14.1.2 直角三角形的判定 课件（38张PPT）
文档属性
| 名称 | 14.1.2 直角三角形的判定 课件（38张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 993.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-15 15:13:45 | ||
图片预览
文档简介
课件38张PPT。14.1 勾股定理直角三角形的判定勾股定理的逆定理
勾股数 古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打
上等距离的13个结，然后如图14. 1. 8那样用桩钉钉成 一
个三角形，他们认为其中一个角便是直角.
你知道这是什么道理吗？1知识点勾股定理的逆定理试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它 们是
一些什么样的三角形：
(1) a=3, b =4,c=5；
(2) a = 4, b = 6, c = 8；
(3) a = 6, b = 8,c = 10试一试勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系
a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对
的角为直角．
要点精析：(1)勾股定理的逆定理是判定直角三角形的方
法，在没有确定直角三角形时，只能说三角形的边，不
能说斜边或直角边；
(2)如果三角形的三边长a、b、c满足a2－b2＝c2，那么这
个三角形同样是直角三角形，只是这时a为斜边长．已知:如图 14. 1.9(1)，在△ABC 中，AB= c, BC = a, AC = b, a2 + b2 = c2.
求证：∠C＝90°.例1 如图 14.1.9(2),作△ A'B'C '， ∠C' ＝90°,
A'C ' = b, B'C ' = a,则 A'B' 2 = a2 +b2 = c2,即
A'B' = c.
在△ABC和△ A'B'C '中，
∵ BC = a = B'C '，
AC = b = A'C' ，
AB = c =A'B '，
∴ △ABC ≌ △ A'B'C '.
∴ ∠C'= ∠C' =90°.证明：判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形：
(1)在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝65°；
(2)在△ABC中，AC＝12，AB＝20，BC＝16；
(3)一个三角形的三边长a、b、c满足b2－a2＝c2.例2 判断一个三角形是否是直角三角形，如果条件与
角相关，则考虑用定义判断；如果条件与边相关，
则考虑用勾股定理的逆定理判断．第(1)题可以直
接根据直角三角形的定义判断；第(2)(3)题可以依
据勾股定理的逆定理来判断．导引： (1)在△ABC中，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠B＝180°－25°－65°＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
(2)在△ABC中，∵AC2＋BC2＝122＋162＝202
＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C为直角．
(3)∵三角形的三边长满足b2－a2＝c2，
即b2＝a2＋c2，
∴此三角形是直角三角形，且b是斜边长．解：警示：判断一个三角形的形状时，除考虑是直角三
角形外，还要考虑是否为等腰三角形．
拓展：若最长边的平方比较短两边的平方和大，则
三角形为钝角三角形；若最长边的平方比较短两边
的平方和小，则三角形为锐角三角形．判断一个三角形是不是直角三角形有两种方法：
(1)利用定义，即如果已知条件与角度有关，可借助
三角形的内角和定理判断；(2)利用勾股定理的逆定
理，即若已知条件与边有关，一般通过计算得出三
边的数量关系来判断，看是否符合较短两边的平方
和等于最长边的平方．下面给出几组数：①7，8，9；②12，9，15；③m2＋n2，m2－n2，2mn(m，n均为正整数，m>n)；④a2，a2＋1，a2＋2(a＞1)．以它们为边长的三角形一定是直角三角形的是( )
A．①② B．②③
C．①③ D．③④例3 B看最长线段的平方是否等于其他两条线段的
平方和．
①显然72＋82≠92，②中92＋122＝152，③中
(m2＋n2)2＝(m2－n2)2＋(2mn)2，④当a2＝3时，
三数为3，4，5，满足(a2)2＋(a2＋1)2＝(a2＋
2)2，但取其他值时不能满足，所以选B.导引： 判断三条线段能否组成直角三角形的方法：解
此类题时，先确定每组中最大的数，再看最大数的
平方是否等于较小的两个数的平方和；若相等，则
以这三个数为边长的三角形是直角三角形；否则，
不是直角三角形．〈易错题〉已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．例4 先将等式两边同时分解因式，然后通过对分
解后的式子的讨论，得出△ABC的形状．导引： ∵a2c2－b2c2＝a4－b4，
∴c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)．
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0.
(1)当a2－b2≠0时，则有c2＝a2＋b2.
