14.1.3 反证法 课件（25张PPT）
文档属性
| 名称 | 14.1.3 反证法 课件（25张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-07-15 15:13:45 | ||
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文档简介
课件25张PPT。14.1 勾股定理反证法反证法
反证法的假设 我们已经知道，当一个三角形的三边长a、b、c (a
≤ b ≤ c)有关系a2 + b 2 = c 2时，这个三角形一定是直 角三
角形.那么，如果此时a2 + b 2 ≠ c 2,这个三角形是否 一定
不是直角三角形呢？1知识点反证法做一做 画出以如下各组数为边长的三角形，算算较短的两
边长的平方和是 否等于最长边的平方，再观察它们的图
形，你发现了什么？
(1)a = 1.0, b =2. 4,c =2.6；
(2)a=2, b =3,c=4；
(3) a = 2, b =2. 5,c =3. 反证法的定义：反证法是一种论证方式，首先假设
命题的结论不成立，然后推理出明显矛盾的结果，从而
下结论说原假设不成立，原命题得证．反证法证明命题的一般步骤：反设——归谬——结论，
即：
(1)假设命题的结论不成立；
(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出与公理、定
理、定义或已知条件相矛盾；
(3)由矛盾断定所作假设不正确，从而得出原命题成立． 反证法是数学证明的一种重要方法，历史上许多著
名的命题都是用反证法证明的.一个命题，当正面证明有
困难或者不可能 时，就可以尝试运用反证法，有时该问
题竟能轻易地被解决，此即所谓“正难则反”.因此，牛
顿就说过：“反证法是数学家最精良的 武器之一.”用反
证法不是直接证明结论，而是间接地去否定与结论相反
的一面，从而得出事物真实的一面.反证法是一种间接的
证明方法.读一读 现在再回到勾股定理:直角三角形两直角边的平方
和等于斜边的平方.即“在△ABC中，如果AB=c,BC=
a, CA=b,且∠C = 90°，那么a2 +b2=c2”是一个真命题. 对
于一般的非直角三角形，情况又会如何呢？ 即“在
△ABC中，如果AB=c,BC=a, CA=b,且∠C ≠ 90° ， 那么
a2 +b2 ≠ c2”是真命题吗？
我们同样可以用反证法证明它是一个真命题.思考：求证:两条直线相交只有一个交点.
已知:两条相交直线l1与l2.
求证: l1与l2只有一个交点.
想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出 发，经过
推理，得出结论“ l1与l2只有一个交点”是很困
难的，因此可以考虑用反证法.例1 分析： 证明： 假设两条相交直线 l1与l2不止一个交点， 不妨假
设 l1与l2有两个交点A和B.
这样过点A和点B就有两条直线l1和l2.这与两点 确
定一条直线，即经过点A和点B的直线只有一条
的基 本事实矛盾.
所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交
点.证明： 求证:在一个三角形中，至少有一个内角小 于或等于60°.
已知：△ABC.
求证： △ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
假设△ABC中没有一个内角小于或等于 60°，即∠A> 60°，
∠B > 60°， ∠C> 60°.
于是
∠A + ∠B + ∠C > 60° + 60° + 60° = 180°,
这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾.
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．
正确写出与原命题结论相反的结论是用反证法进行证明的关
键．
已知：∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角．
求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角．
证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角．
不妨设∠B＝∠C＝90°.
∴∠A＋∠B＋∠C＝∠A＋90°＋90°＝∠A＋180°＞180°.
这与“三角形的内角和是180°”相矛盾．
∴假设不成立，即一个三角形中不能有两个角是直角．例3 导引： 解： 当一个命题出现下列几种情况：①结论以否定
形式出现的命题；②唯一性命题；③存在性命题；
④命题的结论以“至多”、“至少”等形式叙述的
命题都适用反证法进行证明．已知m为正整数，m2为偶数，用反证法证明m为偶数．
先假设m为奇数，然后进行推理论证，推出与已知条件
“m2为偶数”相矛盾的结论，从而说明原结论成立．
假设m为奇数，不妨设m＝2n＋1(n为自然数)，
则m2＝(2n＋1)2＝4n2＋4n＋1.
