需要运用分类讨论思想求解．1在 Rt△ABC 中，AB= c，BC = a，AC= b, ∠C＝90°.
(1)已知 a = 6, c = 10,求 b;
(2)已知 a = 24, c = 25,求 b.若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是( )
A．b2＝c2－a2
B．a2＝c2－b2
C．b2＝a2－c2
D．c2＝a2＋b223已知一个直角三角形的两条边长分别为3和4，则第三条边长的平方为( )
A．25 B．7
C．7或25 D．不确定2知识点勾股定理与面积的关系基本思想方法：勾股定理把“形”与“数”有机地
结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系
这一“数”结合起来，它是数形结合思想方法的典
范．观察图14.1-5中的图形，回答问题：
(1)如图①，△DEF为直角三角形，正方形P的面积为9，
正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为________；
(2)如图②，分别以直角三角形ABC的三边为直径向三角
形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系
式是 (用图中字母表示)；
(3)如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，
分别以直角三角形的三边为直径作半圆，请你利用(2)
中得出的结论求阴影部分的面积．例4 S1＋S2＝S3(1)根据正方形的面积公式结合勾股定理可得DF2
＝DE2＋EF2，即正方形M的面积＝9＋15＝24；
(2)S1＝π? ，S2＝π? ，S3＝
π? ，另外由勾股定理可知AC2＋BC2
＝AB2，所以S1＋S2＝S3；
(3)阴影部分的面积＝两个小半圆形的面积和＋直
角三角形的面积－大半圆形的面积，由(2)可知
两个小半圆形的面积和＝大半圆形的面积，所
以阴影部分的面积＝直角三角形的面积．导引： 设两个小半圆形的面积分别为S1，S2，
大半圆形的面积为S3，三角形的面积为S△，
由(2)知，S1＋S2＝S3，
则S阴影＝S1＋S2＋S△－S3＝S△＝ ×3×4＝6.解： 与直角三角形三边相关的正方形、半圆形及正
多边形都具有相同的结论：两直角边上图形面积的
和等于斜边上的图形面积．本例考查了勾股定理及
正方形的面积公式，半圆形面积的求法，解答此类
题目的关键是仔细观察所给图形，面积与边长、直
径有平方关系，就很容易联想到勾股定理．如图，字母B所代表的正方形的面积是( )
A．12 B．13
C．144 D．1941如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为( )
A．3 B．4
C．5 D．72如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是( )
A．13 B．26 C．47 D．9431.勾股定理的适用条件：直角三角形；它反映了直角三
角形三边的关系．
2．由勾股定理的基本关系式：a2＋b2＝c2可得到一些
变形关系式：c2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋
2ab；a2＝c2－b2＝(c＋b)(c－b)等．课件29张PPT。第14章 勾股定理14.1 勾股定理第2课时 直角三角形三边的关系---
验证勾股定理勾股定理的验证
勾股定理的应用1知识点勾股定理的验证读一读 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边
称为股，斜边称为弦.“弦图”最早是由三 国时期的数学家赵爽在为
《周髀算经》作注时给出的， 它标志着中国古
代的数学成就.图14. 1. 3是2002年在 北京召开的
国际数学家大会(ICM-2002)的会标，其图 案正
是由“弦图”演变而来.做一做 用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图 14. 1.5
所示的图形.与上面的方法类似，根据这一图 形，也能证
明勾股定理.请你试一试，写出完整的证明过程.图 14. 1.51.命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，
斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.
2.常用证法：通过拼图法利用求面积来证明；这种方法
以数形转换为指导思想、图形拼补为手段，以各部分
面积之间的关系为依据达到目的．3．用拼图法证明命题1的思路：
(1)图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面
积不会改变；
(2)根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；
(3)利用等式性质变换证明结论成立，即拼出图形→写出
图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推出
命题1的结论． 图14.1--1是用硬纸板做成的四个两直角边长分别是a，b，斜边长为c的全等的直角三角形和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明命题1的图形．
(1)画出拼成的这个图形的示意图；
(2)证明命题1.例1 图14.1--1可以以边长为c的正方形为基础，一在形外补
拼(不重叠)成新的正方形；二在形内叠合成新
的正方形．导引： (1)解：如图14.1--2.
(2)证明：因为大正方形的
面积可表示为(a＋b)2，
也可表示为c2＋4× ab，
所以(a＋b)2＝c2＋4× ab，即a2＋b2＋
2ab＝c2＋2ab，
所以a2＋b2＝c2，即命题1成立．方法一(补拼法)：图14.1--2(1)解：如图14.1--3.