∴△ABC是直角三角形．
(2)当a2－b2＝0，即a＝b时，
若a2＋b2－c2≠0，则△ABC是等腰三角形．
若a2＋b2－c2＝0，则△ABC是等腰直角三角形．
综上所述，△ABC是直角三角形或等腰三角形或
等腰直角三角形．解： 两个因式的积为0，有只有一个因式为0和两个
因式都为0两种情况；判断三角形形状时，不仅要考
虑直角三角形，还要考虑等腰三角形．本题易丢掉
情况(2)，在化简过程中没有考虑到a2－b2＝0的情况
就直接在等式两边除以一个可能为0的式子，从而导
致了错误．如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB＝4，CE＝ BC，F为CD的中点，连结AF，AE，EF，问：△AEF是什么三角形？请说明理由．例5 直接判断EF2＋AF2与AE2的关系不太容易，
但由于“AB＝4，CE＝ BC，F为CD的中
点”，因此可以很容易求出AF，EF，AE的
长，然后判断EF2＋AF2与AE2的关系，从而
得到三角形的形状．导引： ∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AB＝BC＝4，∠B＝∠D＝∠C＝90°.
∵CE＝ BC，F为CD的中点，
∴CE＝1，CF＝DF＝2，∴BE＝BC－CE＝3，
EF＝
AF＝
∴AE＝ ＝5.
又∵( )2＋( )2＝52，∴EF2＋AF2＝AE2，
∴△AEF是直角三角形．解： 当要判断的三角形三边都未知时，首先要借助
题目中给出的一些数量关系分别求出三角形三边的
长，然后利用勾股定理的逆定理来判断．利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤：
(1)比较三边a、b、c的大小，找出最长边；
(2)计算两短边的平方和，看它是否与最长边的平方
相等；若相等，则是直角三角形，且最长边所对
的角是直角；若不相等，则此三角形不是直角三
角形．1已知△ABC的三边长分别为5，12，13，则△ABC的面积为( )
A．30 B．60 C．78 D．无法确定2在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)(a－b)＝c2，则( )
A．∠A为直角
B．∠B为直角
C．∠C为直角
D．△ABC不是直角三角形如图，每个小正方形的边长均为1，则△ABC是( )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形32知识点勾股数勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整
数．常见的勾股数有：3，4，5；5，12，13；8，
15，17；7，24，25；9，40，41；….
要点精析：(1)勾股数有无数组；
(2)一组勾股数中各数的相同正整数倍数得到一组新
的勾股数．如3，4，5是勾股数，则6，8，10和
9，12，15也是勾股数；即如果a，b，c是一组勾股
数，那么na，nb，nc(n为正整数)也是一组勾股数．判断勾股数的方法：
(1)确定是否是三个正整数；
(2)确定最大数；
(3)计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的平方．已知 △ABC，AB= n2 - 1，BC= 2n，AC = n2+
1 (n为大于1的正整数).试问△ ABC是直角三角 形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由. 例6∵AB2 + BC2 = (n2 －1)2 + (2n)2
=n4 － 2n2 + 1 + 4n2
=n4 + 2n2 + 1
=(n2 + 1) 2
=AC 2
∴△ABC是直角三角形，边AC所对的角是直角.解： 想一想，为什么选择AB2 + BC2 ？AB、BC、CA的
大小关系是怎样的？观察下面的表格所给出的三个数a，b，c，其中a＜b＜c.例7 (1)试找出它们的共同点，并说明你的结论；
(2)当a＝21时，求b，c的值．只要能够发现每组三个数之间的规律即可，
这就需从不同的角度去观察、分析，运用从
特殊到一般的思想来解答．导引： (1)各组数的共同点是：
①各组数均满足a2＋b2＝c2；
②最小数a是奇数，其余的两个数b，c是连续
的正整数；
③最小数的平方等于另外两个连续正整数的
和．解： 由以上特点可猜想并说明这样一个结论：设x为大于
1的奇数，将x2拆分为两个连续正整数之和，即x2＝y
＋(y＋1)，则x，y，y＋1就能构成一组勾股数．
证明：∵x2＝y＋(y＋1)(x为大于1的奇数)，
∴x2＋y2＝y＋(y＋1)＋y2＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2.
∴x，y，y＋1是一组勾股数．
运用以上结论，当a＝21时，
212＝441＝220＋221.