∵4n2，4n均为偶数，∴4n2＋4n为偶数．
而1为奇数，∴4n2＋4n＋1为奇数，那么m2为奇数．
这与已知条件“m2为偶数”相矛盾，
∴假设不成立，∴m为偶数．例4 导引： 证明： 当结论的反面只有一种情况时，我们运用反证
法，只要将这种情况推翻就可以达到证明的目的；
但当结论的反面不止一种情况时，要一一驳倒，最
后才能肯定原结论正确．求证:在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等.1假设命题结论的 成立，经过正确的________，引出________，因此说明假设不成立，从而证明 成立，这样的证明方法叫________；其思维方法是________．23反证法的一般步骤：
(1)假设命题的________不成立；
(2)从提出的假设出发，结合已知条件，根据已学过
的定义、定理、基本事实推出与已知条件或已学
过的定义、定理、基本事实等相______的结果；
(3)由________判定假设不成立，从而肯定原命题的
结论正确．2知识点反证法的假设易错警示：(1)若结论的反面只有一种情况，则反设
单一，只需驳倒这种情况，即可达到反证的目的；
(2)若结论的反面不止一种情况，那么要各种情况一
一驳倒，才能肯定原命题正确． 运用反证法证明命题时，常见的结论词的否定形式有： 用反证法证明：等腰三角形的底角一定是锐角．例5 (1)当题目中出现“一定”“不可能”“不是”“至
少”“至多”等肯定或否定的表述时，若直接证明
较困难，可考虑用反证法，而对于文字的表述题，
可先转化为数学语言表述，再用反证法证明；(2)分
析例题结论反面时，要做到不重复、不遗漏，如本
例中的“一定是锐角”的反面就是“不是锐角”，
而“不是锐角”有两层意思：是直角、是钝角，因
此可分为两类：直角、钝角．导引： 已知：在△ABC中 ，AB＝AC，求证：∠B，∠C一定是锐角．
证明：假设∠B，∠C不是锐角，则∠B，∠C是直角或钝角．
(1)若∠B，∠C是直角，即∠B＝∠C＝90°，
故∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形的内角和定理矛盾．
所以∠B，∠C不是直角．
(2)若∠B，∠C是钝角，即∠B＝∠C＞90°，
故∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形的内角和定理矛盾．
所以∠B，∠C不是钝角．
综上所述，∠B，∠C不是直角，也不是钝角，即∠B，∠C是
锐角．
所以等腰三角形的底角一定是锐角．解： 反证法的第一步假设，假设时要特别注意命题
的反面成立，当反面不止一种情形时，应把所有可
能情形都列出来，然后再分类证明列举出来的各种
情形均不成立，从而肯定原命题成立．用反证法证明命题：“如图，如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”，证明的第一步是( )
A．假设CD∥EF
B．已知AB∥EF
C．假设CD不平行于EF
D．假设AB不平行于EF1用反证法证明命题：在一个三角形中，至少有一个内角不大于60°，证明的第一步是( )
A．假设三个内角都不大于60°
B．假设三个内角都大于60°
C．假设三个内角至多有一个大于60°
D．假设三个内角至多有两个大于60°2用反证法证明时要明确“两点”：
(1)用反证法证明时，否定的是命题的结论，而不是否
定已知条件．
(2)适合用反证法证明的命题类型：
①结论以否定形式出现的命题，如钝角三角形中不能
有两个钝角；
②唯一性命题，如两条直线相交只有一个交点；
③结论以“至多”、“至少”等形式叙述的命题，如
一个凸多边形中至多有3个锐角．
反证法的假设 我们已经知道，当一个三角形的三边长a、b、c (a
≤ b ≤ c)有关系a2 + b 2 = c 2时，这个三角形一定是直 角三
角形.那么，如果此时a2 + b 2 ≠ c 2,这个三角形是否 一定
不是直角三角形呢？1知识点反证法做一做 画出以如下各组数为边长的三角形，算算较短的两
边长的平方和是 否等于最长边的平方，再观察它们的图
形，你发现了什么？
(1)a = 1.0, b =2. 4,c =2.6；
(2)a=2, b =3,c=4；
(3) a = 2, b =2. 5,c =3. 反证法的定义：反证法是一种论证方式，首先假设
命题的结论不成立，然后推理出明显矛盾的结果，从而
下结论说原假设不成立，原命题得证．反证法证明命题的一般步骤：反设——归谬——结论，
即：
(1)假设命题的结论不成立；
(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出与公理、定
理、定义或已知条件相矛盾；
(3)由矛盾断定所作假设不正确，从而得出原命题成立． 反证法是数学证明的一种重要方法，历史上许多著
名的命题都是用反证法证明的.一个命题，当正面证明有
困难或者不可能 时，就可以尝试运用反证法，有时该问
题竟能轻易地被解决，此即所谓“正难则反”.因此，牛
顿就说过：“反证法是数学家最精良的 武器之一.”用反
证法不是直接证明结论，而是间接地去否定与结论相反
的一面，从而得出事物真实的一面.反证法是一种间接的
证明方法.读一读 现在再回到勾股定理:直角三角形两直角边的平方
和等于斜边的平方.即“在△ABC中，如果AB=c,BC=
a, CA=b,且∠C = 90°，那么a2 +b2=c2”是一个真命题. 对
于一般的非直角三角形，情况又会如何呢？ 即“在
△ABC中，如果AB=c,BC=a, CA=b,且∠C ≠ 90° ， 那么
a2 +b2 ≠ c2”是真命题吗？
我们同样可以用反证法证明它是一个真命题.思考：求证:两条直线相交只有一个交点.
已知:两条相交直线l1与l2.
求证: l1与l2只有一个交点.
想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出 发，经过
推理，得出结论“ l1与l2只有一个交点”是很困
难的，因此可以考虑用反证法.例1 分析： 证明： 假设两条相交直线 l1与l2不止一个交点， 不妨假
设 l1与l2有两个交点A和B.