(2)证明：因为大正方形的
面积可以表示为c2，也可以表示为 ab×4
＋(b－a)2，所以c2＝ ab×4＋(b－a)2，即
c2＝2ab＋b2－2ab＋a2，所以a2＋b2＝c2，
即命题1成立．方法二(叠合法)：图14.1--3 命题1的证明主要是通过拼图法利用面积的关
系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式进
行；补拼时要无重叠，叠合时要无空隙；用面积法
验证命题1的关键是要找到一些特殊图形(如直角三
角形、正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面
积，从而达到证明的目的．用四个边长均为a、b、c的直角三角板，拼成如图所示的图形，则下列结论中正确的是( )
A．c2＝a2＋b2
B．c2＝a2＋2ab＋b2
C．c2＝a2－2ab＋b2
D．c2＝4(a＋b)212历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形，其中两个全等直角三角形的两边AE，EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是( )
A．S△EDA＝S△CEB
B．S△EDA＋S△CEB＝S△CDE
C．S四边形CDAE＝S四边形CDEB
D．S△EDA＋S△CDE＋S△CEB＝S四边形ABCD勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图②是由图①放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为( )
A．90 B．100 C．110 D．12132知识点勾股定理的应用勾股定理是一个重要的数学定理，它将图形(直角
三角形)与数量关系(三边关系)有机地结合起来．在
几何及日常生活中都有着广泛的应用．勾股定理应
用的前提条件是直角三角形，在应用时，对于非直
角三角形的几何问题及实际生活问题都要将它们转
化成直角三角形问题；常见应用主要有如下类型：
(1)已知直角三角形的两边求第三边；(2)已知直角三角形的一边确定另两边的关系；
(3)证明含有平方关系的几何问题；
(4)作长为n(n≥1，且n为整数)的线段；
(5)一些非直角三角形的几何问题、日常生活中的
应用问题，对于这些问题，首先要将它们转化，
建立直角三角形模型，然后利用勾股定理构建方
程或方程组解决．如图，Rt △ABC的斜边AC比直角边 AB长2cm，另一直角边BC长为6 cm.求AC的长.例2 由已知AB=AC － 2, BC =6cm，
根据勾股定理，可得
AB2 + BC2 = (AC － 2)2 +62 = AC2,
解得AC= 10(cm).解： 如图14. 1.7,为了求出位于湖两岸的点A 、B之间的距离，一名观测者在点C设桩，使△ABC恰好为 直角三角形.通过测量，得到AC的长为160米，BC的长为128米.问从点A穿过湖到点B有多远？例3 如图14. 1.7,在Rt△ABC中， AC=160 米，BC =
128 米， 根据勾股定理，可得
AB =
=
=96(米).
答：从点A穿过湖到点有96米.解： 如图所示，一根旗杆在离地面5米处断裂，旗杆顶部落在离底部12米远处，则旗杆断裂前有多高？例4 因为旗杆与地面是垂直的，所以∠ACB＝90°，
即△ABC是直角三角形．根据勾股定理可得
AB＝ ，从而求出AB的长，再计
算BC＋BA即为旗杆断裂前的高度．导引： 在△ABC中，∠ACB＝90°.∵BC＝5米，AC
＝12米，∴根据勾股定理可得：AB＝
＝13(米)，∴BC＋BA
＝5＋13＝18(米)，即旗杆断裂前的高度为18
米．解： 本题运用建模思想解题，根据实际问题画出直
角三角形，再运用勾股定理解答．当图形不是直角
三角形时，常常通过作垂线构造直角三角形．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将直角边AC沿AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，试求CD的长．例5 利用折叠前后重合的线段相等、重合的角相等，
通过勾股定理列方程，在Rt△BDE中求出线段
DE的长，从而得到CD的长．导引： 在Rt△ABC中，∵AC＝6 cm，BC＝8 cm，
∴AB2＝AC2＋BC2＝62＋82＝100，∴AB＝10(cm)．
由折叠的性质，可知∠C＝∠DEA＝90°，AC＝AE
＝6 cm，
故BE＝10－6＝4(cm)．
设CD＝x cm，则DE＝x cm，BD＝(8－x) cm.
在Rt△BDE中，由勾股定理，得x2＋42＝(8－x)2，
解得x＝3.∴CD的长为3 cm.解： 关于折叠问题，要紧扣折叠前后的对应边相
等、对应角相等；其解题步骤为：①利用重合的图
形传递数据(一般不用重合的图形进行计算)；②选
择直角三角形，这个直角三角形一般已知一边，另
两边可通过重合图形找到数量关系，利用勾股定理
列方程求解．如图，一个长为2.5 m的梯子，一端放在离墙脚
1.5 m处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙脚( )
A．0.2 m B．0.4 m C．2 m D．4 m1将一根长为24 cm的筷子置于底面直径为15 cm，高为8 cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外的长度为h cm，则h的取值范围是( )
A．h≤17
B．h≥8
C．15≤h≤16
D．7≤h≤162如图所示，已知Rt△ABC中，AB＝4，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1＋S2的值等于( )
A．2π B．4π C．8π D．16π3 用拼图验证勾股定理的方法：首先通过拼图找出
面积的相等关系，再由面积之间的相等关系结合图形
进行代数变形即可推导出勾股定理．
它一般都经过以下几个步骤：拼出图形→写出图
形面积的表达式→找出相等关系→恒等变形→导出勾
股定理．