∴b＝220，c＝221.(2) 寻找与大于或等于3的奇数组成勾股数的一种方
法：先选一个大于1的奇数，然后把这个数的平方写
成两个连续正整数的和，则这个奇数和分成的两个
连续正整数就构成了一组勾股数，如452＝2 025＝
1 012＋1 013，则45，1 012，1 013就是一组勾股
数，运用此法可以得到无数组勾股数．下面四组数中是勾股数的一组是( )
A．6，7，8 B．5，8，13
C．1.5，2，2.5 D．21，28，35例8 根据勾股数的定义：满足a2＋b2＝c2的三个正
整数a，b，c称为勾股数．A.62＋72≠82，不能
构成勾股数，故错误；B.52＋82≠132，不能构
成勾股数，故错误；C.1.5和2.5不是整数，所
以不能构成勾股数，故错误；D.212＋282＝352，
能构成勾股数，故正确．故选D.导引： D 确定勾股数的方法：首先看这三个数是否是正
整数；然后看较小两个数的平方和是否等于最大数
的平方．记住常见的勾股数(3，4，5；5，12，13；
8，15，17；7，24，25；…)可以提高解题速度．下列各组数中，不是勾股数的是( )
A．5，12，13
B．7，24，25
C．8，12，15
D．3k，4k，5k(k为正整数)1下面几组数中，为勾股数的一组是( )
A．4，5，6
B．12，16，20
C．－10，24，26
D．2.4，4.5，5.12给出下列命题：
①如果a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是一组勾
股数；
②如果直角三角形的两边长分别是3和4，那么另一边长的
平方必为25；
③如果一个三角形的三边长分别是12，25，21，那么此三
角形必是直角三角形；
④一个等腰直角三角形的三边长分别是a，b，c，其中a是
斜边长，那么a2∶b2∶c2＝2∶1∶1.其中正确的是( )
A．①② B．①③ C．①④ D．②④3勾股定理及其逆定理的综合应用：
单一应用：先由勾股定理的逆定理得出直角三角形，再
求这个直角三角形的角和面积；
综合应用：先由勾股定理求出三角形的边长，再由勾股
定理的逆定理确定三角形的形状，进而解决其他问题；
逆向应用：如果一个三角形两条较小边长的平方和不等
于最大边长的平方，那么这个三角形不是直角三角形．
勾股数 古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打
上等距离的13个结，然后如图14. 1. 8那样用桩钉钉成 一
个三角形，他们认为其中一个角便是直角.
你知道这是什么道理吗？1知识点勾股定理的逆定理试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它 们是
一些什么样的三角形：
(1) a=3, b =4,c=5；
(2) a = 4, b = 6, c = 8；
(3) a = 6, b = 8,c = 10试一试勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系
a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对
的角为直角．
要点精析：(1)勾股定理的逆定理是判定直角三角形的方
法，在没有确定直角三角形时，只能说三角形的边，不
能说斜边或直角边；
(2)如果三角形的三边长a、b、c满足a2－b2＝c2，那么这
个三角形同样是直角三角形，只是这时a为斜边长．已知:如图 14. 1.9(1)，在△ABC 中，AB= c, BC = a, AC = b, a2 + b2 = c2.
求证：∠C＝90°.例1 如图 14.1.9(2),作△ A'B'C '， ∠C' ＝90°,
A'C ' = b, B'C ' = a,则 A'B' 2 = a2 +b2 = c2,即
A'B' = c.
在△ABC和△ A'B'C '中，
∵ BC = a = B'C '，
AC = b = A'C' ，
AB = c =A'B '，
∴ △ABC ≌ △ A'B'C '.