这样过点A和点B就有两条直线l1和l2.这与两点 确
定一条直线，即经过点A和点B的直线只有一条
的基 本事实矛盾.
所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交
点.证明： 求证:在一个三角形中，至少有一个内角小 于或等于60°.
已知：△ABC.
求证： △ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
假设△ABC中没有一个内角小于或等于 60°，即∠A> 60°，
∠B > 60°， ∠C> 60°.
于是
∠A + ∠B + ∠C > 60° + 60° + 60° = 180°,
这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾.
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．
正确写出与原命题结论相反的结论是用反证法进行证明的关
键．
已知：∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角．
求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角．
证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角．
不妨设∠B＝∠C＝90°.
∴∠A＋∠B＋∠C＝∠A＋90°＋90°＝∠A＋180°＞180°.
这与“三角形的内角和是180°”相矛盾．
∴假设不成立，即一个三角形中不能有两个角是直角．例3 导引： 解： 当一个命题出现下列几种情况：①结论以否定
形式出现的命题；②唯一性命题；③存在性命题；
④命题的结论以“至多”、“至少”等形式叙述的
命题都适用反证法进行证明．已知m为正整数，m2为偶数，用反证法证明m为偶数．
先假设m为奇数，然后进行推理论证，推出与已知条件
“m2为偶数”相矛盾的结论，从而说明原结论成立．
假设m为奇数，不妨设m＝2n＋1(n为自然数)，
则m2＝(2n＋1)2＝4n2＋4n＋1.
∵4n2，4n均为偶数，∴4n2＋4n为偶数．
而1为奇数，∴4n2＋4n＋1为奇数，那么m2为奇数．
这与已知条件“m2为偶数”相矛盾，
∴假设不成立，∴m为偶数．例4 导引： 证明： 当结论的反面只有一种情况时，我们运用反证
法，只要将这种情况推翻就可以达到证明的目的；
但当结论的反面不止一种情况时，要一一驳倒，最
后才能肯定原结论正确．求证:在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等.1假设命题结论的 成立，经过正确的________，引出________，因此说明假设不成立，从而证明 成立，这样的证明方法叫________；其思维方法是________．23反证法的一般步骤：
(1)假设命题的________不成立；
(2)从提出的假设出发，结合已知条件，根据已学过
的定义、定理、基本事实推出与已知条件或已学
过的定义、定理、基本事实等相______的结果；
(3)由________判定假设不成立，从而肯定原命题的
结论正确．2知识点反证法的假设易错警示：(1)若结论的反面只有一种情况，则反设
单一，只需驳倒这种情况，即可达到反证的目的；
(2)若结论的反面不止一种情况，那么要各种情况一
一驳倒，才能肯定原命题正确． 运用反证法证明命题时，常见的结论词的否定形式有： 用反证法证明：等腰三角形的底角一定是锐角．例5 (1)当题目中出现“一定”“不可能”“不是”“至
少”“至多”等肯定或否定的表述时，若直接证明
较困难，可考虑用反证法，而对于文字的表述题，
可先转化为数学语言表述，再用反证法证明；(2)分
析例题结论反面时，要做到不重复、不遗漏，如本
例中的“一定是锐角”的反面就是“不是锐角”，
而“不是锐角”有两层意思：是直角、是钝角，因
此可分为两类：直角、钝角．导引： 已知：在△ABC中 ，AB＝AC，求证：∠B，∠C一定是锐角．
证明：假设∠B，∠C不是锐角，则∠B，∠C是直角或钝角．
(1)若∠B，∠C是直角，即∠B＝∠C＝90°，
故∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形的内角和定理矛盾．
所以∠B，∠C不是直角．
(2)若∠B，∠C是钝角，即∠B＝∠C＞90°，
故∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形的内角和定理矛盾．
所以∠B，∠C不是钝角．
综上所述，∠B，∠C不是直角，也不是钝角，即∠B，∠C是
锐角．
所以等腰三角形的底角一定是锐角．解： 反证法的第一步假设，假设时要特别注意命题
的反面成立，当反面不止一种情形时，应把所有可
能情形都列出来，然后再分类证明列举出来的各种
情形均不成立，从而肯定原命题成立．用反证法证明命题：“如图，如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”，证明的第一步是( )
A．假设CD∥EF
B．已知AB∥EF
C．假设CD不平行于EF
D．假设AB不平行于EF1用反证法证明命题：在一个三角形中，至少有一个内角不大于60°，证明的第一步是( )
A．假设三个内角都不大于60°
B．假设三个内角都大于60°
C．假设三个内角至多有一个大于60°
D．假设三个内角至多有两个大于60°2用反证法证明时要明确“两点”：
(1)用反证法证明时，否定的是命题的结论，而不是否
定已知条件．
(2)适合用反证法证明的命题类型：
①结论以否定形式出现的命题，如钝角三角形中不能
有两个钝角；
②唯一性命题，如两条直线相交只有一个交点；
③结论以“至多”、“至少”等形式叙述的命题，如
一个凸多边形中至多有3个锐角．