∴ ∠C'= ∠C' =90°.证明：判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形：
(1)在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝65°；
(2)在△ABC中，AC＝12，AB＝20，BC＝16；
(3)一个三角形的三边长a、b、c满足b2－a2＝c2.例2 判断一个三角形是否是直角三角形，如果条件与
角相关，则考虑用定义判断；如果条件与边相关，
则考虑用勾股定理的逆定理判断．第(1)题可以直
接根据直角三角形的定义判断；第(2)(3)题可以依
据勾股定理的逆定理来判断．导引： (1)在△ABC中，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠B＝180°－25°－65°＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
(2)在△ABC中，∵AC2＋BC2＝122＋162＝202
＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C为直角．
(3)∵三角形的三边长满足b2－a2＝c2，
即b2＝a2＋c2，
∴此三角形是直角三角形，且b是斜边长．解：警示：判断一个三角形的形状时，除考虑是直角三
角形外，还要考虑是否为等腰三角形．
拓展：若最长边的平方比较短两边的平方和大，则
三角形为钝角三角形；若最长边的平方比较短两边
的平方和小，则三角形为锐角三角形．判断一个三角形是不是直角三角形有两种方法：
(1)利用定义，即如果已知条件与角度有关，可借助
三角形的内角和定理判断；(2)利用勾股定理的逆定
理，即若已知条件与边有关，一般通过计算得出三
边的数量关系来判断，看是否符合较短两边的平方
和等于最长边的平方．下面给出几组数：①7，8，9；②12，9，15；③m2＋n2，m2－n2，2mn(m，n均为正整数，m>n)；④a2，a2＋1，a2＋2(a＞1)．以它们为边长的三角形一定是直角三角形的是( )
A．①② B．②③
C．①③ D．③④例3 B看最长线段的平方是否等于其他两条线段的
平方和．
①显然72＋82≠92，②中92＋122＝152，③中
(m2＋n2)2＝(m2－n2)2＋(2mn)2，④当a2＝3时，
三数为3，4，5，满足(a2)2＋(a2＋1)2＝(a2＋
2)2，但取其他值时不能满足，所以选B.导引： 判断三条线段能否组成直角三角形的方法：解
此类题时，先确定每组中最大的数，再看最大数的
平方是否等于较小的两个数的平方和；若相等，则
以这三个数为边长的三角形是直角三角形；否则，
不是直角三角形．〈易错题〉已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．例4 先将等式两边同时分解因式，然后通过对分
解后的式子的讨论，得出△ABC的形状．导引： ∵a2c2－b2c2＝a4－b4，
∴c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)．
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0.
(1)当a2－b2≠0时，则有c2＝a2＋b2.
∴△ABC是直角三角形．
(2)当a2－b2＝0，即a＝b时，
若a2＋b2－c2≠0，则△ABC是等腰三角形．
若a2＋b2－c2＝0，则△ABC是等腰直角三角形．
综上所述，△ABC是直角三角形或等腰三角形或
等腰直角三角形．解： 两个因式的积为0，有只有一个因式为0和两个
因式都为0两种情况；判断三角形形状时，不仅要考
虑直角三角形，还要考虑等腰三角形．本题易丢掉
情况(2)，在化简过程中没有考虑到a2－b2＝0的情况
就直接在等式两边除以一个可能为0的式子，从而导
致了错误．如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB＝4，CE＝ BC，F为CD的中点，连结AF，AE，EF，问：△AEF是什么三角形？请说明理由．例5 直接判断EF2＋AF2与AE2的关系不太容易，
但由于“AB＝4，CE＝ BC，F为CD的中
点”，因此可以很容易求出AF，EF，AE的
长，然后判断EF2＋AF2与AE2的关系，从而
得到三角形的形状．导引： ∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AB＝BC＝4，∠B＝∠D＝∠C＝90°.
∵CE＝ BC，F为CD的中点，
∴CE＝1，CF＝DF＝2，∴BE＝BC－CE＝3，
EF＝
AF＝
∴AE＝ ＝5.
又∵( )2＋( )2＝52，∴EF2＋AF2＝AE2，
∴△AEF是直角三角形．解： 当要判断的三角形三边都未知时，首先要借助
题目中给出的一些数量关系分别求出三角形三边的
长，然后利用勾股定理的逆定理来判断．利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤：
(1)比较三边a、b、c的大小，找出最长边；
(2)计算两短边的平方和，看它是否与最长边的平方
相等；若相等，则是直角三角形，且最长边所对
的角是直角；若不相等，则此三角形不是直角三
角形．1已知△ABC的三边长分别为5，12，13，则△ABC的面积为( )
A．30 B．60 C．78 D．无法确定2在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)(a－b)＝c2，则( )
A．∠A为直角
B．∠B为直角
C．∠C为直角
D．△ABC不是直角三角形如图，每个小正方形的边长均为1，则△ABC是( )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形32知识点勾股数勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整
数．常见的勾股数有：3，4，5；5，12，13；8，
15，17；7，24，25；9，40，41；….
要点精析：(1)勾股数有无数组；
(2)一组勾股数中各数的相同正整数倍数得到一组新
的勾股数．如3，4，5是勾股数，则6，8，10和
9，12，15也是勾股数；即如果a，b，c是一组勾股
数，那么na，nb，nc(n为正整数)也是一组勾股数．判断勾股数的方法：
(1)确定是否是三个正整数；
(2)确定最大数；
(3)计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的平方．已知 △ABC，AB= n2 - 1，BC= 2n，AC = n2+
1 (n为大于1的正整数).试问△ ABC是直角三角 形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由. 例6∵AB2 + BC2 = (n2 －1)2 + (2n)2
=n4 － 2n2 + 1 + 4n2
=n4 + 2n2 + 1
=(n2 + 1) 2
=AC 2
∴△ABC是直角三角形，边AC所对的角是直角.解： 想一想，为什么选择AB2 + BC2 ？AB、BC、CA的
大小关系是怎样的？观察下面的表格所给出的三个数a，b，c，其中a＜b＜c.例7 (1)试找出它们的共同点，并说明你的结论；
(2)当a＝21时，求b，c的值．只要能够发现每组三个数之间的规律即可，
这就需从不同的角度去观察、分析，运用从
特殊到一般的思想来解答．导引： (1)各组数的共同点是：
①各组数均满足a2＋b2＝c2；
②最小数a是奇数，其余的两个数b，c是连续
的正整数；
③最小数的平方等于另外两个连续正整数的
和．解： 由以上特点可猜想并说明这样一个结论：设x为大于
1的奇数，将x2拆分为两个连续正整数之和，即x2＝y
＋(y＋1)，则x，y，y＋1就能构成一组勾股数．
证明：∵x2＝y＋(y＋1)(x为大于1的奇数)，
∴x2＋y2＝y＋(y＋1)＋y2＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2.
∴x，y，y＋1是一组勾股数．
运用以上结论，当a＝21时，
212＝441＝220＋221.
∴b＝220，c＝221.(2) 寻找与大于或等于3的奇数组成勾股数的一种方
法：先选一个大于1的奇数，然后把这个数的平方写
成两个连续正整数的和，则这个奇数和分成的两个
连续正整数就构成了一组勾股数，如452＝2 025＝
1 012＋1 013，则45，1 012，1 013就是一组勾股
数，运用此法可以得到无数组勾股数．下面四组数中是勾股数的一组是( )
A．6，7，8 B．5，8，13
C．1.5，2，2.5 D．21，28，35例8 根据勾股数的定义：满足a2＋b2＝c2的三个正
整数a，b，c称为勾股数．A.62＋72≠82，不能
构成勾股数，故错误；B.52＋82≠132，不能构
成勾股数，故错误；C.1.5和2.5不是整数，所
以不能构成勾股数，故错误；D.212＋282＝352，
能构成勾股数，故正确．故选D.导引： D 确定勾股数的方法：首先看这三个数是否是正
整数；然后看较小两个数的平方和是否等于最大数
的平方．记住常见的勾股数(3，4，5；5，12，13；
8，15，17；7，24，25；…)可以提高解题速度．下列各组数中，不是勾股数的是( )
A．5，12，13
B．7，24，25
C．8，12，15
D．3k，4k，5k(k为正整数)1下面几组数中，为勾股数的一组是( )
A．4，5，6
B．12，16，20
C．－10，24，26
D．2.4，4.5，5.12给出下列命题：
①如果a，b，c为一组勾股数，那么4a，4b，4c仍是一组勾
股数；
②如果直角三角形的两边长分别是3和4，那么另一边长的
平方必为25；
③如果一个三角形的三边长分别是12，25，21，那么此三
角形必是直角三角形；
④一个等腰直角三角形的三边长分别是a，b，c，其中a是
斜边长，那么a2∶b2∶c2＝2∶1∶1.其中正确的是( )
A．①② B．①③ C．①④ D．②④3勾股定理及其逆定理的综合应用：
单一应用：先由勾股定理的逆定理得出直角三角形，再
求这个直角三角形的角和面积；
综合应用：先由勾股定理求出三角形的边长，再由勾股
定理的逆定理确定三角形的形状，进而解决其他问题；
逆向应用：如果一个三角形两条较小边长的平方和不等
于最大边长的平方，那么这个三角形不是直角三角形．